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1、南京外国语学校陈光立guanglichen1943yahoocomcn Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望 实行新课程标准，提高教学质量，教育理念是灵魂，教材建设是关键，教师素质是根本，课堂教学是核心，教学评价是导向，现代化技术是推进器.祝愿我们数学教育工作者做出无愧于时代的贡献，给我们所有的学生 一双能用数学视角观察世界的眼睛，一个能用数学思维思考世界的头脑，一副为谋国家富强人民幸福的心肠 张孝达 M.Kline 在西方文化中的数学中指出，数学是一种
2、精神，一种理性精神，正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的物质、道德和社会生活，试图回答人类自身存在提出的问题，努力去理解和控制自然，尽力去探索和确立已经获得知识的最深刻和最完善的内涵数学的理性精神被看成西方文明的核心 数学教育方法的核心是学生的再创造.教师不应该把数学当作一个已经完成了的形式理论来教，不应该将各种定义、规则、算法灌输给学生，而是应该创造合适的条件，让学生在学习数学的过程中，用自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识.Freudenthal选修21：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何选修22：导数及其应用、推理与证明、数系 的扩充与复数的引入选修2
3、3：计数原理、统计案例、概率 选修11：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用选修12：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数的引入、框图 系列3由6个专题组成选修31：数学史选讲；选修32：信息安全与密码；选修33：球面上的几何；选修34：对称与群；选修35：欧拉公式与闭曲面分类；选修36：三等分角与数域扩充；系列4由10个专题组成*选修41：几何证明选讲；*选修42：矩阵与变换；选修43：数列与差分；*选修44：坐标系与参数方程；*选修45：不等式选讲；选修46：初等数论初步；选修47：优选法与试验设计初步；选修48：统筹法与图论初步；选修49：风险与决策；选修410：开关电路与布尔
4、代数。高中数学的选修系列1和系列2，是在必修课程的基础上，为不同发展方向的学生设置的数学课程必修课程是为所有的学生在义务教育的基础上，获得较高的数学素养的而设置的对大多数学生来说，仍然有进一步选修数学的必要系列1和系列2，则是为这些学生而设置的、供选择的数学课程学生在高中数学必修课程的基础上，再进一步提高数学修养而设置的学习内容对于大多数高中学生来说，它们依然是必要的和基础性的课程其中，选修系列1是为希望在人文、社会科学等方面发展的学生设置的，选修系列2是为希望在理工、经济等方面发展的学生设置的 选修1、选修2的构成及其定位 在选修系列1和系列2中，有些内容是相同的，如常用逻辑用语、数系的扩充
5、与复数的引入；有些内容从标题来看是相同的，但是在内容的要求上有所区别，如圆锥曲线与方程、导数及其应用、统计案例、推理与证明；还有一些内容分别安排在不同的系列中，如框图只在选修系列1中才有，空间向量与立体几何、计数原理、概率只在选修系列2中才有这两个选修系列的内容，同样是给学生的发展继续打基础，只是依据学生发展方向的不同，是为学生打好不同的基础而设置的学生可以根据自己的发展志向，主动作出选择 与以往的高中数学课程相比，标准选定的必修内容以及选修系列1和系列2的学习内容，基本上覆盖了1997年制订、又于2002年修改审定的大纲的内容，只是根据时代的要求，增加了一些算法初步、推理与证明、框图这样的新
6、内容 在概率统计方面，对于统计思想及其应用和随机概念有所加强与此同时并对很多有些传统的内容做了删减，或在要求和侧重点方面有所调整标准与大纲内容比较 与此同时并对很多有些传统的内容做了删减，或在要求和侧重点方面有所调整。例如，削削弱弱了三角函数恒等变换化的证明；不等式中减减少少不等式证明的要求，而侧重介绍现实世界中的不等关系中优化的思想；立体几何中减减少少综合证明的内容，重在对于图形的把握，发展空间观念，运用向量方法解决计算问题；微积分初步中不不再再系系统统地地讲讲极限概念，只通过瞬时变化率的描述，着重理解微分的基本思想及其应用。这样的调整，将使得学生把精力更多地放在理理解解数数学学的的思思想想
