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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载学校奥数平面几何五种模型（等积,鸟头,蝶形,相像,共边）目标：娴熟把握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相像（含金字塔模型和沙 漏模型）,共边（含燕尾模型和风筝模型） , 把握五大面积模型的各种变形 学问点拨一、等积模型S1S2CADB等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等, 面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比；ab如右图S 1:S 2a b夹在一组平行线之间的等积变形,如右图SACDSBCD；反之,假如SACDSBCD,就可知直线 AB 平行于 CD 等底等高的两个平行四边形面积相等 行四边
2、形 ； 长方形和正方形可以看作特别的平三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相 等,面积比等于它们的高之比二、鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角 相等角或互补角 两夹边的乘积之比如图在ABC 中, D E 分别是 AB AC 上的点如图 或 D 在 BA的延长线上, E 在 AC 上 ,就 SABC : SADE AB AC : AD AE D AADEBCBE ：S 2:S 4S 3BAS2S1S3S4DCC图图三、蝶形定理 “ 蝶形定理”O任意四边形中的比
3、例关系S 1:S 2S 4:S 或者S 1S 3S 2S AO OCS 1蝶形定理为我们供应明白决不规章四边形的面积问题的一个途径通过构造名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载AaS4D模型,一方面可以使不规章四边形的面积关系与四边S1形内的三角形相联系；另一方面,也可以得到与面积S2O对应的对角线的比例关系梯形中比例关系 “ 梯形蝶形定理” ：BS3CS 1:S 3a2:b2bS 1:S 3:S 2:S 4a2:b2:ab ab ； S的对应份数为ab 四、相像模型 一 金字塔模型 二 沙漏模型AEF
4、DADFEBGCBGCAD ABAEDEAF AG；ACBC只要其外形不转变,SADE：SABCAF2:AG2所谓的相像三角形,就是外形相同,大小不同的三角形不论大小怎样转变它们都相像 下： ,与相像三角形相关的常用的性质及定理如相像三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相像 比；相像三角形的面积比等于它们相像比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半相像三角形模型,给我们供应了三角形之间的边与面积关系相互转化的工 具在学校奥数里,显现最多的情形是由于两条平行线而显现的相像三角形五、共边定理（燕尾模型和风筝
5、模型）名师归纳总结 在三角形 ABC中, AD , BE , CF 相交于同一点 O,那么BFDOAECSABO:SACOBD DC 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段,因为ABO 和ACO的外形很象燕子的尾巴, 所以这个定理被称为燕尾定理该定理在很多几何题目中都有着广泛的运用,它的特别性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,为第 2 页,共 33 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载三角形中的三角形面积对应底边之间供应相互联系的途径 . 典型例题【例 1】 如图,正方形 ABCD的边长为 6, AE 1. 5, CF_G
6、2长方形 EFGH的面积为_H_H_A_D_A_D_E_E_G_B_F_C_B_F_C【解析】 连接 DE,DF,就长方形 EFGH的面积是三角形 DEF面积的二倍三角形 DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积,SDEF661.5622624.54216.5, 所以长方形EFGH面积为 33【巩固】如下列图,正方形ABCD 的边长为 8厘米,长方形 EBGF 的长 BG 为10厘米,那么长方形的宽为几厘米？_E _E_A _B _A _B_F _F_D _G _C _D _G _C【解析】 此题主要是让同学会运用等底等高的两个平行四边形面积相等 长方形和正方形可以看作特别的平行四边形
