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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 中考数学专题优秀学习资料欢迎下载动态几何问题第一部分 真题精讲【例 1】如图, 在梯形 ABCD 中, ADBC,AD 3,DC 5,BC 10,梯形的高为 4 动点 M 从 B 点动身沿线段 BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动；动点 N 同时从 C 点动身沿线段 CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动设运动的时间为 t （秒）A DNBMC（ 1）当 MNAB 时,求 t 的值；（ 2）摸索究： t 为何值时,MNC 为等腰三角形【思路分析 1】此题作为密云卷压轴题,自然有肯定难度,题目中显现了两个动点,许多同学看
2、到可能就会无从下手；但是解决动点问题,第一就是要找谁在动,谁没在动,通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解；对于大多数题目来说,都有一个由动转静的瞬时,就此题而言, M ,N 是在动,意味着BM,MC 以及 DN,NC 都是变化的；但是我们发觉,和这些动态的条件亲密相关的条件 DC,BC长度都是给定的,而且动态条件之间也是有关系的；所以当题中设定 MN/AB 时,就变成了一个静止问题；由此,从这些条件动身,列出方程,自然得出结果；【解析】解：（1）由题意知,当M 、 N 运动到 t 秒时,如图 ,过 D 作 DEAB交 BC 于 E 点,就四边形 ABED 是平行四边形A DNBEMC AB
3、DE, ABMNMN放在三角形 DEMN（依据第一讲我们说梯形内帮助线的常用做法,胜利将内,将动态问题转化成平行时候的静态问题）MC ECNC（这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键）MN=NCCD102tt 解得 5t5010317【思路分析2】其次问失分也是最严峻的,许多同学看到等腰三角形,理所当然以为是即可,于是就漏掉了MN=MC,MC=CN 这两种情形；在中考中假如在动态问题当中碰见等腰三角形,肯定不要遗忘分类争论的思想,两腰一底一个都不能少；详细分类以后,就成为了较为简洁的解三角形问题,于是可以轻松求解【解析】（2）分三种情形争论：名师归纳总结 - - - - - - -第 1
4、页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当 MN优秀学习资料欢迎下载MC2FC 即（利用等腰三角NC 时,如图 作 NFBC 交 BC 于 F ,就有形底边高也是底边中线的性质）sinCDF4,DCD5cosC3 5,102 t23 t5解得t25A8NBMFC 当 MNMC 时,如图 ,过 M 作 MHCD 于 H就CN2 CH,t2 102 t35t6017ADN HBMCBC上一动点,连接AD, 当 MCCN 时,就 102tt t103综上所述,当t25、60 17或10 3时,MNC为等腰三角形8【例 2】在 ABC中, ACB=45o点 D（与点 B、C不
5、重合）为射线以 AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEFCF与 BD 之间的位置关（1）假如 AB=AC如图,且点D 在线段 BC上运动试判定线段系,并证明你的结论（2）假如 AB AC,如图,且点D 在线段 BC上运动（1）中结论是否成立,为什么？（3）如正方形 ADEF的边 DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P,设 AC 4 2 ,BC3,CD=x ,求线段 CP的长（用含 x 的式子表示）名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载【思路分析 1】此题和上题有所不同,上一题会给出一个条件使
6、得动点静止,而此题并未给出那个“ 静止点” ,所以需要我们去分析由D 运动产生的变化图形当中,什么条件是不动的；由题我们发觉,正方形中四条边的垂直关系是不动的,于是利用角度的互余关系进行传递,就可以得解；【解析】：（ 1）结论： CF与 BD 位置关系是垂直；证明如下：AB=AC , ACB=45o, ABC=45o由正方形 ADEF得 AD=AF , DAF=BAC =90o, DAB=FAC,DAB FAC , ACF=ABD BCF=ACB+ACF= 90o即 CFBD【思路分析 2】这一问是典型的从特别到一般的问法,那么思路很简洁,就是从一般中构筑一个特别的条件就行,于是我们和上题一样