7、和和本本质质方面，更加注意数学与现实世界的联系和应用，重重在在发发展展学学生生的的数数学学思思维维能能力力，发发展展学学生生的的数数学学应应用用意意识识，提提高高学学生生自自觉觉运运用用数数学学分分析析问问题题、解解决决问问题题的的能能力力，为学生日后的进一步学习，或在工作、生活中的应用，打下更好坚实的基础。选修系列3和系列4的构成及其定位 随着时代的发展、社会的进步，人们逐渐认识到，数学无处不在，科学技术的发展需要数学，各行各业的生产需要数学，就是在日常生活中也离不开数学，现代社会越来越需要数学素养比较高的人才。学生在学习过程中，应当有更加开阔的视野。一个人只有有了比比较较高高的的数数学学素
8、素养养和和比比较较开开阔阔的的视视野野，才能比较自觉地、有意识地运用数学的眼光，去观察、分析周围的世界，去主动地运用数学知识，处理和解决所遇到的问题。因此，为了使高中学生依据各自不同的兴趣和需要，了解更多、更广的数学知识，具有更高的数学素素养养，标准设置了选修系列3和系列4的学习内容 选修系列3和系列4的内容，有些看起来很深奥，以往只有上大学才能够学到，例如球面上的几何、对称与群、矩阵与变换、欧拉公式与闭曲面分类、三等分角与数域扩充等现在把它们引入高中数学课程，并不是要把这些内容简化下放，而是想抓住这些数学内容的主要精髓，把它们的基本思想介绍给高中学生 另外有些内容，例如数学史选讲、几何证明选
9、讲、数列与差分、坐标系与参数方程、不等式选讲、初等数论初步等，是想让学生在已学过的数学内容的基础上，进一步加深对已学知识和相关知识的了解和认识 还有一些内容，例如信息安全与密码、优选法与实验设计初步、统筹法与图论初步、风险与决策、开关电路与布尔代数等，它们反映了数学与现实世界的紧密联系与广泛应用，通过介绍这些数学知识，可以加深学生对数学的力量、数学应用价值的认识这些内容的教材编写和教学，并不要求很严格的系统性，但是又不是像有些科普通俗介绍那样只是简单地讲讲故事，而是想让学生对它们的基本内容和基本思想方法有一个初步的了解 选选修修系系列列3和和选选修修系系列列4的的设设置置和和实实施施是是一一个
10、个动动态态发发展展的的过过程程,在在教教学学方方式式上上应应深深入入浅浅出出，不不可过度的形式化，不追求非常严格的系统性可过度的形式化，不追求非常严格的系统性 系列系列系列系列3 3内容的评价适宜采用定量与定性相结合的方式内容的评价适宜采用定量与定性相结合的方式内容的评价适宜采用定量与定性相结合的方式内容的评价适宜采用定量与定性相结合的方式 必修教材强调知识形成的过程，重视数学思想方法的渗透如函数概念的形成过程等；选修教材也强调知识的形成过程，重视数学思想的渗透，更突出数学的文化价值的体现如导数、推理与证明、对称与群等常用逻辑用语选修 21 第 1 章（选修 11第1章）一、本章结构一、本章结
11、构 背景背景命题命题四种命题关系四种命题关系充分必要条件充分必要条件逻辑联结词逻辑联结词量词量词命题的否定命题的否定应用应用 正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思维，使得思维清晰明了，说理有据 学习逻辑用语的目的不是学习数理逻辑的有关知识，而是让学生通过学习逻辑用语的基本知识，体会逻辑用语在表述和论证中的作用大纲里讲的是简易逻辑，主要基于数学意义上的简易数理逻辑，新课程标准所讲的是一种常用的逻辑语言，包括在数学上和日常生活中的应用二、本章内容的定位 本章考虑的命题是指明确地给出条件和结论的命题，对“命题的
12、逆命题、否命题与逆否命题”只要求做一般性的了解，这些内容对高中学生来说，尤其是刚刚学习时，是非常困难和难以理解的，但是所有这些内容当在学生经历了一段时间的学习，有了数学上具体命题的积累后，对这些问题的理解就不成为问题了这里不研究含有“或”、“且”、“非”的命题的逆命题、否命题和逆否命题三、内容解析与教学建议三、内容解析与教学建议 重点关注四种命题相互关系和充要条件 本章的重点是要求学生关注四种命题的相互关系和命题的必要条件、充分条件、充要条件，并在今后的使用过程中加深理解“若 p 则 q”为真命题时，p是 q成立的充分条件，不能误认为p是这个命题的充分条件本章中，“若 p则 q”形式的命题中的
13、 p与q，都是不含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”，并且p 与 q本身也不是“若 r 则 s”形式的命题 对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，主要的功能是让学生学会用这些逻辑联结词有效地表达相关的数学内容因此，内容的设计上要求通过具体的数学实例来进行展开，避免抽象地讨论不要涉及简单命题、复合命题的概念要注意命题的否定与否命题是不一样的，对含有逻辑联结词的命题的否定不作要求结合具体实例，避免抽象讨论理解量词含义，不追求形式化定义 教学中应让学生通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义，不要追求形式化的定义形式化的定义，对于学生来说，很难理解，并且很难找到具体应用的背景会判定一
