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1、十二章节多元正态分布参数估计与检验 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望如果如果 维随机向量维随机向量(随机变量随机变量)一、多元正态分布一、多元正态分布定义定义(联合联合)概率密度函数为概率密度函数为则称随机向量则称随机向量 为为 维维正态随机向量正态随机向量，其中其中称为均值向量，称为均值向量，为协方差矩阵为协方差矩阵(协差阵协差阵)，且，且对于一般情形对于一般情形仍可定义多维正仍可定义多维正记为记为 。态随机向量，态随机向量，当当 时，时，若令若令
2、多元正态分布的多元正态分布的性质性质：（1）维正态分布由其均值向量和协方差阵唯维正态分布由其均值向量和协方差阵唯一确定。一确定。（2）对于任一对于任一 维向量维向量 及及 阶非负定矩阵阶非负定矩阵 ，（3）设设 ，是是 常数矩阵，常数矩阵，是是 维向量，维向量，则则必存在必存在 维正态随机向量维正态随机向量 。有前面的密度表示，而当有前面的密度表示，而当 时，时，的分的分布是退化的正态分布。布是退化的正态分布。（4）为为 维正态随机向量的充要条件为对任维正态随机向量的充要条件为对任一一 维向量维向量 ，是一维正态随机变量。是一维正态随机变量。（5）设设 为多维正态随机向量，为多维正态随机向量，
3、则则 与与 互不相关的充要条件是互不相关的充要条件是 与与 相互独立。相互独立。注注：若若 ，则称，则称 与与 互不相关。互不相关。（6）设设 ，则则 的充要条的充要条件是存在件是存在 矩阵矩阵 使得使得其中其中 。证明证明 充分性由性质充分性由性质3立得。立得。下证必要性。下证必要性。由于由于 是秩是秩 为的非负定阵，则必存在正为的非负定阵，则必存在正交矩阵交矩阵 使得使得其中其中 。令令则有则有令令则由性质则由性质3知知 ，且且 ,由上式可得由上式可得若记若记它是它是 矩阵，即有矩阵，即有（7）若若 ,且且 ，则则证明证明 由由 可知可知 是正定矩阵，是正定矩阵，所以所以存在且为对称矩阵，
4、存在且为对称矩阵，这样这样令令则则且且由性质由性质3知知 的每个分量的每个分量 服从标准正态分布，服从标准正态分布，且相互独立，且相互独立，故故 分布的定义知分布的定义知二、参数的估计二、参数的估计在此给出多元正态分布的参数在此给出多元正态分布的参数 和和 的估的估计。计。为简单计，仅考虑为简单计，仅考虑 的情形。的情形。设设 是来自多元正态总是来自多元正态总体体 的简单样本，的简单样本，令令样本均值向量样本均值向量样本离差阵样本离差阵定理定理18.1则则 是是设设 是来自多元正是来自多元正态总体态总体 的简单样本，的简单样本，且且 ，的极大似然估计，的极大似然估计，是是 的极大似然估计。的极
5、大似然估计。定理定理18.2则则 是是设设 是来自多元正是来自多元正态总体态总体 的简单样本，的简单样本，且且 ，的一致最小方差无偏估计，的一致最小方差无偏估计，是是 的一致的一致最小方差无偏估计。最小方差无偏估计。三、均值的检验三、均值的检验（一）（一）协差阵协差阵 已知时，均值已知时，均值 的检验的检验设设 是来自多元正态总是来自多元正态总体体 的简单样本，的简单样本，其中其中 已知。已知。考虑假设考虑假设检验问题检验问题令令则可以证明当则可以证明当成立时，即成立时，即 时，时，而当而当 不成立时，不成立时，有偏大的趋势。有偏大的趋势。因此，对因此，对给定的显著性水平给定的显著性水平 ，当
6、当时拒绝时拒绝 ，否则接受否则接受 ，即拒绝域为，即拒绝域为（二）（二）协差阵协差阵 未知时，均值未知时，均值 的检验的检验设设 是来自多元正态总是来自多元正态总体体 的简单样本，的简单样本，其中其中 未知。未知。考虑假设考虑假设检验问题检验问题令令则可以证则可以证成立时，即成立时，即 时，时，明当明当而当而当 不成立时，不成立时，有偏大的趋势。有偏大的趋势。因此，对因此，对给定的显著性水平给定的显著性水平 ，当当时拒绝时拒绝 ，否则接受否则接受 ，即拒绝域为，即拒绝域为（三）（三）两个正态总体均值相等的检验两个正态总体均值相等的检验设设 是来自多元正态总是来自多元正态总体体 的简单样本，的简
7、单样本，考虑假设检验问题考虑假设检验问题是来是来自多元正态总自多元正态总 的简单样本，的简单样本，且两个样本且两个样本相互独立，协方差阵相互独立，协方差阵 。根据协方差阵根据协方差阵 已知和未知分两种情形：已知和未知分两种情形：（1）已知已知检验统计量检验统计量可以证明当可以证明当 成立时，成立时，即即 时，时，而当而当 不成立时，不成立时，有偏大的趋势。有偏大的趋势。因此，对因此，对给定的显著性水平给定的显著性水平 ，当当时拒绝时拒绝 ，否则接受否则接受 ，即拒绝域为，即拒绝域为（2）未知未知检验统计量检验统计量可以证明当可以证明当 成立时，成立时，即即 时，时，其中其中 是协方差阵是协方差阵 的估的估计量。计量。而当而当 不成立时，不成立时，有偏大的趋势。有偏大的趋势。因此，对因此，对给定的显著性水平给定的显著性水平 ，拒绝域为拒绝域为