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1、定积分的微元法定积分的微元法面积公式：面积公式：如果光滑曲线如果光滑曲线C由参数方程由参数方程 x=x(t)y=y(t),t，面积公式面积公式：那么，它是怎样推导出来的呢？那么，它是怎样推导出来的呢？如图如图 曲线曲线c：y=f(x),x（a,b）垂直点）垂直点x 与与x+x的平面的截面侧面积的平面的截面侧面积 所以有由 f(x)的连续性例一例一 计算圆计算圆 在在 上的上的弧段绕弧段绕 x轴旋转所得球的面积。轴旋转所得球的面积。解：解：二二 微元法的应用方向：微元法的应用方向：经济学经济学 (经济函数最大小值问题，广告策略问题经济函数最大小值问题，广告策略问题 ，资本现值和投资问题等），资本
2、现值和投资问题等）物理学物理学（功；水压力；引力和平均值等）（功；水压力；引力和平均值等）几何学（立体的面积，体积；曲线的弧长几何学（立体的面积，体积；曲线的弧长.）电子学（微元法的高精度系统响应矩阵建模）电子学（微元法的高精度系统响应矩阵建模），1 利用微元法计算资本现值和投资利用微元法计算资本现值和投资解解 由已知条件收入率为由已知条件收入率为a=2000(万元万元),年利率年利率r=5%,故无限期的投资的总收入的贴现故无限期的投资的总收入的贴现例例 有一个大型投资项目有一个大型投资项目,投资成本为投资成本为A=10000(万元万元),投资年利率为投资年利率为5%,每年每年的均匀收入率为的
3、均匀收入率为a=2000(万元万元),求该投求该投资为无限期时的纯收入的贴现值资为无限期时的纯收入的贴现值(或称为或称为投资的资本价值投资的资本价值).从而投资为无限期时的纯收入贴现为从而投资为无限期时的纯收入贴现为 R=y-A=40000-10000=30000(万元万元)=3（亿元）（亿元）例例2:一闸门呈倒置的等腰梯形垂直地位于水中一闸门呈倒置的等腰梯形垂直地位于水中,两底两底的长度分别为的长度分别为4m 和和6m,高为高为6m,当闸门上底正好位当闸门上底正好位于水面时于水面时,求闸门一侧受到的水压力求闸门一侧受到的水压力(水的密度为水的密度为10 kg/m3)。选取坐标系如图选取坐标系
4、如图2 所示所示,则则AB 的方程为的方程为y=-x/6+3 取取x为积变变为积变变量量,在在 它的积分区间它的积分区间 0,6上任上任取微小区间取微小区间 x,x+dx ,在水下深在水下深为为x m处的压强为处的压强为9.8x kN/m2,因此在代表区间相应的一小窄条因此在代表区间相应的一小窄条上所受的压力微元为上所受的压力微元为2 微元法在物理上的应用微元法在物理上的应用在在0,6上积分得上积分得3 用微元法建立微分方程用微元法建立微分方程例例3 边长边长a 为的方桌四角处各有为的方桌四角处各有(雌雄雌雄相间的相间的)小虫一只小虫一只,它们以相同速度按它们以相同速度按逆时针方向爬向它邻近的
5、小虫逆时针方向爬向它邻近的小虫,求虫们求虫们的爬行路线所满足的微分方程。的爬行路线所满足的微分方程。解解 以方桌的对角线为坐标轴以方桌的对角线为坐标轴,中心在原点中心在原点,不妨设第一只虫不妨设第一只虫子在子在x 轴正向轴正向,第二只在第二只在y 轴正向上。由于爬行速度轴正向上。由于爬行速度v 一样一样及位置的对称性及位置的对称性,四只虫子的轨迹是全等形四只虫子的轨迹是全等形,所以只讨论第所以只讨论第一只虫子所满足的微分方程。假设在一只虫子所满足的微分方程。假设在t 时刻时刻,第一只虫子位第一只虫子位于点于点P(x,y),第二只虫子位于第二只虫子位于Q(x 2,y 2)。给时间。给时间t 一个
6、一个微小的增量微小的增量dt,第一只虫子的变量第一只虫子的变量x,y 相应地取得增量相应地取得增量dx,dy。由于。由于dt 甚小甚小,认为第一只虫子在该时间段认为第一只虫子在该时间段 t,t+dt 内在内在PQ 连线上运动了连线上运动了vdt,取取由于按逆时针旋转由于按逆时针旋转90度度 第一只虫子与第二只第一只虫子与第二只虫子的轨迹重合虫子的轨迹重合,则则 ,该两式相比该两式相比,得得 显然，第一只虫子显然，第一只虫子的轨迹满足的轨迹满足 4 利用微元法简化对曲面积分的利用微元法简化对曲面积分的 计算计算利用微元法把面积微元转化为两个变量利用微元法把面积微元转化为两个变量微分之积，根据球面、柱面坐标系与直微分之积，根据球面、柱面坐标系与直角坐标之间的关系，对面积的曲面积分角坐标之间的关系，对面积的曲面积分 计算方便快捷，效果较好。计算方便快捷，效果较好。微元法的提出、思想、步骤微元法的提出、思想、步骤.三、小结三、小结微元法的微元法的实质实质是是“和式和式”的极限的极限.