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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 二次函数中考综合题1、如图 11,抛物线ya x3 x1 与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 右侧）,过点 A 的直线交抛物线于另一点 C,点 C 的坐标为（ -2,6）. 1求 a 的值及直线 AC 的函数关系式；2P 是线段 AC 上一动点, 过点 P 作 y 轴的平行线, 交抛物线于点 M ,交 x 轴于点 N. 求线段 PM 长度的最大值；在抛物线上是否存在这样的点 M ,使得 CMP 与 APN 相像？假如存在,请直接写出全部满意条件的点 M 的坐标（不必写解答过程）；假如不存在,请说明理由 .解：（1）由题意得 6=a
2、-2+3-2-1 a=-21 分抛物线的函数解析式为 y=-2x+3x-1 与 x 轴交于 B（-3,0）、A （1,0）设直线 AC 为 y=kx+b ,就有 0=k+b 6=-2k+b 解得 k=-2 b=2 直线 AC 为 y=-2x+2 （2）设 P 的横坐标为 a-2a1,就 P（a,-2a+2）,M （a,-2a2-4a+6）4 分PM=-2a2-4a+6-2a+2=-2a2-2a+4=-2a2+a+14+92 =-2a+122+92 当 a=-12 时, PM 的最大值为 92 M1 （0,6）M2 （-14,678）2、如图 9,已知抛物线y= 1 2x 22x1 的顶点为P,
3、A 为抛物线与y 轴的交点,过A 与 y 轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B,与抛物线对称轴交于点O,过点 B 和 P 的直线 l 交 y 轴于点 C,连结 OC,将 ACO沿 OC 翻折后,点 A 落在点 D 的位置1 3 分 求直线 l 的函数解析式；2 3 分 求点 D 的坐标；3 3 分 抛物线上是否存在点Q,使得 S DQC= S DPB. 如存在,求出全部符合条件的点 Q 的坐标；如不存在,请说明理由图 9 1 配方 ,得 y= 1 x2 2 1,抛物线的对称轴为直线 x=2,顶点2为 P2, 1 1分名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 20 页精选学习资料 -
4、 - - - - - - - - 取 x=0 代入 y= 1 2x 2 2x1,得 y=1,点 A 的坐标是 0,1由抛物线的对称性知,点A0,1与点 B 关于直线 x=2 对称,点 B 的坐标是 4,1 2分设直线 l 的解析式为ky=kxbk 0,将 B、P 的坐标代入,有114 kb,解得1,直线 l 的解析式为y=x3 32 kb ,b3.分2 连结 AD 交 OC 于点 E, 点 D 由点 A 沿 OC 翻折后得到,OC 垂直平分 AD由1知,点 C 的坐标为 0, 3, 在 Rt AOC 中, OA=2,AC=4, OC=2 5 据面积关系,有 1OCAE= 1OACA, AE=
5、4 5,AD=2AE= 8 52 2 5 5作 DF AB 于 F,易证 Rt ADF Rt COA,AF DF AD,AC O A O C AF= ADAC= 16,DF= ADOA= 8, 5O C 5 O C 5分又 OA=1,点 D 的纵坐标为18 5= 3 5, 点 D 的坐标为 16 5,3 5 6分3 明显, OP AC,且 O为 AB 的中点, 点 P 是线段 BC 的中点,S DPC= S DPB 故要使 S DQC= S DPB,只需 S DQC=S DPC 7 分过 P 作直线 m 与 CD 平行,就直线 m 上的任意一点与 CD 构成的三角形的面积都等于 S DPC ,
6、故 m 与抛物线的交点即符合条件的 Q 点y= 3 4简单求得过点C0, 3、 D 16 5, 3 5 的直线的解析式为x3,据直线 m 的作法,可以求得直线m 的解析式为y= 3 4x5 2令1 2x 22x 1= 34x5 2,解得x1=2, x2= 7 2,代入 y= 3 4x5 2,得 y1= 1,y2= 1 8,因此,抛物线上存在两点Q12,1 即点 P和 Q2 7 2,1 8,使得 S DQC= S DPB 9分仅求出一个符合条件的点 Q 的坐标,扣 1 分 3、如图,在平面直角坐标系中,矩形 AOBC 在第一象限内,E 是边 OB 上的动点（不包括端点）,作 AEF = 90 ,
7、使 EF 交矩形的外角平分线（1）如 m = n 时,如图,求证：EF = AE；BF 于点 F,设 C（m,n）名师归纳总结 （2）如 m n 时,如图,试问边OB 上是否仍存在点E,使得 EF = AE？如存在,恳求第 2 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 出点 E 的坐标；如不存在,请说明理由（3）如 m = tn（t1）时,摸索究点 E 在边 OB 的何处时, 使得 EF =（t + 1）AE 成立？并求出点 E 的坐标y y y A C F A C A C F F O E B x O E B x O E B x （1）由题意得