7、 等高的平行四边形面积的一半 三角形面积等于与它等底证明：连接 AG我们通过ABG把这两个长方形和正方形联系在一起名师归纳总结 - - - - - - -在正方形 ABCD中,SABG1ABAB边上的高,2SABG1SABCD 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积2的一半 同理,SABG1S EFGB2 正 方 形ABCD 与 长 方 形 E F G B面 积 相 等 长 方 形 的 宽881 0 厘米 第 3 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【例 2】 长方形 ABCD的面积为 36cm , E 、 F 、G 为各边中点, H 为 A
8、D 边上任意一点,问阴影部分面积是多少？HDAEGB F【解析】 解法一：查找可利用的条件,连接AC BH 、 HC,如下图：H DS ABCDSEG、SDHG181 2SDHC, 而可 得 ：SEHBBSAHB、FFHB1SC1SCHB22AHBSCHBSCHD36SEBF1即SEHBSBHFSDHG1SAHBSCHBSCHD136；,22而SEHBSBHFSDHGS 阴影SEBFBEBF11AB1BC1364.5222284.513.5所以阴影部分的面积是：S 阴影18SEBF18解法二：特别点法找H 的特别点,把 H 点与 D 点重合,那么图形就可变成右图：FDHAEGBC这样阴影部分的
9、面积就是DEF 的面积,依据鸟头定理,就有：名师归纳总结 S 阴影S ABCDSAEDSBEFSCFD36113611136113613.5第 4 页,共 33 页2222222【巩固】在边长为 6 厘米的正方形ABCD内任取一点 P ,将正方形的一组对边二等分,另一组对边三等分,分别与P 点连接 , 求阴影部分面积- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ADA学习必备欢迎下载DADPP PB C B C B C【解析】 （法 1）特别点法由于 P 是正方形内部任意一点,可采纳特别点法,假设 P 点与 A 点重合,就阴影部分变为如上中图所示,图中的两个阴影三
10、角形的面积分别占正方形面积的6 2 1 1 15 平方厘米4 6（法 2）连接 PA、 PC 4和 1 6,所以阴影部分的面积为由于PAD与PBC 的面积之和等于正方形ABCD面积的一半,所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形 左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形影部分的面积为621115平方厘米46ABCD 面积的1 4,同理可知ABCD 面积的1 6,所以阴【例 3】 如下列图,长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70,AB8,AD15,四边形 EFGO的面积为ADEOGBFC【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形 EFGO的面积之和,以及三
11、角形AOE 和 DOG 的面积之和,进而求出四边形EFGO的面积由 于 长 方 形 ABCD 的 面 积 为 15 8120 , 所 以 三 角 形 BOC 的 面 积 为名师归纳总结 - - - - - - -120130,所以三角形AOE 和 DOG 的面积之和为12037020；44又三角形 AOE 、 DOG 和四边形 EFGO 的面积之和为1201130,所以24四边形 EFGO的面积为 302010 另解：从整体上来看,四边形EFGO的面积三角形 AFC 面积三角形BFD 面积白色部分的面积,而三角形AFC 面积三角形 BFD 面积为长方形面积的一半, 即 60,白色部分的面积等于
12、长方形面积减去阴影部第 5 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 分的面积,即 12070学习必备欢迎下载60501050,所以四边形的面积为【巩固】如图,长方形 ABCD 的面积是 36,E 是 AD 的三等分点,AE 2 ED ,就阴影部分的面积为A E D A E DM NO OB C B C【解析】 如图,连接 OE根 据 蝶 形 定 理 ,ON : ND S COE : S CDE 1S CAE : S CDE 1:1, 所 以2S O E N 1 S；E D2OM : MA S BOE : S BAE 1S BDE : S BAE 1: 4,所以 S O
13、EM 1S OEA2 5又 S OED 1 1S矩形 ABCD 3,S OEA 2 S OED 6,所以阴影部分面积为：3 43 16 12.72 5【例 4】 已知 ABC为等边三角形,面积为400, D 、 E、 F 分别为三边的中点,已知甲、乙、丙面积和为143,求阴影五边形的面积 丙是三角形HBC ABDM甲乙FCIJHN 丙E【解析】 由于 D 、 E 、 F 分别为三边的中点,所以DE 、 DF 、EF 是三角形 ABC 的中位线,也就与对应的边平行,依据面积比例模型,三角形 ABN 和三角形 AMC 的面积都等于三角形ABC的一半,即为 200名师归纳总结 依据图形的容斥关系,有
