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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载动点问题动态几何特点-问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系； 分析过程中, 特殊要关注图形的特性（特殊角、 特殊图形的性质、 图形的特殊位置； ）动点问题始终是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相像三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值；下面就此问题的常见题型作简洁介绍,解题方法、关键给以点拨；一、三角形边上动点1、（2022 年齐齐哈尔市） 直线 y 3 x 6 与坐标轴分别交于 A、B 两点, 动点 P、Q 同时4从 O 点动身,同时
2、到达 A点,运动停止点 Q 沿线段 OA 运动,速度为每秒 1 个单位长度,点 P 沿路线 O B A运动（1）直接写出 A、B 两点的坐标；（2）设点 Q 的运动时间为 t 秒,OPQ 的面积为 S,求出 S 与 t 之间的函数关系式；（3）当 S 48时,求出点 P 的坐标,并直接写出以点 O、 、Q 为顶点的平行四边形的第5四个顶点 M 的坐标y B P O Q A x 提示：第（ 2）问按点 P 到拐点 B 全部时间分段分类；第（ 3）问是分类争论：已知三定点O、P、Q , 探究第四点构成平行四边形时按已名师归纳总结 知线段身份不同分类- OP 为边、 OQ 为边, OP 为边、 OQ
3、 为对角线, OP第 1 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载为对角线、 OQ 为边；然后画出各类的图形,依据图形性质求顶点坐标；2、（ 2022 年衡阳市 ）C B A C B C A O B D A E F F O E O 图（ 1）图（ 2）图（ 3）如图, AB 是 O 的直径,弦BC=2cm ,ABC=60 o（1）求 O 的直径；（2）如 D 是 AB 延长线上一点,连结CD,当 BD 长为多少时, CD 与 O 相切；（3）如动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点动身沿着 AB 方向运动,同时动点 F
4、 以 1cm/s 的速度从 B 点动身沿 BC 方向运动, 设运动时间为 t s 0 t 2 ,连结 EF,当 t 为何值时, BEF为直角三角形留意：第（ 3）问按直角位置分类争论3、（2022 重庆綦江） 如图,已知抛物线ya x123 3a0经过点A 2,0 ,抛物线的顶点为D ,过 O 作射线 OMAD过顶点 D 平行于 x 轴的直线交射线OM 于点C , B 在 x 轴正半轴上,连结BC （1）求该抛物线的解析式；（2）如动点 P 从点 O动身,以每秒 1 个长度单位的速度沿射线 OM 运动,设点 P 运动的时间为 t s 问当 t 为何值时,四边形 DAOP分别为平行四边形？直角梯
5、形？等腰梯形？（3）如 OC OB ,动点 P 和动点 Q 分别从点 O 和点 B 同时动身,分别以每秒 1 个长度单位和 2 个长度单位的速度沿 运动 设它们的运动的时间为OC 和 BO 运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止 t s ,连接 PQ ,当 t 为何值时, 四边形 BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长y D M C P A 留意：发觉并充分运用特殊角DAB=60 O Q B x 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载当 OPQ 面积最大时,四边形 BCPQ 的面
6、积最小；二、特殊四边形边上动点4、（ 2022 年吉林省） 如下列图,菱形 ABCD 的边长为 6 厘米,B 60 从初始时刻开始,点 P 、 Q 同时从 A 点动身,点 P 以 1 厘米 /秒的速度沿 A C B的方向运动,点 Q以 2 厘米 /秒的速度沿 A B C D 的方向运动,当点 Q 运动到 D 点时, P 、 Q 两点同时停止运动,设 P 、 Q 运动的时间为 x 秒时,APQ 与ABC 的面积为 y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O 的三角形）,解答以下问题：（1）点 P 、 Q 从动身到相遇所用时间是当秒；x 的值是秒；（2）点 P 、Q 从开头运动到停止的过程中,AP