8、m = n 时, AOBC 是正方形如图,在 OA 上取点 C,使 AG = BE,就 OG = OE EGO = 45 ,从而AGE = 135 由 BF 是外角平分线,得EBF = 135 , AGE =EBF AEF = 90 , FEB + AEO = 90 在 Rt AEO 中,EAO +AEO = 90 , EAO =FEB, AGE EBF, EF = AE（2）假设存在点 E,使 EF = AE设 E（a,0）作 FHx 轴于 H,如图由（ 1）知 EAO =FEH,于是 Rt AOE Rt EHF FH = OE,EH = OA 点 F 的纵坐标为a,即FH = ay 由 B
9、F 是外角平分线,知FBH = 45 , BH = FH = a又由 C（m,n）有 OB = m,BE = OBOE = m a,A E C F x EH = ma + a = mG B O 又 EH = OA = n, m = n,这与已知m n 相冲突因此在边 OB 上不存在点E,使 EF = AE 成立（3）如（ 2）图,设 E（a,0）,FH = h,就 EH = OH OE = h + ma由 AEF = 90 , EAO =FEH,得 AOE EHF, EF =（t + 1）AE 等价于FH =（t + 1） OE,即 h =（t + 1）a,名师归纳总结 且AOOE,即hnaa
10、,第 3 页,共 20 页EHFHmh- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 整理得nh = ah + ama 2,hama2amanana把 h =（ t + 1）a 代入得ama t1 a,y C C F x x na即 ma =（t + 1）（n a）而 m = tn,因此tna =（t + 1）（n a）A 化简得ta = n,解得anO E B H t t1, n nm,故 E 在 OB 边上t当 E 在 OB 边上且离原点距离为n 处时满意条件,此时 tE（n ,0）ty E 4、已知：直线y1x1与 y 轴交于A,与 x 轴交于D,抛物线2y1
11、x2bxc 与直线交于A、E 两点,与 x 轴交于 B、C 两点,且A 2B 点坐标为（ 1,0）（1）求抛物线的解析式；P 的坐D O B （2）动点 P 在 x 轴上移动,当 PAE 是直角三角形时,求点标（3）在抛物线的对称轴上找一点M,使 |AMyMC|的值最大,求出点M 的坐标bxc 得1 2x（1）将 A（0,1）、B（ 1,0）坐标代入21cbc解得b13012c2抛物线的解折式为 y（2）设点 E 的横坐标为1 2 3x x 1 （2 分）2 21 2 3m,就它的纵坐标为 m m 12 2名师归纳总结 就 E（ m,1m23m1）D y P1 B M C P3 E P2 x
12、第 4 页,共 20 页22又点 E 在直线y1x1上,21m23m11m1222A F 解得m 10（舍去）,m 24O E 的坐标为（ 4,3） （4 分）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （）当 A 为直角顶点时过 A 作 AP 1DE 交 x 轴于 1P 点,设 P a, 易知 D 点坐标为（2 ,0）由 RtAODRtPOA 得DO OA 即2 1, a 1 OA OP 1 a 2P 1 1 0, （5 分）2（）同理,当 E 为直角顶点时,P 点坐标为（11,0） （6 分）2（）当 P 为直角顶点时,过 E 作 EFx 轴于 F ,设 P
13、 b, 由 OPA FPE 90 ,得 OPA FEP RtAOPRtPFE由AO OP得 1 bPF EF 4 b 3解得 b 1 1,b 2 3此时的点 3P 的坐标为（ 1,0）或（ 3,0） （8 分）综上所述,满意条件的点（）抛物线的对称轴为P 的坐标为（1 , 0）或（ 1,0）或（ 3,0）或（ 11,0）2 23x （9 分）2B、 C 关于 x3 对称,2AMMB|最大|AMMB|的值最大 MCMB 要使 |AMMC|最大,即是使 |由三角形两边之差小于第三边得,当A、B、M 在同始终线上时 （10 分）名师归纳总结 易知直线 AB 的解折式为y3x13 ,21 ） （11
14、分）2第 5 页,共 20 页yx1 M（x12由x3得y22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y=5 、 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 抛 物 线ya x12c a0与 x 轴交于 A、B 两点 点 A在点 B 的左侧 ,与 y 轴交于点 C,其顶点为 M,如直线 MC的函数表达式为ykx3, 与 x 轴的交点为11xN,且 COSBCO3 10 10；1 求此抛物线的函数表达式；O 2在此抛物线上是否存在异于点C 的点 P,使以 N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？如存在,求出点P的坐标：如不存在,请