7、找AC的垂线,就可以变成第一问的条件,然后一样求解；AF（2）CFBD1中结论成立理由是：过点A 作 AGAC交 BC于点 G, AC=AG 可证：GAD CAF ACF=AGD=45o BGDECBCF=ACB+ACF= 90o即 CFBD 【思路分析3】这一问有点麻烦,D 在 BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的,所以已给的线段长度就需要分情形去考虑究竟是 似三角形的比例关系即可求出 CP. （3）过点 A 作 AQBC交 CB的延长线于点 Q,点 D 在线段 BC上运动时,4+X 仍是 4-X；分类争论之后利用相 BCA=45o,可求出 AQ= CQ=4DQ=4-x,AC
8、FCFBD,易证 AQD DCP,CP DQCD,CPx,4x4AQCPx2x 4点 D 在线段 BC延长线上运动时, BCA=45o,可求出 AQ= CQ=4,DQ=4+x过 A 作AGAC交 CB延长线于点G,就AGD AQD DCP,CP DQCD,CPx,4x42,BC4,点 M 是 AD 的中点,AQCPx2x 4【例 3】已知如图, 在梯形 ABCD 中,ADBC,ADMBC是等边三角形名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载MPQ60保 持 不 变 设（1）求证：梯形 ABCD 是等腰梯
9、形；（ 2） 动 点 P 、 Q 分 别 在 线 段 BC 和 MC 上 运 动 , 且PCx,MQy,求 y 与 x 的函数关系式；M D C （3）在（ 2）中,当 y 取最小值时,判定PQC的外形,并说明理由A B P 60Q 【思路分析 1】此题有一点综合题的意味,但是对二次函数要求不算太高,重点仍是在考察几何方面；第一问纯静态问题,自不必说,只要证两边的三角形全等就可以了；其次问和例 1 一样是双动点问题,所以就需要争论在P,Q 运动过程中什么东西是不变的；题目给定MPQ=60 ,这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来 .由于最终求两条线段的关系 ,
10、所以我们很自然想到要通过相像三角形找比例关系 .怎么证相像三角形呢 . 当然是利用角度咯 .于是就有了思路 . 【解析】（1）证明：MBC是等边三角形60BC4,MBCMCB60,MB MC, M 是 AD 中点 AM MDMBCMCB ADBCMCAMBMBC60,DMCMCB60AMBDMC ABDC梯形 ABCD 是等腰梯形（2）解：在等边MBC中,MBMPQ60QPC120这个角度传递特别重要,大家要认真揣BMPBPMBPM摩名师归纳总结 BMPQPC 第 4 页,共 15 页BMPCQPPC BMCQ BP PCx,MQyBP4x,QC4yx4yy1x2x4设元以后得出比例关系,轻松
11、化成二次函数的样子44x4【思路分析2】第三问的条件又回来了当动点静止时的问题；由其次问所得的二次函数,很- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 轻易就可以求出当优秀学习资料欢迎下载PC=2,求PQCX 取对称轴的值时Y 有最小值；接下来就变成了“ 给定外形” 的问题了；由已知的BC=4,自然看出P 是中点,于是问题轻松求解；（3）解：PQC为直角三角形60,y1x2234当 y 取最小值时,xPC2 P 是 BC 的中点, MPBC,而MPQCPQ30,PQC90以上三类题目都是动点问题,这一类问题的关键就在于当动点移动中显现特别条件,例如某边相等,某角固
12、定时,将动态问题化为静态问题去求解；假如没有特别条件,那么就需要争论在动点移动中哪些条件是保持不变的；当动的不是点,而是一些详细的图形时,思路是不是一样呢.接下来我们看另外两道题. BD 交 BC 于 F ,连【例 4】已知正方形ABCD 中, E 为对角线 BD 上一点,过 E 点作 EF接 DF , G 为 DF 中点,连接EG CG（1）直接写出线段 EG 与 CG 的数量关系；（2）将图 1 中 BEF 绕 B 点逆时针旋转 45 ,如图 2 所示,取 DF 中点 G ,连接 EG CG,你在（ 1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明（ 3）将图 1 中 BEF 绕 B
13、点旋转任意角度,如图 3 所示,再连接相应的线段,问（1）中的结论是否仍旧成立？（不要求证明）ADADADGEGEFEFC45 到旋转任意B图 1FCB图 2 CB图 3【思路分析1】这一题是一道典型的从特别到一般的图形旋转题；从旋转角度,要求考生争论其中的不动关系；第一问自不必说,两个共斜边的直角三角形的斜边名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载中线自然相等；其次问将BEF 旋转 45 之后,许多考生就想不到思路了；事实上,此题的核心条件就是 G 是中点,中点往往意味着一大票的全等关系,如何构建