7、Q是等边三角形时（3）求 y 与 x 之间的函数关系式提示：第D C 点 Q 到拐点时间B、C 全部时间分段分类；提示 - 3 问按P 高相等的两个三角形 A Q B 面积比等于底边的比；5、（ 2022 年哈尔滨） 如图 1,在平面直角坐标系中,点 O 是坐标原点,四边形 ABCO 是菱 形,点 A 的坐标为（3, 4）,点 C 在 x 轴的正半轴上,直线 AC 交 y 轴于点 M,AB 边交 y轴于点 H（1）求直线 AC 的解析式；（2）连接 BM,如图 2,动点 P 从点 A 动身,沿折线ABC 方向以 2 个单位秒的速度向终点 C 匀速运动,设 PMB 的面积为 S（S 0）,点 P
8、 的运动时间为 t 秒,求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量 t 的取值范畴）；（3）在（ 2）的条件下,当 t 为何值时, MPB 与 BCO 互为余角,并求此时直线 OP 与直线 AC 所夹锐角的正切值y A H B A y H B M O C x M C x 图（1）O 图（ 2）留意：第（ 2）问按点 P 到拐点 B 所用时间分段分类；第（ 3）问发觉MBC=90 ,BCO 与ABM 互余,画出点MPB= ABM 的两种情形,求出 t 值；P 运动过程中,名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好
9、资料 欢迎下载利用 OB AC, 再求 OP 与 AC 夹角正切值 .6、2022 年温州 如图,在平面直角坐标系中,点 A 3 ,0 ,B3 3 , 2 ,C（ 0,2 动点 D以每秒 1 个单位的速度从点 0 动身沿 OC向终点 C运动,同时动点 E 以每秒 2 个单位的速度从点 A 动身沿 AB向终点 B 运动过点 动时间为 t 秒1 求 ABC的度数；2 当 t 为何值时, AB DF；3 设四边形 AEFD的面积为 S求 S 关于 t 的函数关系式；E 作 EF上 AB,交 BC于点 F,连结 DA、DF设运如一抛物线 y=x 2+mx经过动点 E,当 S2 3 时,求 m的取值范畴
10、 写出答案即可 留意：发觉特殊性,DEOA 7、（ 07 黄冈）已知：如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO 是菱形,且AOC=60 ,点 B 的坐标是 0,8 3 ,点 P 从点 C 开头以每秒 1 个单位长度的速度在线段CB 上向点 B 移动,同时,点 Q 从点 O 开头以每秒 a（1a3）个单位长度的速度沿射线OA 方向移动,设 t 0 t 8 秒后,直线 PQ 交 OB 于点 D. （1）求 AOB 的度数及线段 OA 的长；（2）求经过 A,B,C 三点的抛物线的解析式；名师归纳总结 （3）当a3, OD43时,求 t 的值及此时直线PQ 的解析式；第 4 页,共 13 页3（4）
11、当 a 为何值时,以O ,P, Q ,D 为顶点的三角形与OAB 相像？当 a 为何值时,以O ,P,Q ,D 为顶点的三角形与OAB 不相像？请给出你的结论,并加以证明. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载y B P C D A Q O x AB,以 O 为原点建立平面直角8、（08 黄冈）已知：如图,在直角梯形COAB 中, OC坐标系, A, ,C 三点的坐标分别为 A 8 0,B 810, ,C 0 4, ,点 D 为线段 BC 的中点,动点 P 从点 O动身,以每秒 1 个单位的速度, 沿折线 OABD 的路线移动, 移动
12、的时间为 t 秒（1）求直线 BC 的解析式；（2）如动点 P 在线段 OA上移动, 当 t 为何值时, 四边形 OPDC 的面积是梯形 COAB面积的2？7（3 ）动点 P 从点 O 动身,沿折线 OABD 的路线移动过程中,设OPD 的面积为 S ,请直接写出 S 与 t 的函数关系式,并指出自变量 t 的取值范畴；（4）当动点 P 在线段 AB 上移动时, 能否在线段 OA上找到一点 Q ,使四边形 CQPD 为矩形？恳求出此时动点 P的坐标；如不能,请说明理由B B y y D D C C 9 、09 O P 年黄冈市 如图 ,在平面直角坐标系 A x O A xoy x 1 2 4中