14、SABCS 丙SABNSAMCS AMHN,第 6 页,共 33 页即400S 丙 200200SAMHN,所以S 丙S AMHN43又S 阴影SADFS 甲S 乙S AMHN,所以S 阴影S 甲S 乙S 丙SADF14314004- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 5】 如图,已知CD5,DE学习必备EF欢迎下载FG6,线段 AB 将图形分成两部7,15,分,左边部分面积是F38,右边部分面积是E65,那么三角形ADG 的面积是AAGCDCDEFGBB【解析】 连接 AF , BD依据题意可知,CF571527；DG715628；SADG,所以,
15、SBEF15SCBF,SBEC12SCBF,SAEG21SADG,SAED727272828于是：21SADG15SCBF65；7SADG12SCBF38；282728274:7,可得SADG40故三角形 ADG 的面积是 40【例 6】 如图在ABC中, , D E 分别是AB AC 上的点,且AD AB2:5,AE ACSADE16平方厘米,求ABC的面积AAD DE EB C B C【解析】 连接 BE ,SADE : SABE AD : AB 2:5 2 4 :5 4,SABE : SABC AE : AC 4 :7 4 5 : 7 5, 所 以 SA D E : SA B C 2 4
16、 : 7, 设SADE 8 份,就 SABC 35 份,SADE 16 平方厘米,所以 1份是 2平方厘米,35份就是 70平方厘米,ABC 的面积是 70 平方厘米由此我们得到一个重要的定理,共角定理：共角三角形的面积比等于对应角 相等角或互补角 两夹边的乘积之比【巩固】如图,三角形ABC 中, AB 是 AD的 5 倍, AC 是 AE 的 3 倍,假如三角名师归纳总结 形 ADE 的面积等于 1,那么三角形ABC的面积是多少？第 7 页,共 33 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A学习必备欢迎下载AD E D EB C B C【解析】 连接
17、BE EC 3 AES ABC 3 S ABE又AB 5 ADS ADE S ABE 5 S ABC 15,S ABC 15 S ADE 15【巩固】如图,三角形 ABC被分成了甲 阴影部分 、乙两部分,BD DC 4,BE 3,AE 6,乙部分面积是甲部分面积的几倍？A AE 乙 E 乙甲 甲B D C B D C【解析】 连接 AD BE 3,AE 6AB 3 BE,S ABD 3 S BDE又BD DC 4,S ABC 2 S ABD,S ABC 6 S BDE,S 乙 5 S 甲 【例 7】 如图在ABC 中, D 在 BA的延长线上,E 在 AC上,且 AB AD 5: 2,AE E
18、C 3: 2,SADE 12 平方厘米,求ABC 的面积DDA AE EB C B C【解析】 连接 BE ,SADE : SABE AD : AB 2:5 2 3 : 5 3SABE : SABC AE AC 3: 3 2 3 5 : 3 2 5,所以 SA D E : SA BC 3 2 : 5 3 2 6 : 25,设 SA D E 6 份,就 SABC 25 份,SADE 12 平方厘米,所以 1份是 2平方厘米,25份就是 50平方厘米,ABC的面积是 50平方厘米由此我们得到一个重要的定理,共角定理：共角三角形的面积比等于对应角 相等角或互补角 两夹边的乘积之比名师归纳总结 - -
19、 - - - - -第 8 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 8】 如图,平行四边形学习必备欢迎下载2 CB ,GD3DC ,HA4AD ,平ABCD, BEAB ,CF行四边形 ABCD的面积是 2, 求平行四边形 积比ABCD与四边形 EFGH 的面ABHEABHEGDCGDCFF【解析】 连接 AC 、 BD依据共角定理在ABC和BFE中,ABC与FBE 互补,SABCAB BC1 11SFBEBE BF1 3315+3+236又SABC1,所以SFBE3同理可得SGCF8,SDHG15,SAEH8所以S EFGHSAEHSCFGSDHGSBEFS
20、ABCD88所以S ABCD21S EFGH3618【例 9】 如下列图的四边形的面积等于多少？CO13B难以运用公式直接131213D13121212A【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形,求面积 . 我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形 OAB绕顶点 O逆时针旋转,使长为13的两条边重合,此时三角形 OAB将旋转到三角形 OCD 的位置 . 这样,通过旋转后所得到的新图形是一个边长为 的面积 . 12的正方形,且这个正方形的面积就是原先四边形名师归纳总结 因此,原先四边形的面积为12 12144. 也可以用勾股定理 ABC【例 10】如下列图,ABC中,ABC90