14、一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在；连接 AG 之后, 抛开其他条件, 单看 G 点所在的四边形 ADFE,我们会发觉这是一个梯形,于是依据我们在第一讲专题中所争论的方法,自然想到过 G 点做 AD,EF的垂线；于是两个全等的三角形显现了；（1） CG EG（2）（1）中结论没有发生变化,即 CG EG证明：连接 AG,过 G 点作 MN AD 于 M ,与 EF 的延长线交于 N 点在 DAG 与 DCG 中, AD CD,ADG CDG,DG DG,DAGDCG AG CG 在 DMG与 FNG中,DGM FGN,FG DG,MDG NFG,DMGFNG MG NG在矩形 AE
15、NM 中, AM EN在 Rt AMG与 Rt ENG 中, AMEN,MGNG,AMGENGD AGEG EGCGAMGEFNCB图2 名师归纳总结 【思路分析2】第三问纯粹送分,不要求证明的话几乎全部人都会答出仍旧成立；但是第 6 页,共 15 页我们不应当止步于此；将这道题放在动态问题专题中也是出于此缘由,假如 BEF任意旋转,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载哪些量在变化,哪些量不变呢？假如题目要求证明,应当如何摸索；建议有余力的同学自己争论一下,笔者在这里供应一个思路供参考：在BEF的旋转过程中,始终不变的依旧是G点是
16、FD的中点；可以延长一倍EG到 H,从而构造一个和EFG全等的三角形,利用BE=EF这一条件将全等过渡；要想方法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形,就需要证明三角形 EBC和三角形 CGH全等,利用角度变换关系就可以得证了；（ 3）（1）中的结论仍旧成立AF图3GDECB【例 5】已知正方形ABCD的边长为 6cm,点 E是射线 BC上的一个动点,连接AE交射线 DC于点 F,将 ABE沿直线 AE翻折,点 B 落在点 B 处（1）当BE =1 时, CF=_cm,CEABCD公共部B C （2）当BE=2 时,求 sinDAB 的值；CE（3）当BE = x 时（点 C 与点 E 不重合）
17、,请写出 ABE翻折后与正方形 CE分的面积 y 与 x 的关系式,（只要写出结论,不要解题过程）A D 【思路分析】动态问题未必只有点的平移,图形的旋转,翻折（就是轴对称）也是一大热点；这一题是朝阳卷的压轴题,第一问给出比例为1,其次问比例为2,第三问比例任意,所以也是一道很明显的从一般到特别的递进式题目；同学们需要认真把握翻折过程中哪些 条件发生了变化,哪些条件没有发生变化；一般说来,翻折中,角,边都是不变的,所以 轴对称图形也意味着大量全等或者相像关系,所以要利用这些来获得线段之间的比例关系；特别留意的是,此题中给定的比例都是有两重情形的,的,所以需要大家分类争论,不要遗漏；E 在 BC
18、 上和 E在延长线上都是可能名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载【解析】（1）CF= 6 cm； （延长之后一眼看出,EAZY）（2） 如图 1,当点 E在 BC上时,延长AB 交 DC于点 M , AB CF, ABE FCE,BEABCEFCBE =2, CF=3CE AB CF, BAE=F又 BAE=B AE, B AE=FMA=MF图 1 设 MA=MF=k,就 MC=k - 3, DM=9- k在 Rt ADM 中,由勾股定理得：k 2=9- k 2+6 2, 解得 k=MA=132
19、 DM=5 2（设元求解是这类题型中比较重要的方法） sinDAB=DM5；AD 交 B E于点 N,AM13如图 2,当点 E在 BC延长线上时,延长同可得 NA=NE设 NA=NE=m,就 B N=12- m在 Rt AB N 中,由勾股定理,得m 2=12- m2+6 2, 解得 m=AN=152 B N=9 2图 2 sinDAB=BN3AN5（3）当点 E在 BC上时, y=18x x 1；（所求A B E的面积即为ABE的面积,再由相像表示出边长）当点 E在 BC延长线上时, y=18x x18【总结】通过以上五道例题,我们争论了动态几何问题当中点动,线动,乃至整体图形动这么几种可
20、能的方式；动态几何问题往往作为压轴题来出 , 所以难度不言而喻 , 但是期望 考生拿到题以后不要慌张 , 由于无论是题目以哪种外形显现,始终把握的都是在变化过程中 那些不变的量；只要条分缕析 , 一个个将条件抽出来 , 将大问题化成如干个小问题去解决 , 就很轻松了 . 为更好的帮忙考生, 笔者总结这种问题的一般思路如下：第一、认真读题,分析给定条件中那些量是运动的,哪些量是不动的；针对运动的量,要分析它是如何运动的,运动过程是否需要分段考虑,分类争论；针对不动的量,要分析 它们和动量之间可能有什么关系,如何建立这种关系；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 15 页精选学习