13、,抛物线 y18 x9 x（此题备用）10 与 x 轴的交点为点 A,与 y 轴的交点为点 B. 过点 B 作 x 轴的平行线 BC,交抛物线于点 C,连结 AC现有两动点P,Q 分别从 O,C 两点同时动身 ,点 P 以每秒 4 个单位的速度沿 OA 向终点 A 移动 ,点 Q 以每秒 1个单位的速度沿 CB 向点 B 移动 ,点 P 停止运动时,点 Q 也同时停止运动 ,线段 OC,PQ 相交于点D,过点 D 作 DE OA ,交 CA 于点 E,射线 QE 交 x名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料
14、欢迎下载轴于点 F设动点 P,Q 移动的时间为 t单位 :秒 1求 A,B,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标 ; 2 当 t 为何值时 ,四边形 PQCA 为平行四边形 .请写出运算过程 ; 3 当 0t9 时, PQF 的面积是否总为定值 .如是 ,求出此定值 , 2 4 当 t 为何值时 , PQF 为等腰三角形 .请写出解答过程提示：第（ 3）问用相像比的代换,得 PF=OA（定值）；第（ 4）问按哪两边相等分类争论 PQ=PF,PQ=FQ,QF=PF. 三、直线上动点如不是 ,请说明理由 ; 28、（2022 年湖南长沙） 如图,二次函数 y ax bx c（a 0）的图象与 x 轴
15、交于 A、B两点,与 y 轴相交于点 C 连结 AC、BC, 、C 两点的坐标分别为 A 3 0, 、C 0,3,且当 x 4 和 x 2 时二次函数的函数值 y 相等（1）求实数 a, ,c 的值；（2）如点 M、N 同时从 B 点动身, 均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 BA、BC 边运动,其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动当运动时间为 t 秒时,连结 MN,将BMN 沿 MN 翻折, B 点恰好落在 AC 边上的 P 处,求 t 的值及点 P 的坐标；（3）在（ 2）的条件下,二次函数图象的对称轴上是否存在点 Q ,使得以 B,N,Q 为项点的三角形与ABC 相像？假如存在,
16、恳求出点 Q 的坐标；假如不存在,请说明理由y A P M C N x O B 提示：第（ 2）问发觉特殊角CAB=30 ,CBA=60 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 特殊图形四边形学习好资料欢迎下载BNPM 为菱形；第3 问留意到 ABC 为直角三角形后,按直角位置对应分类；先 画出 与 ABC 相像的BNQ ,再判定是否在对称轴上；9、（ 2022 眉山） 如图,已知直线 y 1 x 1 与 y 轴交于点 A,与 x 轴交于点 D,抛物线2y 1 x 2bx c 与直线交于 A、E 两点,与 x 轴交于 B
17、、C两点,且 B点坐标为 1 ,0 ；2求该抛物线的解析式；动点 P在 x 轴上移动,当PAE是直角三角形时,求点 P 的坐标 P；在抛物线的对称轴上找一点 M,使 | AM MC | 的值最大,求出点 M的坐标；提示：第（ 2）问按直角位置分类争论后 画出图形 - P 为直角顶点 AE 为斜边时,以 AE为直径画圆与x 轴交点即为所求点P,A 为直角顶点时, 过点 A 作 AE 垂线交 x 轴于点 P,E 为直角顶点时,作法同；第（ 3）问,三角形两边之差小于第三边,那么等于第三边时差值最大；10、（2022 年兰州） 如图,正方形ABCD中,点 A、B 的坐标分别为（ 0,10）,（8,4
18、）, 点C在第一象限 动点 P 在正方形 ABCD的边上, 从点 A 动身沿 ABCD匀速运动, 同时动点 Q以相同速度在 x 轴正半轴上运动,当 P 点到达 D点时, 两点同时停止运动,设运动的时间为 t 秒1 当 P 点在边 AB上运动时,点 Q的横坐标 x （长度单位）关于运动时间 t （秒）的函数图象如图所示,请写出点 Q开头运动时的坐标及点 P 运动速度；2 求正方形边长及顶点 C的坐标；3 在（ 1）中当 t 为何值时,OPQ的面积最大,并求此时 P点的坐标；名师归纳总结 4 假如点 P、Q保持原速度不变,当点P 沿 AB第 7 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资