14、个全称命题或存在性命题真假通过具体实例理解对含有一个量词的命题的否定的意义，并能正确地对含有一个量词的命题进行否定 在使用过程中掌握常用逻辑用语的用法 引导学生在使用常用逻辑用语的过程中，掌握常用逻辑用语的用法，纠正出现的逻辑错误，体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性帮助学生完善表述方式，学会使用逻辑用语表达数学内容，进而形成逻辑地表达自己的思想、判断、推理的能力 充分条件和必要条件充分条件和必要条件 教学目的教学目的：(1)理解必要条件、充分条件与充要条件的意义以及充分条件和必要条件之间的区别和联系；(2)结合四种命题形式，理解并掌握充分条件、必要条件的判定方法，并进行一些简单的
15、应用；(3)培养学生的辩证思维能力教学重点教学重点：充分条件、必要条件的含义及判定方法 案例案例教学过程：教学过程：一、问题情境1情境：命题的四种形式以及相互之间的关系，第111中的图112问题：如果命题“若p则q”是真命题，那么p与q之间是什么关系？二、学生活动二、学生活动1分别判断下列命题的真假：分别判断下列命题的真假：(1)“若若xy，则，则x2y2”；(2)“若若x2y2，则，则xy”2上述命题中，条件和结论之间有什么关系？上述命题中，条件和结论之间有什么关系？三、建构数学三、建构数学1结合问题，引入符号结合问题，引入符号“pq”和和“p q”2引入充分、必要条件的有关概念引入充分、必
16、要条件的有关概念3解释解释“充分充分”、“必要必要”的含义，并举例说明的含义，并举例说明4用符号表示充分条件、必要条件、充分不必要用符号表示充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件条件、必要不充分条件、充分必要条件四、数学运用四、数学运用1例题例题例例1：指出下列命题中，：指出下列命题中，p是是q的充分条件还是必要条件的充分条件还是必要条件(1)p：x1；q：x21；(2)p：四边形的对边相等；：四边形的对边相等；q：四边形是矩形；：四边形是矩形；(3)p：两个三角形相似；：两个三角形相似；q：两个三角形对应角相等；：两个三角形对应角相等；(4)p：两条直线垂直；：两条
17、直线垂直；q：两条直线斜率的乘积是：两条直线斜率的乘积是1 例例2：指出下列命题中，：指出下列命题中，p是是q的什么条件的什么条件(回答回答“充分不充分不必要条件必要条件”、“必要不充分条件必要不充分条件”、“充要条件充要条件”、“既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件”)(1)p：x10；q：(x1)(x2)0(2)p：两直线平行；：两直线平行；q：内错角相等：内错角相等(3)p：ab；q：a2b2(4)p：四边形的四边相等；：四边形的四边相等；q：四边形是正方形：四边形是正方形 四、数学运用四、数学运用2练习练习(1)课本第课本第8页练习：页练习：1，2，3(2)请学生举几个充分不必要条
18、件、必要不充分条件、请学生举几个充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的例子充要条件、既不充分也不必要条件的例子(3)判断下列命题的真假：判断下列命题的真假：“acbc”是是“ab”的充分条件；的充分条件；“acbc”是是“ab”的必要条件；的必要条件；“ab，cd”是是“acbd”的既不充分也不必的既不充分也不必要条件；要条件；“acbc”是是“ab”的必要条件；的必要条件；“ac2bc2”是是“ab”的必要条件；的必要条件；“”是是“ab”的必要条件的必要条件五、回顾与小结五、回顾与小结本节课学习了如下内容：本节课学习了如下内容：1充分条件、必要条件的有关概念充分条
19、件、必要条件的有关概念2充分条件、必要条件的判断方法充分条件、必要条件的判断方法3充分条件、必要条件的符号表示充分条件、必要条件的符号表示 六、课外作业六、课外作业:课本第课本第8页习题页习题11：3，4补充：判定下列各题中，补充：判定下列各题中，p是是q的什么条件：的什么条件：(1)充分而不必要充分而不必要(A)；(2)必要而不充分必要而不充分(B)；(3)充分必要充分必要(C)(1)p：x23x4，q：x ；()(2)p：x20，q：(x2)(x3)0；()(3)p：b24ac0，q：ax2bxc0有实数根有实数根(a0)；()(4)p：x1是是ax2bxc0(a0)的根，的根，q：abc