21、资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载其次、画出图形,进行分析,特别在于找准运动过程中静止的那一瞬时题目间各个变量的关系；假如没有静止状态,通过比例,相等等关系建立变量间的函数关系来争论；第三、做题过程中时刻留意分类争论,不同的情形下题目是否有不同的表现,许多同学丢分就丢在没有争论,只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式,没有想到另外的方式,如本讲例 5 当中的比例关系意味着两种不一样的状况,是否能想到就成了关键；其次部分 发散摸索【摸索 1】已知：如图（1）,射线 AM / 射线 BN , AB 是它们的公垂线,点 D 、 C 分别在 AM 、 BN 上运动（点
22、D 与点 A 不重合、点 C 与点 B 不重合）, E 是 AB 边上的动点（点 E 与 A 、B 不重合）,在运动过程中始终保持 DE EC,且 AD DE AB a（1）求证：ADE BEC ；（2）如图（ 2）,当点 E 为 AB 边的中点时,求证：AD BC CD；（3）设 AE m,请探究：BEC 的周长是否与 m 值有关？如有关,请用含有 m 的代数式表示 BEC的周长；如无关,请说明理由第 25 题（ 1）第 25 题（ 2）【思路分析】此题动点较多,并且是以和的形式给出长度；摸索较为不易,但是图中有多个直角三角形,所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析；第三问运算周长
23、,要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中,看是否为定值,假如是关于 M 的函数,那么就是有关,假如是一个定值,那么就无关,于是就可以得出结论了；【摸索 2】 ABC是等边三角形,P 为平面内的一个动点,BP=BA,如 0 PBC180,且 PBC平分线上的一点 D 满意 DB=DA,（1）当 BP与 BA 重合时（如图 1）, BPD= ；（2）当 BP在 ABC的内部时（如图2）,求 BPD的度数；名师归纳总结 （3）当 BP在 ABC的外部时,请你直接写出BPD的度数,并画出相应的图形第 9 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【思
24、路分析】此题中,和动点优秀学习资料欢迎下载P 相关的动量有PBC,以及 D 点的位置,但是不动的量就是BD 是平分线并且 DB=DA,从这几条动身,可以利用角度相等来找出相像、全等三角形；事实上, P 点的轨迹就是以 B 为圆心, BA 为半径的一个圆,那 D 点是什么呢？留给大家摸索一下 【摸索 3】如图：已知,四边形ABCD中, AD/BC, DCBC,已知 AB=5,BC=6,cosB=3 5点 O 为 BC边上的一个动点,连结OD,以 O 为圆心, BO 为半径的 O 分别交边 AB 于点 P,交线段 OD 于点 M ,交射线 BC于点 N,连结 MN（1）当 BO=AD时,求 BP的
25、长；（2）点 O 运动的过程中, 是否存在 BP=MN 的情形？如存在, 恳求出当 BO 为多长时 BP=MN；如不存在,请说明理由；（3）在点 O 运动的过程中,以点C为圆心, CN 为半径作 C,请直接写出当C 存在时,O 与 C的位置关系,以及相应的C 半径 CN 的取值范畴；A D A D P M B O N C B C （备用图）【思路分析】这道题和其他题目不同点在于此题牵扯到了有关圆的动点问题；在和圆有关 的问题当中,时刻不要遗忘的就是圆的半径始终相等这一个隐匿的静态条件；此题第一问 比较简洁,等腰梯形中的运算问题；其次问就需要用设元的方法表示出 MN 和 BP,从而讨 论他们的数
26、量关系；第三问的猜想肯定要记得分类分情形争论；【摸索 4】在 ABCD中,过点 C作 CECD 交 AD 于点 E,将线段 EC绕点 E 逆时针旋转 90 得到线段 EF如图 1（1）在图 1 中画图探究：当 P 为射线 CD 上任意一点 （P1不与 C重合）时,连结 EP1 绕点 E 逆时针旋转 90 得到线段 EC1.判定直线 FC1 与直线 CD的位置关系,并加以证明；当 P2为线段 DC的延长线上任意一点时,连结 EP2,将线段 EP2绕点 E 逆时针旋转 90名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资
27、料 欢迎下载得到线段 EC2.判定直线 C1C2 与直线 CD 的位置关系,画出图形并直接写出你的结论 . （2）如 AD=6,tanB=4 3,AE=1,在的条件下,设CP1= x ,SPFC=y,求y与 x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范畴 . 【思路分析】此题是去年中考原题,虽不是压轴,但动点动线一起考出来,难倒了不少同学；事实上就在于如何把握这个旋转90 的条件；旋转90 自然就是垂直关系,于是又出现了一堆直角三角形,于是证角,证线就手到擒来了；其次问一样是利用平行关系建立函 数式,但是实际过程中许多同学依旧遗忘分类争论的思想,漏掉了许多种情形,失分特别 惋惜；建议大家认真