19、料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载CD匀速运动时, OP与 PQ能否相等,如能,写出全部符合条件的 t 的值；如不能,请说明理由留意：第（ 4）问按点P 分别在 AB、BC 、CD 边上分类争论；求t 值时,敏捷运用等腰三角形“ 三线合一”；11、（2022 年北京市） 如图,在平面直角坐标系xOy 中, ABC三个顶点的坐标分别为A6,0,B6,0,C0, 4 3,延长 AC 到点 D,使 CD=1 2AC ,过点 D 作 DE AB 交BC 的延长线于点E. （1）求 D 点的坐标；（2）作 C 点关于直线DE 的对称点F,分别连结 DF、EF,如过 B 点的直线
20、 ykxb 将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式；（3）设 G 为 y 轴上一点,点 P 从直线 y kx b 与 y 轴的交点动身,先沿 y 轴到达 G 点,再沿 GA 到达 A 点,如 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍,试确定 G 点的位置,使 P 点依据上述要求到达 A 点所用的时间最短； （要求：简述确定 G 点位置的方法,但不要求证明）名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载提示：第（）问,平分周长时,直线过菱形的中心；第（）问,
21、转化为点到的距离加到（）中直线的距离和最小；发觉（）中直线与轴夹角为. 见“ 最短路线问题” 专题；12、 2022 年上海市 A P D A P D A D P Q 图 1 C B （Q） 图 2 C B 图 3 C Q在射线 AB上,且满意B Q 已知 ABC=90 , AB=2,BC=3,AD BC,P 为线段 BD上的动点,点PQAD（如图 1 所示）PCAB（1）当 AD=2,且点 Q 与点 B 重合时（如图2 所示）,求线段 PC 的长；（2）在图 8 中,联结 AP当 AD 3,且点 Q 在线段 AB 上时,设点B Q、 之间的距离为 x ,2SAPQy,其中 SAPQ 表示 A
22、PQ的面积,SPBC 表示PBC 的面积,求 y 关于 x 的函数SPBC解析式,并写出函数定义域；（3）当 ADAB,且点Q在线段AB的延长线上时（如图3 所示）,求QPC 的大小留意：第（ 2）问,求动态问题中的变量取值范畴时,先动手操作 找到运动始、末两个位置变量的取值,然后再依据运动的特点确定满意条件的变量的取值范畴；当 PC BD 时,点 Q、B 重合, x 获得最小值；当 P 与 D 重合时, x 获得最大值；第（ 3）问,敏捷运用 SSA 判定两三角形相像,即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用 SSA 来判定两个三角形相像；或者用同一法；或者证P 四点共圆也可求解；BQP BCP
23、 ,得 B、Q、C、名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载13、（08 宜昌）如图,在 Rt ABC中, ABAC,P 是边 AB（含端点）上的动点过 P 作 BC的垂线 PR,R为垂足, PRB的平分线与 AB相交于点 S,在线段 RS上存在一点 T,如以线段 PT为一边作正方形 PTEF,其顶点 E,F 恰好分别在边 BC,AC上（1） ABC与 SBR是否相像,说明理由；（2）请你探究线段 TS与 PA的长度之间的关系；（3）设边 AB1,当 P在边 AB（含端点）上运动时,请你探究正方形 P
24、TEF的面积 y 的最小值和最大值B BR T S R T SE EP PC F A C F A第 13 题 第 13 题 提示：第（ 3）问,关键是找到并画出满意条件时最大、最小图形；当 p 运动到使 T 与 R 重合时, PA=TS 为最大；当P 与 A 重合时, PA 最小；此问与上题中求取值范畴类似；14、 2022 年河北 如图,在 Rt ABC 中, C=90 ,AC = 3, AB = 5 点 P 从点 C 动身沿CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动,到达点 A 后马上以原先的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 动身沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀
