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1、课题：函数与不等式 恒成立与存在性问题要注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究，这是高考命制压轴题的一个考查点一、恒成立问题（一）主干知识整合1在代数综合问题中常遇到恒成立问题恒成立问题涉及常见函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法等解题方法求解2恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：(1)xD，f(x) C；(2)xD，f(x) g(x)；(3)x1，x2D，|f(x1)f(x2)|C； (4)x1，x2D，|f(x1)f(
2、x2)|a|x1x2|.3不等式恒成立问题的处理方法(1)转换求函数的最值若不等式Af(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上Af(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上Bf(x)maxf(x)的上界小于B.(2)分离参数法将参数与变量分离，即化为g()f(x)(或g()f(x)恒成立的形式；求f(x)在xD上的最大(或最小)值；解不等式g()f(x)max(或g()f(x)min)，得的取值范围(3)转换成函数图象问题若不等式f(x)g(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数yf(x)的图象在函数yg(x)的图象上方；若不等式f(x)c的恒成立问题时，如果函数f(x)含有参数，一般
3、有两种处理方法：一是参数分离，将含参数函数转化为不含参数的函数，再求出最值即可；二是如果不能参数分离，可以用分类讨论处理函数f(x)的最值变式新题：已知函数f(x)x|xa|2x求a的取值范围，使得对任意x1,2时，函数f(x)的图象恒在函数g(x)2x1图象的下方探究点二 x1，x2D，|f(x1)f(x2)|C的研究对于形如x1，x2D，|f(x1) f(x2)|C的问题，因为|f(x1) f(x2)| f(x)maxf(x)min，所以原命题等价为f(x)maxf(x)minC.例2 已知函数f(x)ax3bx23x(a，bR)，在点(1，f(1)处的切线方程为y20.(1)求函数f(x
4、)的解析式；(2)若对于区间2,2上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|c，求实数c的最小值【点评】 在处理这类问题时，因为x1，x2是两个不相关的变量，所以可以等价为函数f(x)在区间D上的函数差的最大值小于c，如果x1，x2是两个相关变量，则需要代入x1，x2之间的关系式转化为一元问题变式新题：（江苏省无锡市洛社中学2012届高三12月改）已知二次函数g（x）对任意实数x都满足令（1）若使成立，求实数m的取值范围； （2）设，证明:对，恒有 探究点三 x1，x2D，|f(x1)f(x2)|a|x1x2|的研究形如x1，x2D，|f(x1) f(x2)|a|x1x2|这
5、样的问题，首先需要根据函数f(x)的单调性去掉|f(x1)f(x2)|a|x1x2|中的绝对值符号，再构造函数g(x)f(x) ax，从而将问题转化为新函数g(x)的单调性例3（南京市2011届高三第一次模拟考试）已知函数f(x)x1alnx(aR)(1)求证：f(x)0恒成立的充要条件是a1；(2)若ag(x)的研究对于xD，f(x)g(x)的研究，先设h(x)f(x)g(x)，再等价为xD，h(x)max0，其中若g(x)c，则等价为xD，f(x)maxc.例1 已知函数f(x)x3ax210.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)在区间1,2内至少存在一个
6、实数x，使得f(x)x310中x21,4，所以可以进行参数分离，而无需要分类讨论变式新题：已知函数f(x)x(xa)2，g(x)x2(a1)xa(其中a为常数)(1)如果函数yf(x)和yg(x)有相同的极值点，求a的值；(2)设a0，问是否存在x0，使得f(x0)g(x0)，若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由探究点二 x1D，x2D，f(x1)g(x2)的研究对于x1D，x2D，f(x1)g(x2)的研究，若函数f(x)的值域为C1，函数g(x)的值域为C2，则该问题等价为C1C2.例2 设函数f(x)x3x2x4.(1)求f(x)的单调区间；(2)设a1，函数g(x)x3
7、3a2x2a.若对于任意x10,1，总存在x00,1，使得f(x1)g(x0)成立，求a的取值范围【点评】 对于xD，f(x)c要成立，c的取值集合就是函数f(x)的值域，对于xD，使得cg(x)，c应该属于g(x)的取值集合，所以函数f(x)的值域为g(x)的值域的子集变式新题：（盐城市20102011学年度高三年级第一次调研考试）已知函数f(x)x2a|lnx1|，g(x)x|xa|22ln2，a0.(1) 若f(x)a，x1，)恒成立，求a的取值范围；(2) 对任意x11，)，总存在惟一的x22，)，使得f(x1)g(x2)成立，求a的取值范围.探究点三 x1D，x2D，f(x1)g(x
8、2)的研究对于x1D，x2D，f(x1)g(x2)的研究，第一步先转化为x2D，f(x1)ming(x2)，再将该问题按照探究点一转化为f(x1)ming(x2)min.例3已知两个函数f(x)7x228xc，g(x)2x34x240x.(1)若对任意x3,3，都有f(x)g(x)成立，求实数c的取值范围；(2)若对任意x13,3，存在x23,3，都有f(x1)g(x2)成立，求实数c的取值范围变式新题：（苏州市2012届高三调研测试）已知函数和函数.（1）若方程在上有两个不同的解,求实数m的取值范围;（2）若对任意,均存在,使得成立,求实数m的取值范围.（三）规律技巧提炼1对于恒成立问题或存
9、在性问题常见基本类型为xD，f(x)c，可以转化为f(x)minc；xD，cg(x)，可以转化为cg(x)min；xD，cg(x)，可以转化为cy|yg(x)，对于由这些含有量词的命题组合而成的含有两个量词命题的问题，可以采取分步转化的方法来处理2对于含有参数的恒成立问题或存在性问题，常用的处理方法有分类讨论或参数分离，并借助于函数图象来解决问题课后作业：1(2010金陵中学上学期期中卷)设函数f(x)p2ln x，g(x)(p是实数，e是自然对数的底数)(1)当p2时，求与函数yf(x)的图象在点A(1,0)处相切的切线方程；(2)若函数f(x)在其定义域内单调递增，求实数p的取值范围；(3
10、)若在1，e上至少存在一点x0，使得f(x0)g(x0)成立，求实数p的取值范围.2(本小题满分16分)已知两个函数f(x)7x228xc，g(x)2x34x240x.(1)若对任意x3,3，都有f(x)g(x)成立，求实数c的取值范围；(2)若对任意x13,3，x23,3，都有f(x1)g(x2)成立，求实数c的取值范围3已知函数f(x)ln x.(1)当a0时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)若f(x)在1，e上的最小值为，求a的值；(3)若f(x)0时，若对任意的x0，恒有f(x)0，求p的取值范围5设函数（）求的最小值；（）若对恒成立，求实数的取值范围6已知函数f(x)x2bsinx2(bR)，F(x)f(x)2，且对于任意实数x，恒有F(x)F(x)0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知函数g(x)f(x)2(x1)alnx在区间(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围7（2011南京12中学高二）已知函数.（1）求；（2）求的单调区间和极值；（3）设，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围；8. 设函数在及时取得极值。（1）求a、b的值；（2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围。12