28、争论这道中考原题,依据上面总结的一般思路去拆分条件,步步为营 的去解答；第三部分 摸索题解析【摸索 1 解析】名师归纳总结 （1）证明：DEEC,DEC90AEDaBEC90第 11 页,共 15 页又AB90,AEDEDA90第 25 题BECEDAADEBEC（2）证明：如图,过点E 作 EF/BC,交 CD 于点 F , E 是 AB 的中点,简洁证明EF1ADBC2在RtDEC中,DFCF,EF1CD21ADBC1CD22mADBCCD（ 3）解：AED 的周长AEADDEam,BE设ADx,就DEax- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A90,
29、DE2优秀学习资料欢迎下载axx2m2x2AE2AD2即a22xa22m22ma由（ 1）知ADEBEC,a2m 2ADE的周长ADa2 amaBEC的周长BEaBEC 的周长a2 aADE 的周长2 amBEC 的周长与 m 值无关【摸索 2 答案】解：（1） BPD= 30 ；（2）如图 8,连结 CD解一：点 D 在 PBC的平分线上, 1=2 ABC是等边三角形, BA=BC=AC, ACB= 60 AP BP=BA, BP=BC BD= BD,B1 2D4 3C PBD CBD BPD=3- - - - - - - - - - - - - - - - - 3分图 8 DB=DA,BC
30、=AC,CD=CD, BCD ACD341ACB302 BPD =30 解二： ABC是等边三角形, BA =BC=AC DB=DA, CD 垂直平分 AB341ACB302 BP=BA, BP=BC 点 D 在 PBC的平分线上,名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载 PBD 与 CBD关于 BD所在直线对称 BPD=3 BPD =30 （3） BPD= 30 或 150图形见图 9、图 10PBDA或P图 9BDACBAPCDC图 10【摸索 3 解析】解：（1）过点 A 作 AEBC,在
31、Rt ABE中,由 AB=5,cosB=3 5得 BE=3CDBC,AD/BC,BC=6,AD=EC=BCBE=3当 BO=AD=3时,在 O 中,过点 O 作 OHAB,就 BH=HP BH BOcosB,BH=33955BP=18 5（2）不存在 BP=MN 的情形 - 假设 BP=MN 成立,BP和 MN 为 O 的弦,就必有BOP=DOC. 过 P作 PQBC,过点 O 作 OHAB, CDBC,就有 PQO DOC- 名师归纳总结 设 BO=x,就 PO=x,由BHcosB3,得 BH=3 5x , 第 13 页,共 15 页x5BP=2BH=6 5x . BQ=BP cosB=18
32、 25x ,PQ=24 25x OQ=x18x7x 2525- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - PQO DOC,PQ OQ优秀学习资料x欢迎下载x29DC即244,得25 7OCx66x25当x29时, BP=6 5x =29 55=AB,与点 P 应在边 AB上不符,6不存在 BP=MN 的情形 . （3）情形一： O 与 C相外切,此时,0CN6；-7 分D 情形二： O 与 C相内切,此时,0CN7 3.-8 分A P M H B Q O N C 【摸索 4 解析】名师归纳总结 解：（1）直线FG 与直线 CD 的位置关系为相互垂直EF、EG 1,
33、F G2 H D P1 第 14 页,共 15 页证明：如图1,设直线FG 与直线 CD 的交点为 H 线段EC、EP 1分别绕点 E 逆时针旋转90 依次得到线段PEG1CEF90,EG 1EP 1,EFECG1 G EF90PEF,PEC90PEF,G EFPEC G EFPECB A E P2 C G FEPCE ECCD,图 1 PCE90 ,G FE90 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - EFH90 优秀学习资料欢迎下载FHC90名师归纳总结 FG 1CDHP1 4或第 15 页,共 15 页按题目要求所画图形见图1,直线G G 与直线 CD
34、 的位置关系为相互垂直（2）四边形 ABCD 是平行四边形,BADC AD6,AE1 tanB4,3DE5 tanEBCtanB43可得CE4EFCH 为正方形由（ 1）可得四边形CHCE4G1 如图 2,当1P 点在线段 CH 的延长线上时,FG 1CP 1x,PHx4,F SP FG 111FG1PHx x4B A E C D 22DHy1x22 x x4图 2 2如图 3,当1P 点在线段 CH 上（不与 C、H两点重合）时,G1 FG 1CP 1x,PHx4,F SP FG 111FG1PHx4xAE22P1 y1x22 0x4B图 3 C22 x x当1P 点与 H 点重合时,即x4时,PFG1不存在综上所述,y 与 x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范畴是y1x22y1x22 0x42- - - - - - -