20、0()思考题思考题1对于命题对于命题“p是是q成立的充要条件成立的充要条件”和命题和命题“p成立的充要条件成立的充要条件是是q”，充分性、必要性分别指的是什么？，充分性、必要性分别指的是什么？(用符号表示用符号表示)2课本第课本第8页习题页习题11：5 圆锥曲线与方程选修 21 第 2 章（选修 11 第 2 章）与以往教材中先讲曲线方程的概念，再用方程研究曲线性质的“演绎”式的处理不同，本教材从必修部分开始，先直接给出直线、圆等特殊曲线的方程，并用其研究曲线性质，这是符合学生的认知规律，使得“形式化”有了感性的基础，深化了对数学本质的理解 选修2对圆锥曲线的学习，主要是结合已学过的曲线及其方
21、程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想。同时，在学习平面解析几何初步的基础上，学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 圆锥曲线这一章的内容可以采用不同的组织方法，例如：可以把椭圆、双曲线、抛物线合起来作为一个整体，先讨论它们的定义，再求它们的方程，最后研究它们的几何性质及应用；也可以分别研究椭圆、双曲线、抛物线，对每一种曲线按定义、方程、几何性质分别讨论这些方法各有利弊前一种方法可以使学生对圆锥曲线有一个统一的认识，也可以节省教学时间，但这样做教学难度较大；后一种方法学生接受较容易，但
22、削弱了几种圆锥曲线之间的联系，使知识凌乱，重复过多 本章总体设计思路是“总分总”，即先从整体上认识圆锥曲线的概念，了解椭圆、双曲线和抛物线的内在关系，再运用方程思想分别研究椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，进而通过统一定义从总体上进一步认识三种圆锥曲线的关系最后在学生对直线、圆及圆锥曲线的感性认识的基础上建立曲线方程的概念，并用方程观点认识和研究曲线交点等问题这样在汲取上述两种方案的优点的同时，也克服了它们的弊端这一设计体现了数学的文化价值、科学价值及应用价值，反映了数学的美学意义，遵循了“适度形式化”的课程理念一、本章结构圆锥曲线概念圆锥曲线方程圆锥曲线性质几何背景曲线与方程总分总从圆锥截线的
23、角度认识圆锥曲线分别对椭圆、双曲线、抛物线进行研究圆锥曲线的统一定义 对圆锥曲线而言对解析几何总体来说曲线直线圆圆锥曲线曲线与方程从统一的结构体现解析几何的基本思想几何特征建立方程研究性质 经历由具体情境抽象出圆锥曲线 模型的过程观察探索发现形成过程建议：(1)“适度引导”(2)重点在椭圆，另两个可直接给出(3)要求恰当，不要过分二、内容解析与教学建议二、内容解析与教学建议 教材借助圆锥面这一模型，通过不同的截法得到三种不同的圆锥曲线，引导学生形成椭圆、双曲线和抛物线的概念这样做，既能使学生经历概念的形成过程，更能使其从整体上认识三种圆锥曲线的内在关系。根据问题的难易度及学生的认知水平，只要求
24、学生掌握椭圆、抛物线的定义，对双曲线只要求“了解双曲线的定义”这一过程是建立在学生的最近发展区上的形式化的过程，有利于培养学生的数学化能力，强化数学素养 图2-1-1 用一个平面去截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线；当平面与圆锥面的轴垂直时，截线（平面与圆锥面的交线）是一个圆当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时，观察截线的变化情况，并思考：用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何特征？图2-1-2 =0 设圆锥面的母线与轴所成的角为，截面与轴所成的角为通过观察可以发现，当 ，0 ，=时，我们可以得到三种不同形状的曲线：MQF2PO1O2VF1古希腊数学家Dan
25、delin在圆锥截面的两侧分别放置一球，使它们都与截面相切（切点分别为F1，F2），又分别与圆锥面的侧面相切（两球与侧面的公共点分别构成圆O1和圆O2）过M点作圆锥面的一条母线分别交圆O1，圆O2与P，Q两点，因为过球外一点作球的切线长相等，所以MF1=MP，MF2=MQ，MF1+MF2 MP+MQ PQ定值定值 汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状象椭圆，把一个圆压扁了,也象椭圆.它们究竟是不是椭圆?电影放映机上的聚光灯泡的反射镜、运用高能冲击波击碎肾结石的碎石机等仪器设备都是运用椭圆的性质制造的怎样设计才能精确地制造它们?借助于椭圆的方程，我们可以回答上述问题那么 怎样建立椭圆的方程？怎样建