15、说明理由； 3 过点 A 作 x 轴的垂线,交直线 MC于点 Q.如将抛物线沿其对称轴上下平移,使抛物线与线段 NQ总有公共点,就抛物线向上最多可平移多少个单位名师归纳总结 长度 .向下最多可平移多少个单位长度. 第 6 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6、已知：抛物线y2 axbxc 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C 其中点 A 在 x名师归纳总结 轴的负半轴上,点C 在 y 轴的负半轴上,线段OA、O
16、C 的长（ OAOC ）是方程第 8 页,共 20 页2 x5x40的两个根,且抛物线的对称轴是直线x1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）求 A、B、 C 三点的坐标；y （2）求此抛物线的解析式；（3）如点 D 是线段 AB 上的一个动点（与点A、B 不重合）,A E O D B x 过点 D 作 DE BC 交 AC 于点 E,连结 CD ,设 BD 的长为m, CDE 的面积为 S,求 S与 m 的函数关系式,并写出自变量 m 的取值范畴S 是否存在最大值？如存在,求出最大值并求此时D 点坐标；如不存在,请说明理由解：（1）OA、OC 的长
17、是 x25x+4=0 的根, OAOCC OA=1,OC=4 点 A 在 x 轴的负半轴,点C 在 y 轴的负半轴A（ 1,0）C（0, 4）抛物线y2 axbxc的对称轴为x1由对称性可得B 点坐标为（ 3,0）A、B、C 三点坐标分别是：A（ 1,0）,B（3,0）,C（0, 4）名师归纳总结 a（2）点 C（0, 4）在抛物线y2 axbxc图象上c4解之得x 第 9 页,共 20 页b40将 A（ 1, 0）,B（3, 0）代入y2 axbx4得a9 a3 b4043b83 所求抛物线解析式为：y4x28x4CBA=33y B （3）依据题意,BDm ,就AD4m在 Rt OBC 中,
18、 BC=OB2OC2=5 DEBC, ADE ABCDEADBCABDEAD BC544m 2045 mAB过 点E 作EF AB 于 点F , 就sin EDF =sin A F O D OC4BC5E EF4DE5EF=4DE=42045 m=4mC 55S CDE=S ADCS ADE- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - S=1 （4m） 4 21（4 m）（ 4m）2=1 2m 2+2m（0m4）1（m2）2+2, a=10 22当 m=2 时, S 有最大值 2.点 D 的坐标为（ 1,0）. 7、如图 9,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过
19、点 A 3 3, （1）求正比例函数和反比例函数的解析式；名师归纳总结 （ 2） 把 直 线OA 向 下 平 移 后 与 反 比 例 函 数 的 图 象 交 于 点y 第 10 页,共 20 页B 6,m,求 m 的值和这个一次函数的解析式；C、D,3 A B （3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、 y 轴分别交于求过 A、B、 D 三点的二次函数的解析式；（4）在第（ 3）问的条件下,二次函数的图象上是否存在点E,O 3 C 6 x 使四边形OECD 的面积S 与四边形 1OABD 的面积S 满意：S 12S ？如存在,求点E 的坐标；如不存在,请说明理由D 3解：（1）设正比例函数的
20、解析式为yk x k 10,由于yk x的图象过点A 3 3, ,所以33k ,解得 1k 11这个正比例函数的解析式为yx （1 分）设反比例函数的解析式为yk2k20x由于yk2的图象过点A3 3, ,所以x3k2,解得k 293这个反比例函数的解析式为y9 （2 分）x（2）由于点B6,m 在y9的图象上,所以xm93,就点B6,32 （3 分）62设一次函数解析式为yk xb k 30- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于yk xb 的图象是由yx 平移得到的,所以 k 3 1,即 y x b 又由于 y x b 的图象过点 B 6,3,所以2
21、3 96 b ,解得 b,2 29一次函数的解析式为 y x （4 分）2（3）由于 y x 9 的图象交 y 轴于点 D ,所以 D 的坐标为 0,92 2设二次函数的解析式为 y ax 2 bx c a 0由于 y ax 2bx c的图象过点 A 3 3, 、B 6,3、和 D 0,9,2 29 a 3 b c 3,a 1,2所以 36 a 6 b c 3, （5 分）解得 b 4,2c 9 .2 c 9 .2这个二次函数的解析式为 y 1x 24 x 9 （6 分）2 2（4）y x 9交 x 轴于点 C ,点 C 的坐标是 9 0, ,2 2如下列图,S 156 16 6 1 33 1
22、3 32 2 2 2 29 945 184 2814 y 假设存在点 E x 0,y 0 ,使 S 1 2S 81 2 27A 3 4 3 2 3 E B 四边形 CDOE 的顶点 E 只能在 x 轴上方,y 0 0,O 3 C 6 x S 1 SOCD SOCED 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 81109919y 0 （7 分）222228193y 84y 027 2,9 4y82E x 0,y 0 在二次函数的图象上,1 2 9 3x 0 4 x 02 2 2解得 x 0 2 或 x 0 6当 x 0 6