25、速运动相伴着 P、Q 的运动,DE 保持垂直平分 PQ,且交 PQ 于点 D,交折线 QB-BC-CP 于点 E点 P、Q 同时动身,当点 Q 到达点 B 时停止运动,点 P 也随之停止设点 P、Q 运动的时间是 t 秒（ t0）（1）当 t = 2 时, AP = ,点 Q 到 AC 的距离是；（2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中,求 APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式； （不必写出 t的取值范畴）（3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中, 四边形 QBED 能否成为直角梯形？如能,求 t 的值如不能,请说明理由；（4）当 DE 经过点 C 时,请直接写出 t 的值B Q
26、E D A P C 提示：（）按哪两边平行分类,按要求画出图形,再结合图形性质求出 t 值；有二种成立的情形, , ；（）按点 P 运动方向分类,按要求画出图形再结合图形性质求出 t 值；有二种情形,t 时,时名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料2bxc（a欢迎下载A , ,B 2 0, ,15、（2022 年包头） 已知二次函数yax0）的图象经过点C0,2,直线 xm （m2）与 x 轴交于点 D （1）求二次函数的解析式；（2）在直线 x m（m 2）上有一点 E （点 E 在第四象限） ,使得 E
27、、D、B 为顶点的三角形与以 A、 、C 为顶点的三角形相像,求 E 点坐标（用含 m 的代数式表示） ；（3）在（2）成立的条件下, 抛物线上是否存在一点 F ,使得四边形 ABEF 为平行四边形？如存在,恳求出 m 的值及四边形 ABEF 的面积；如不存在,请说明理由提示：第（ 2）问,按对应锐角不同分类争论,有两种情形；第（ 3）问,四边形ABEF 为平行四边形时,E、F 两点纵坐标相等,且AB=EF ,对第（ 2）问中两种情形分别争论；四、抛物线上动点yax2bx3（a 0）与 x 轴交于点 A1,16、（2022 年湖北十堰市） 如图, 已知抛物线0和点 B 3,0,与 y 轴交于点
28、 C1 求抛物线的解析式；2 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ,问在对称轴上是否存在点P,使 CMP 为等腰三角形？如存在,请直接写出全部符合条件的点P 的坐标；如不存在,请说明理由3 如图,如点 E 为其次象限抛物线上一动点,连接 BE、CE,求四边形 BOCE 面积的最大值,并求此时 E 点的坐标留意： 第（2）问按等腰三角形顶点位置分类争论 画图 再由图形性质求点 P 坐标 -C 为顶点时,以 C 为圆心 CM 为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P, M 为顶点时,以M 为圆心 MC 为半径画弧, 与对称轴交点即为所求点与对称轴交点即为所求点 P；P,P 为顶点时, 线段 MC 的垂直
29、平分线名师归纳总结 第（ 3）问方法一,先写出面积函数关系式,再求最大值（涉及二次函数最值）； 方第 11 页,共 13 页法二,先求与BC 平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简洁二元二次方程组）,再求面积；17、（2022 年黄石市） 正方形 ABCD 在如下列图的平面直角坐标系中,A 在 x 轴正半轴上,D 在 y 轴的负半轴上,AB 交 y 轴正半轴于 E,BC交 x 轴负半轴于 F ,OE1,抛物线y2 axbx4过 A、 、F三点- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载（1）求抛物线的解析式；（2）Q 是抛物线上 D、F 间的一点
30、, 过 Q 点作平行于 x 轴的直线交边 AD 于 M ,交 BC 所在直线于 N ,如 S 四边形 AFQM 3 SFQN,就判定四边形 AFQM 的外形；2（3）在射线 DB 上是否存在动点 P ,在射线 CB 上是否存在动点 H ,使得 APPH 且AP PH ,如存在,请赐予严格证明,如不存在,请说明理由y F B E A x O C D 留意：第（ 2）问,发觉并利用好 NM FA 且 NM FA; 第（ 3）问,将此问题分别出来 单独解答,不受其它图形的干扰；需分类争论,先画出合适的图形,再证明名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习好资料欢迎下载第 13 页,共 13 页- - - - - - -