26、立椭圆的方程？如何根据方程研究椭圆的性质？如何根据方程研究椭圆的性质？重视节首语的教学建系设点列等式（限制条件）代入坐标（得到方程）化简方程教科书p27“由上述过程可知，椭圆上的点的坐标(x、y)都满足上面这个方程，并且满足上面这个方程的点都在已知的椭圆上”只要让学生从方程同解的角度认同即可，不要提纯粹性和完备性的概念 突出建立椭圆标准方程的全过程参数 b 的引入在这里只需说明是为了简化方程形式，在后面再说明其几何意义焦点在y轴的椭圆标准方程可由学生独立研究自行推出（不妨先作猜想，或变量代换）例2给出了确定曲线类型的新方法(原来的方法是运用概念，这里是由方程来判断)：感受曲线方程的概念通过求椭
27、圆的标准方程，进一步感受曲线方程的概念，了解求曲线方程的基本方法（在必修部分虽有体现，未充分说明但）例例2 将圆x2+y2=4上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线？要突出“用代数方法(方程)研究几何问题”的解析几何的基本思想如：范围、对称性等“顶点是椭圆与对称轴的交点”，不能认为最高(低)点、最左(右)点就是顶点对离心率要突出其几何意义，并在实验的过程中感受和理解其意义。直观上椭圆的扁圆程度可用b/a来刻画，为什么用c/a呢？掌握椭圆的几何性质用解析法研究曲线的几何性质是通过方程进行讨论的，而曲线方程又与所选择的坐标系有关，但不管选择怎样的坐标系，
28、曲线的几何性质是不变的教学时应向学生讲清图形本身的性质与坐标系的选择无关，把曲线不同位置的性质与曲线本身的性质区别开来把握教学要求，了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质突出类比，如导言中的类比提出问题、研究过程中从结论、过程、方法各个层面与椭圆类比学习双曲线要注意与椭圆类比 我们知道，椭圆上的点到两个定点距离的和等于定值，当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为 双曲线上的点到两个定点距离的差的绝对值等于定值那么，双曲线的标准方程是什么形式呢？“双曲线范围”的处理与原教材的区别：更为精确的限制，为渐近线的引入作铺垫；这表明双曲线在不等式这表明双曲线在不等式 x a 与与x a所
29、表示的平面区域内；所表示的平面区域内；这表明双曲线在上面两个不等式组表示的这表明双曲线在上面两个不等式组表示的平面区域内，即以直线平面区域内，即以直线 y x和和 y x为边界的平面区域内为边界的平面区域内双曲线离心率几何意义的认识：与椭圆类比提出问题，通过数形结合的分析发现结论 因为双曲线的图形夹在两条渐近线 y=x之间，所以 越大，双曲线的开口就越大 由 可知，越大，双曲线的开口就越大；越小，双曲线的开口就越小，即 反映了双曲线的开口的大小数形结合数形结合注意与椭圆、双曲线的联系与区别建立抛物线标准方程时坐标系的理性选择关注抛物线方程与性质的特殊性让学生独立探索如何建立抛物线的方程，关键是
30、选择适当的坐标系方程特点：无常数项、一个一次项、一个二次项图形特征：过原点、一条对称轴、非中心对称生长点：抛物线过程：特殊 一般（实验探索）设置意图：整体意识、数学的和谐、统一美圆锥曲线的统一定义 我们知道，平面内到一个定点F的距离和到一条定直线 l（F 不在 l上）的距离之比等于1 的动点 P 的轨迹是抛物线 当这个比值是一个不等于1 的常数时，动点 P 的轨迹又是什么曲线呢？第25节的思考的功能 (1)代数形式表达的几何意义的价值；(2)多角度认识同一数学对象 在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样一个式子：将其变形为你能解释这个式子的几何意义吗？椭圆的焦半径公式椭圆的焦半径公式（到右焦点
31、距离）（到右焦点距离）（到左焦点距离）（到左焦点距离）椭圆的两种定义之间的联系椭圆的两种定义之间的联系椭圆的第二定义：椭圆的第二定义：到一个定点的距离与到一条定直线的距离到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为常数之比为常数e(0e1)的点轨迹的点轨迹准线准线焦点焦点比比沟通椭圆两种定义之间的联系沟通椭圆两种定义之间的联系沟通形与数之间的联系沟通形与数之间的联系 会会用用方方程程表表示示几几何何图图形形的的性性质质，能能用等式刻画曲线上点的特征用等式刻画曲线上点的特征 会会说说出出方方程程表表示示的的曲曲线线的的几几何何特特征征，能对数量关系做出几何解释能对数量关系做出几何解释突出解析几何的