21、,AB3,BC5,以 AC 为一边向第 9 页,共 33 页外作正方形 ACDE ,中心为 O ,求OBC 的面积- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - E学习必备欢迎下载EO DO DA A3 3B 5 C B 5 C F【解析】 如图,将 OAB沿着 O点顺时针旋转 90 ,到达 OCF 的位置由于 ABC 90,AOC 90,所以 OAB OCB 180而 OCF OAB,所以 OCF OCB 180,那么 B 、 C 、 F 三点在一条直线上由于 OB OF ,BOF AOC 90,所以 BOF 是等腰直角三角形, 且斜边BF 为 5 3 8,所以它
22、的面积为 8 2 1 164依据面积比例模型,OBC 的面积为 16 5 108【例 11】如 图,以正方形的边 AB 为斜边在正方形内作直角三角形 ABE ,AEB 90, AC 、 BD 交于 O 已知 AE 、 BE 的长分别为 3cm、 5cm,求三角形 OBE的面积COBCOBFE ED A D A【解析】 如图,连接 DE ,以 A 点为中心, 将 ADE 顺时针旋转 90 到 ABF 的位置那么 EAF EAB BAF EAB DAE 90,而 AEB也是 90 ,所以四边形 AFBE 是直角梯形,且 AF AE 3,所以梯形 AFBE 的面积为：名师归纳总结 353112cm
23、AB25AE2BE2322 534,2又由于ABE是直角三角形,依据勾股定理,所以SABD1AB217cm 12cm ,第 10 页,共 33 页2那么SBDESABDSABESADESABDS AFBE17所以SOBE1SBDE2.5cm 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载CD ,BCEF ,且有 AB平行【例 12】如下图,六边形 ABCDEF 中, ABED, AF于 ED ,AF 平行于 CD,BC平行于 EF ,对角线 FD垂直于 BD ,已知FD24厘米,BD18厘米,请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？BGBA
24、CACFDFDE E【解析】 如图,我们将 BCD 平移使得 CD 与 AF 重合,将 DEF 平移使得 ED与 AB 重合,这样 EF 、 BC 都重合到图中的 AG 了这样就组成了一个长方形BGFD,它的面积与原六边形的面积相等,明显长方形 BGFD 的面积为24 18 432平方厘米,所以六边形 ABCDEF 的面积为 432平方厘米【例 13】如 图,三角形 ABC 的面积是 1, E 是 AC 的中点,点 D 在 BC 上,且BD DC 1: 2, AD 与 BE 交于点 F 就四边形 DFEC 的面积等于A A3 3 EE F 3BD FC B 1D 2CAFESABFBD1,SA
25、BFSAE1, BDC【解析】 方法一：连接 CF ,依据燕尾定理,SACFSCBFECDC2设SBDF1份,就SDCF2份,SABF3份,SAEFEFC3份,如图所标名师归纳总结 所以S DCEF5SABC5SABD1SABC1,第 11 页,共 33 页1212方法二：连接 DE ,由题目条件可得到33SADE1SADC12SABC1,所以BFSABD1 1,2233FESADE- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1 1 1 1 1 1SDEF SDEB SBEC2 2 3 2 3 2而 SCDE 2 1 SABC 1所以就四边形3
26、 2 3【巩固】如图,长方形 ABCD 的面积是 2平方厘米,影部分的面积是多少平方厘米 . 1 SABC,12DFEC 的面积等于 125EC 2 DE ,F 是 DG 的中点阴AGFDAA33FDyDS 阴影5SBCD51EBEB Bx2 FE3 xy CCGCG【解析】 设SDEF1 份,就依据燕尾定理其他面积如下列图1212平方厘米 . 【例 14】四边形 ABCD的对角线 AC 与 BD 交于点 O 如下列图 假如三角形 ABD的面积等于三角形 BCD的面积的1 3,且 AO 2,DO 3,那么 CO的长度是 DO 的长度的 _倍A D A DGO H OB C B C【解析】 在此
27、题中,四边形 ABCD为任意四边形,对于这种” 不良四边形”,无外乎两种处理方法：利用已知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决；通过画帮助线来改造不良四边形看到题目中给出条件SABD:SBCD1: 3,这可以向模型一蝶形定理靠拢, 于是得出一种解法又观看题目中给出的已知条件是面积的关系,转化为边的关系,可以得到其次种解法,但是其次种解法需要一个中介来改造这个” 不良四边形” ,于是可以作AH 垂直 BD于 H , CG 垂直 BD 于 G ,面积比转化为高之比再应用结论：三角形高相同,就面积之比等于底边之比,得出 结果请老师留意比较两种解法,使同学体会到蝶形定理的优势,从 而主观上情愿把握并使用