23、 时,点 E 6,3 与点 B 重合,这时 CDOE 不是四边形,故 x 0 6 舍去,2点 E 的坐标为 2,3 （8 分）28、如图,已知抛物线 y x 2bx c经过 A , ,B 0 2, 两点,y 顶点为 D 名师归纳总结 （1）求抛物线的解析式；90 后,点 B 落到点 C 的位置,B l x 第 12 页,共 20 页（2）将OAB绕点 A 顺时针旋转将抛物线沿y 轴平移后经过点C ,求平移后所得图象的函数关系式；O A D （3）设（ 2）中平移后,所得抛物线与y 轴的交点为B ,y（第 26 题）顶点为D ,如点 N 在平移后的抛物线上,且满意NBB 1C的面积是NDD 1面
24、积的 2 倍,求点 N 的坐标解：（1）已知抛物线yx2bxc经过A10,B0 2, ,P01bc解得b23O Bx200ccD所求抛物线的解析式为yx23 x2 2 分 图（ 16）（2）A , ,B0 2, ,OA1,OB2可得旋转后 C 点的坐标为 31, 3 分- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当x3时,由y2 x3 x2得y2,可知抛物线 y x 2 3 x 2 过点 3 2将原抛物线沿 y 轴向下平移 1 个单位后过点 C 2平移后的抛物线解析式为：y x 3 x 1 5 分（3）点 N 在 y x 23 x 1 上,可设 N 点坐标为 x
25、 0,x 0 23 x 0 12将 y x 23 x 1 配方得 y x 3 5,其对称轴为 x 3 6 分2 4 2当 0 x 0 32 时,如图,y SNBB 1 2 SNDD 1B 1 1 31 x 0 2 1 x 02 2 2 B1A C x 0 1 O D x N D1此时 x 0 23 x 0 1 1 图N 点的坐标为 1,1 8 分当 x 0 3时,如图21 1 3同理可得 1 x 0 2 x 02 2 2y x 0 32此时 x 0 3 x 0 1 1 B N 点 N 的坐标为 31, B1 C A O D x 综上,点 N 的坐标为 1,1 或 31, -10 分D 1图名师
26、归纳总结 9、如图（16）,在平面直角坐标系中,开口向上的抛物线与x 轴OB OAOB）的长分别是第 13 页,共 20 页交于 A、B两点, D 为抛物线的顶点,O 为坐标原点如OA、方程2 x4x30的两根,且DAB45- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）求抛物线对应的二次函数解析式；（2）过点 A 作 ACAD 交抛物线于点C ,求点 C 的坐标；D到直线 l 的距离分别（3）在（ 2）的条件下,过点A 任作直线 l 交线段 CD 于点 P,求 C、为d 1、d2,试求d 1+ d 2的最大值解：（1）解方程x24x30得x1 或x3,而OA
27、OB,就点 A 的坐标为 1 0, ,点 B 的坐标为 3 0, 1 分过点 D 作 DD 1 x 轴于 D ,就 1 D 为 AB 的中点1D 的坐标为 10,又由于 DAB 45,AD 1 DD 1 2D 的坐标为 1,2 2 分令抛物线对应的二次函数解析式为 y a x 1 22抛物线过点 A 10,就 04 a2,得a12故抛物线对应的二次函数解析式为（2）CAAD,DAC90y 1 x 1 22（或写成 y 1x 2x 3） 4 分2 2 2 5 分名师归纳总结 又DAB45,CAD 145第 14 页,共 20 页令点 C 的坐标为 m,n,就有m1n 6 分点 C 在抛物线上,n
28、1 2m122 7 分化简得m24m50解得m5,m1（舍去）故点 C 的坐标为 5 6, 8 分（3）由（ 2）知AC6 2,而AD2 2,DCAD2AC24 5 9 分过 A 作 AMCD- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1ACAD1DCAM ,22AM 24 6 5 4 5 5SADC SAPD SAPC,1 1 1AC AD AP d 1 AP d 2 2 2d 1 d 2 2424 24 5 4 5AP AM 6 5 图 12 即此时 d 1 d 的最大值为 4 5 13 分 210、如图 12,已知二次函数 y 1 x 2 bx c c 0
29、 的图象与 x 轴的正半轴相交于点2A 、B,y 与 y 轴相交于点 C,且 OC 2 OA OBx=m 1求 c 的值；2如 ABC 的面积为 3,求该二次函数的解析式；B y=x 3设 D 是2中所确定的二次函数图象的顶点,试问在直线AC 上是否存在一点P 使 PBD 的周长最小 .如存在,求出点P 的坐标；如不存在,请说明理由N A O P x M 图 10 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 11、（2022 四川省广安市）如图10,已知抛物线y2 xbxc 经过点（ 1,-5）和（ -2,4）名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 20 页精选学习资