32、基本思想概念建立方程探求性质从特殊曲线的方程从特殊曲线的方程(如圆、直线、圆锥曲线等如圆、直线、圆锥曲线等)概念概念中抽象出一般的中抽象出一般的“曲线的方程曲线的方程”的概念的概念原教材先曲线方程的概念再研究特殊曲线的方程原教材先曲线方程的概念再研究特殊曲线的方程了解曲线与方程的对应关系，进一步体 会数形结合的基本思想熟悉求曲线方程的一般步骤（流程图）会求两条曲线交点坐标的简单问题（转化为求解方程组的问题）文理科的区别(1)圆锥曲线的概念部分：文科直接说明(2)文科对抛物线的要求是“了解”(4)文科对“曲线与方程”不作要求(3)对“统一定义”，文科作为性质了解，而 理科作为定义研究(5)文科在
33、例、习题上要求有所降低处理方法变化符合认知规律，暴露思维过程符合认知规律，暴露思维过程与原教材比较的几个变化结构体系变化 总体编排结构总体编排结构文理分科要求；增加了“思考”、“探究”和开放性的问题 为学生个性发展提供了空间为学生个性发展提供了空间空间向量与立体几何选修 21 第三章 空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具 向量是一个重要的代数研究对象。向量的引入使运算对象发生了一个重大跳跃：从数、字母与代数式、到向量，运算也是从一元到多元。向量又是一个几何的对象，向量本身有方向，有方向就有角度与长度，能刻画直
34、线、平面、切线。点乘、叉乘与图形的面积、体积有着直接的关系。向量是建立代数与几何的一个桥梁坐标法与向量法，用向量来解决问题可以看到代数问题的几何背景 向量是一个重要的数学与物理模型。几何量和物理量用向量表达比较简洁，处理起来也比较方便，比如：方向、夹角、功、力的运算等。在数学上，它本身也是一个重要的研究对象，比如：向量与向量的加法构成了一个群（V，），向量、实数与向量的加法构成一个线性空间（V，R，），向量、范数、实数与向量的加法、数乘构成线性赋范空间（V，R，）；在分析数学方面，还有场论的研究等。这些在数学及物理中都有广泛的应用。在本模块中，学生将在学习平面向量的基础上，把平面向量及其运算推
35、广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力。这些也为进一步学习向量和研究向量奠定一定的基础，因此，在选修2中设置了这部分内容。内容 (1)空间向量及其运算；(2)空间向量的应用 一、本章主要内容和结构向量的线性运算向量的数量积空间向量的应用平面向量及其运算空间线、面的位置关系空间角和距离的度量空间向量及其运算结构二、本章的展开方式与特点二、本章的展开方式与特点必修2：立体几何初步、解析几何初步必修4：平面向量选修1：圆锥曲线与方程选修2：圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何选修3：球面上的几何、对称与群、欧拉公
36、式与 闭曲面分类、三等分角与数域扩充选修4：几何证明选讲、矩阵与变换、极坐标与 参数方程新教材几何内容知识链新教材几何内容知识链把握图形的能力 空间想象能力推理能力 几何直觉能力培养和发展学生 提升几何直观的思想方法，突出用代数方法解决几何问题的过程，强调代数关系的几何意义。几何课程的定位几何课程的定位 遵循整体到局部、具体到抽象的原则，通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法，认识和探索空间几何图形及其性质。普通高中数学课程标准对立体几何的定位主要作了三个方面的调整：强调把握图形能力的培养，强调空间想象与几何直观能力的培养，强调逻辑思维能力的培养英国著名数学家M.阿蒂亚说过：“几何是
37、数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位，而代数则是数学中有序思维占主导地位的部分，这种区分也许用另外一对词更好，即洞察与严格，两者在真正的数学研究中起着本质的作用”新课程对立体几何定位的调整新课程对立体几何定位的调整内容展开方式 立体几何初步的安排是横向横向横向横向的：空间线线关系，空间线面关系，空间面面关系；空间向量与立体几何的安排是纵向纵向纵向纵向的：直线的方向向量与平面的法向量，线面关系的判定，空间角的计算 本章先讲清直线的方向向量与平面的法向量两个基本概念，然后从线面关系（包括直线与直线、直线与平面、平面与平面）的判定，空间角（包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角、平面与平面
38、所成的角）的计算两个方面研究空间向量在立体几何中的应用，侧重于应用向量解决立体几何问题的思想方法，而不在于简单地用空间向量把立体几何的有关概念、判定和性质复述一遍 本章的基本思想本章的基本思想 本章突出了用空间向量解决立体几何问题的基本思想根据问题的特点，以适当的方式（例如构建向量、建立空间直角坐标系）用空间向量表示空间图形中的点、线、面等元素，建立起空间图形与空间向量的联系；然后通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系（平行、垂直、角和距离等）；最后对运算结果的几何意义作出解释，从而解决立体几何的问题教科书还通过例题，引导学生对解决立体几何问题的三种方法（向量方法、坐标法、综合法）进行比较