28、蝶形定懂得决问题名师归纳总结 解法一：AO:OCSABD:SBDC1: 3,OC23 6,OCOD:6:3 2:1解法二：作 AHBD 于 H , CGBD 于 G SABD1SBCD,AH1CG ,SAOD1SDOC,333第 12 页,共 33 页AO1CO ,OC236,OC OD6:32:13- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【巩固】如图,四边形被两条对角线分成 积已知,4 个三角形,其中三个三角形的面求：三角形BGC 的面积；AG GC？A21D3GBC【解析】 依据蝶形定理,S BGC 1 2 3,那么 S BGC 6；依
29、据蝶形定理,AG GC 1 2 : 3 6 1: 3【例 15】如图,平行四边形 ABCD的对角线交于 O 点,CEF、OEF、ODF、BOE 的面积依次是 2、4、4 和 6求：求OCF 的面积；求GCE的面积 A DOFGB E C【解析】 依据题意可知,BCD 的面积为 2 4 4 6 16 ,那么BCO 和 CDO 的面积都是 16 2 8,所以OCF 的面积为 8 4 4；由于BCO 的面积为 8,BOE 的面积为 6,所以OCE 的面积为8 6 2,根 据 蝶 形 定 理,EG : FG S COE : S COF 2 : 4 1: 2,所 以S G C : E S G C E :
30、 F G F,G那么 S GCE 1 S CEF 1 2 21 2 3 3【例 16】如图,长方形 ABCD中,BE EC 2:3,DF FC 1: 2,三角形 DFG 的面积名师归纳总结 为 2平方厘米,求长方形ABCD的面积第 13 页,共 33 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AG学习必备欢迎下载GDDAFFBECBEC【解析】 连接 AE , FE SDEF因为B:E2 E,CDF FC1: 2,所以332S 1长方形ABCD110S 长方形ABCD15SGDF10平方5由于SAED1 2S长方形ABCD,AG GF1 1:2 105:1,
31、所以SAGD厘米,所以SAFD1S长方形ABCD,所以长方形SAFD12平方厘米由于6ABCD的面积是 72平方厘米【例 17】 如图,正方形ABCD面积为 3平方厘米, M 是 AD 边上的中点求图中阴影部分的面积B CGAM:BCD,依据梯形蝶形定理可以知【解析】 由于 M 是 AD 边上的中点, 所以AM1: 2道SAMG : SABG : SMCG : SBCG 1 : 1 2 : 1 22 : 2 21: 2: 2 : 4, 设 SA G M 1 份 , 就SM C D 1 2 3 份 , 所 以 正 方 形 的 面 积 为 1 2 2 4 3 12 份 ,S阴影 2 2 份,所以
32、S 阴影 : S 正方形 1: 3,所以 S阴影 1 平方厘米【巩固】在下图的正方形 ABCD中, E 是 BC边的中点,AE 与 BD相交于 F 点,三 角 形 BEF 的 面 积 为 平方厘米1 平 方 厘 米 , 那 么 正 方 形 ABCD 面 积 是名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载A DFB E C【解析】 连 接 DE , 根 据 题 意 可 知 BE AD 1: 2, 根 据 蝶 形 定 理 得2S梯形 （1 2）9 平 方 厘 米 ,SECD 3 平 方 厘 米 , 那 么S
33、ABCD 12 平方厘米 【例 18】已知 ABCD是平行四边形,BC CE 3: 2,三角形 ODE 的面积为 6 平方厘米就阴影部分的面积是DEB平方厘米DEAAOOBCC【解析】 连接 AC 由于 ABCD是平行四边形,BC CE 3: 2,所以 CE AD 2:3,依据梯形蝶形定理,S COE : S AOC : S DOE : S AOD 2 : 2 23: 2 3: 3 24: 6 : 6: 9,所以 S AOC 6 平 方 厘 米 ,S AOD 9 平 方 厘 米 , 又S A B C S A 6 C D 9 平方厘米 ,阴影部分面积为 6 15 21 平方厘米 名师归纳总结 【
34、巩固】右图中ABCD是梯形, ABED 是平行四边形,已知三角形面积如图所第 15 页,共 33 页示 单位：平方厘米 ,阴影部分的面积是平方厘米ADAD992121O44BECBEC- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【分析】 连 接 AE 由 于 AD 与 BC 是 平 行 的 , 所 以 AECD 也 是 梯 形 , 那 么SOCDSOAE,依据蝶形定理,SOCDSOAESOCESOAD4936,故SOCD236所以SOCD6 平方厘米 【巩固】右图中ABCD是梯形, ABED 是平行四边形,已知三角形面积如图所示 单位：平方厘米 ,阴影部分的面积是平方厘米ADAD881616OBE2CBE2C【解析】 连 接 AE 由 于