39、，分析各自的优势，因题而宜作出适当的选择，从而提高综合运用数学知识解决问题的能力形形数数形形三、内容解析与教学建议三、内容解析与教学建议 空间向量及其运算，要求让学生经历由平面向空间推广的过程，目的是让学生体会数学的思想方法，体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并尝试如何解决这些问题同时，在这个过程中，也让学生享受一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质，同时注意空间向量与平面向量的区别和联系教学中，要引导学生主动学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，提高数学素养注重向量由平面向空间推广过程的教学 向量运算的引入，使数学运算对象发生了重大变化：从数、字母与代数式到向量，这为进一步理解
40、其它的数学运算（如函数的运算、映射、变换、矩阵的运算等等）创造了条件特别是当学生利用向量运算解决了数学中的问题时（如证明直线与平面垂直的判定定理），就更有助于学生体会数学运算的意义，感悟运算、推理在探索和发现中的作用体会数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量 体会数学运算的意义体会数学运算的意义 任意两个空间向量都可以“平移”到同一平面内，也就是说，它们可以用同一平面内的两条有向线段来表示这样，凡涉及两个空间向量的运算和位置关系问题，就可以转化为平面向量来解决因此，空间向量的线性运算及其性质、空间向量的数量积、空间向量的共线和垂直的条件等，与平面向量是完全一样的在上述相关内容的教学时，应
41、充分让学生类比猜想、自主探索，得出相应的法则和性质 鼓励类比猜想、自主探索 利用向量来解决立体几何问题是学习这部分内容的重点，要让学生体会向量的思想方法，以及如何用向量来表示点、线、面及其位置关系在教学中，可以鼓励学生灵活选择运用向量方法、坐标法与综合法，从不同角度解决立体几何问题 在数学2立体几何初步中，侧重于定性地研究线、面的位置关系，而本章则借助于空间向量，侧重于定量研究感悟向量的思想方法 共面向量还可以理解为“平行于同一平面的向量”（传统的定义）为此，还要先规定向量与平面平行的含义：若表示向量的有向线段平行于平面或在平面内，则称向量与平面平行本书对共面向量的定义更突出“自由向量”的特征
42、，不出现向量与平面平行的概念，便于学生接受 新教材：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量 关于共面向量的定义关于共面向量定理 空间向量中的共面向量定理与平面向量基本定理不仅在形式上是相同的，而且在本质上也是一致的这是因为任意两个空间向量a，b都可以平移到同一个平面，当a，b不共线时，可以作为基向量，向量p与它们共面，也就是向量p可以平移到这个平面，所以就能用a，b线性表示1共线向量定理表明，任意一个向量可以用与它共线的一个非零向量来线性表示，而且这种表示是唯一的平面向量基本定理表明，任意一个平面向量可以用与它同一平面内的两个不共线的非零向量来线性表示，而且这种表示是唯一的平面向量基本定
43、理是向量共线定理的推广，可以看成（在一定范围内的）向量分解“唯一性”定理由一维向二维的推广由此，可以向学生提出：在空间向量中，我们还可以作怎样的推广呢？引导学生积极主动探索关于空间向量基本定理2空间向量基本定理表明，任意一个空间向量可以用不共面的三个已知向量来线性表示，而且这种表示是唯一的因此，空间向量基本定理也称为空间向量分解定理，它为空间向量的坐标表示奠定基础 空间向量基本定理与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中也多了一“项”定理中“存在性”的证明与平面向量基本定理的思路、步骤基本相同，“惟一性”的证明用到反证法，只要求学生了解即可关于空间向量的数量积1由于
44、任意两个空间向量都可以转化为平面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和符号、两个空间向量的数量积等等，都与平面向量相同教学中，应引导学生自己将平面向量中数量积的有关概念、运算和方法推广到空间2要正确使用两个向量夹角的符号a，b例如，,BAC 3空间向量数量积的几何意义只要求学生了解 4空间向量数量积运算律的证明不作要求 向量的数量积是实施向量等向量的数量积是实施向量等式向数量等式转化的重要途径式向数量等式转化的重要途径 空间线、面的位置关系中，角反映了它们在方向上的差异因此，用向量来刻画这种差异，就先要规定直线和平面的“方向”，从而引入直线的方向向量和平面的法向量关
45、于直线的方向向量和平面的法向量 直线的方向向量不止一个，这些方向向量是共线向量；两条平行直线的方向向量是共线向量因此，研究空间直线与直线、直线与平面的平行与垂直关系，即研究它们在“方向”上的差异程度时，就可以用直线的方向向量来刻画直线的“方向”平面的法向量不止一个，这些法向量是共线向量；两个平行平面的法向量是共线向量，也就是说，两个平行平面的“方向”是相同的因此，研究空间平面与直线、平面与平面的平行与垂直关系，即研究它们在“方向”上的差异程度时，就可以用平面的法向量来刻画平面的“方向”将空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，用直线的方向向量和平面的法向量来表述，是一个“符号化”的过程
46、 关于空间线面关系的“符号化”三垂线定理回答了这样的问题：平面的斜线与平面内怎样的直线垂直(与斜线在平面内的射影垂直的直线垂直)在数学2立体几何中，三垂线定理淡出，只是在例题中用综合法通过直线与平面的垂直证明过这个定理(但没给出“三垂线定理”的名称)，而这里是通过向量“运算”来实现证明的，这进一步凸现了向量方法在研究几何图形中的作用关于三垂线定理的教学数系的扩充与复数的引入选修 22 第 3章 （选修 12 第 3 章）一、本章结构虚数的引入复数复数的表示复数的运算代数表示几何表示几何意义代数运算 虚数是奇妙的人类精神寄托，它好像存在与虚数是奇妙的人类精神寄托，它好像存在与不存在之间的一种两栖
47、动物不存在之间的一种两栖动物 莱布尼茨莱布尼茨 标准将复数作为数系扩充的结果引入，体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化这部分内容的学习，有助于学生体会数学理论产生与发展的过程，认识到数学发展既有来自外部的动力也有来自数学内部的动力，从而形成正确的数学观通过复数的引入等内容学习有助于发展学生的数学思维能力，形成理性思维和科学精神二、内容解析与教学建议二、内容解析与教学建议本章内容的定位本章内容的展开线索 先将复数看成是有序实数对，然后学习复数代数形式的四则运算，再把复数看成是直角坐标系下平面上的点，或把复数看成是从直角坐标系原点出发到平面
48、上一点的向量，最后介绍复数代数形式的加、减运算的几何意义这样处理可以使学生充分理解数系的扩充过程、代数运算的意义，从而进一步体会数学体系的建构过程、数形结合思想以及人类理性思维在数学发展中的作用 16世纪，意大利数学家卡尔丹（Cardano）在讨论问题“将将10分分成成两两部部分分，使使两两者者的的乘乘积积等等于于40”时，认为把答案写成“5 和5 ”就可以满足要求：(5 )(5 )5510，(5 )(5 )55 =25(15)40 我们知道，在实数集内，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0 的平方根是0那么，表示什么意义呢？你也许会觉得这个问题有点可笑，因为任何实数的平方是非负数，所以负
49、数没有平方根，因此没有意义尽管在很长时间内，数学家都认为5 和5 这两个式子没有意义，是虚构的、想像的，但在解决许多问题时，使用类似于“”这样的式子却带来极大的方便，那么，能作为“数”吗？它真的是无意义的、虚幻的吗？章章首首语语 从社会生活来看，为了满足生活和生产实践的需要，数的概念在不断地发展着为了计数的需要产生了自然数，为了测量等需要产生了分数，为了刻画具有相反意义的量产生了复数，为解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数，等等31 数系的扩充数系的扩充 教科书教科书 从数学内部来看，数集是在按某种“规则”不断扩充的在自然数集内，加法和乘法的运算总可以实施但是，由于小数不能减大数，方程x4
50、0无解为此引入负数，数集扩充到整数集在整数集中，加法、减法和乘法总可以实施但是，由于除法只能解决整除的问题，方程3x20无解为此引入了分数，数集扩充到有理数集在有理数集中，加法、减法、乘法和除法（除数不为0）总可以实施但是，开方的结果可能不是有理数，方程x220无解为此引入了无理数，数集扩充到实数集在实数集中，加、减、乘、除（除数不为0）总可以实施，并解决了正数的开方问题教科书教科书 从自然数集、整数集、有理数集到实数集，每一次数的概念的发展，新的数集都是在原来数集的基础上“添加”了一种新的数得来的在新的数集中，原有的运算及其性质仍然适用，同时解决了某些运算在原来数集中不是总可以实施的矛盾 现