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1、第二十三讲 平面几何的定值与最值问题【趣题引路】 传说从前有一个虔诚的信徒,他是集市上的一个小贩.每天他都要从家所在的点A出发,到集市点B,但是,到集市之前他必须先拐弯到圆形古堡朝拜阿波罗神像.古堡是座圣城,阿波罗像供奉在古堡的圆心点O,而周围上的点都是供信徒朝拜的顶礼地点如图1.这个信徒想,我怎样选择朝拜点,才能使从家到朝拜点,然后再到集市的路程最短呢? (1) (2) 解析 在圆周上选一点P,过P作O的切线MN,使得APK=BPK,即=.那么朝圣者沿APB的路线去走,距离最短.证明 如图2,在圆周上除P点外再任选一点P.连结BP与切线MN交于R,AR+BRAP+BP.RP+APAR.AP+
2、BP=AP+RP+RBAR+BPAP+BP. 不过,用尺规作图法求点P的位置至今没有解决.“古堡朝圣问题”属于数学上“最短路线问题”,解决它的方法是采用“等角原理”.【知识延伸】 平面几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题.所谓几何定值问题就是要求出这个定值. 在解决这类问题的过程中,可以直接通过计算来求出定值;也可以先考虑某一个特殊情形下的该相关值,然后证明当相应几何元素变化时,此值保持不变. 例1 如果ABC的外接圆半径R一定,求证: 是定值.(S表示ABC的面积)解析 由三角形面积S=absinC和正弦定理=2R
3、,c=2RsinC. =4R是定值.点评 通过正弦定理和三角形面积公式经过变形,计算出结果是4R,即为定值. 平面几何中不仅有等量关系,还有不等关系,例如在变动一些几何元素时,某一相关的值保持不大于(或不小于)某个定值,如果这个定值在某个情形下可以取得,这就是一个几何极值.确定几何极值的问题称为几何极值问题,解决这些问题总要证明相关的几何不等式,并指明不等式成为等式的情形(或者至少证明不等式可以成为等式).例2 如图,已知O的半径R=3,A为O上一点,过A作一半径为r=3的O,问OO何时最长?最长值是多少?OO何时最短?最短值是多少?解析 当O落在OA的连线段上(即A与线段OA的交点B时)OO
4、最短,且最短长度为3-3 ;当O落在OA的延长线上(即O与OA的延长线交点C时)OO最长,且最长的长度为3+3 .点评 O是一个动圆,满足条件的O有无数个,但由于O过A点,所以O的圆心O在以A为圆心半径为3的A上.【好题妙解】佳题新题品味 例1 如图,已知P为定角O的角平分线上的定点,过O、P两点任作一圆与角的两边分别交于A、B两点.求证:OA+OB是定值. 证明 连结AP、BP,由于它们为有相同圆周角的弦,AP=PB,不妨记为r.另记x1=OA,x2=OB.对POA应用余弦定理,得x12+OP2-2OPcosAOPx1=r2. 故x1为方程x2-2OPcosAOBx+(OP2-r2)=0的根
5、,同理x2亦为其根. 因此x1,x2为此方程的两根,由韦达定理,得x1+x2=2OP(AOB)是定值.点评 当x1=x2时,x1+x2为此定值,事实上此时OP一定是直径.例2 如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=9,O与外切,且O与AB、BC相切.O与AD、CD相切,设O的半径为x,O与O的面积的和为S,求S的最大值和最小值. 解析 设O的半径为y,过O与O分别作CD与BC的垂线OH,OF,垂足分别为H,F,OH、OF交于点E,则有:OE=8-(x+y),OE=9-(x+y) 由勾股定理可得: (x+y)2=8-(x+y)2+9-(x+y)2. 整理,得(x+y-29)(x+y-5)=0,
6、 由题意知1x4,x+y=5,y=-x+5,S=x+y=(2x-10x+25), =2(x-)2+, 故当x=时,Smin=; 当x=4时,S=17.点评 先由已知求出O的半径也O的半径x之间的关系,然后再根据面积公式写出S与x之间的关系,这个关系就是一个函数关系,再通过函数的性质得解.中考真题欣赏例 (南京市中考题)如图,O1与O2内切于点P,又O1切O2的直径BE于点C,连结PC并延长交O2于点A,设O1,O2的半径分别为r、R,且R2r.求证:PCAC是定值.解析 若放大O1,使O1切O2的直径于点O2(如图),显然此时有PCAC=PO2AO2=2rR(定值).再证明如图的情况:连结CO
7、1,PO2,则PO2必过点O1,且O1CBE,得CO2=,从而BC=R+,EC=R-. 所以PCAC=ECBC=2Rr,故PCAC是定值.点评 解答几何定值问题时,可先在符合题目条件的前提下用运动的观点,从特殊位置入手,找出相应定值,然后可借助特殊位置为桥梁,完成一般情况的证明.竞赛样题展示 例1 (第十五届江苏省初中数学竞赛题)如图,正方形ABCD的边长为1,点P为边BC上任意一点(可与点B或点C重合),分别过点B、C、D作射线AP的垂线,垂足分别为点B、C、D.求BB+CC+DD的最大值和最小值.解析 SDPC= SAPC =APCC,得S四边形BCDA= SABP+ SADP+ SDPC
8、 = AP(BB+DD+CC),于是BB+CC+DD=.又1AP,故BB+CC+DD2,BB+CC+DD的最小值为,最大值为2.点评 本题涉及垂线可考虑用面积法来求. 例2 (2000年“新世纪杯”广西竞赛题)已知ABC内接于O,D是BC或其延长线上一点,AE是ABC外接圆的一条弦,若BAE=CAD.求证:AD.AE为定值.证明 如图 (1),当点D是BC上任意一点且BAE=CAD时,连结BE,则E=C,BAE=CAD, ABEADC. ,即ADAE=ABAC为定值. 如图 (2),当点D在BC的延长线上时,BAE=CAD.此时,ACD=AEB. AEBACD, 即ADAE=ABAC为定值.
9、综上所述,当点D在BC边上或其延长线上时,只要CAD=BAE,总有ADAE为定值.点评 先探求定值,当ADBC,AE为圆的直径时,满足BAE=CAD这一条件,不难发现ACDAEB,所以ADAE=ABAC,因为已知AB,AC均为定值.再就一般情况分点D在BC上,点D在BC的延长线上两种情况分别证明.全能训练A级1.已知MN是O的切线,AB是O的直径.求证:点A、B与MN的距离的和为定值.2.已知:O与O1外切于C,P是O上任一点,PT与O1相切于点T.求证:PC:PT是定值.3.O1与O2相交于P、Q两点,过P作任一直线交O1于点E,交O2于点F.求证:EQF为定值.4.以O为圆心,1为半径的圆
10、内有一定点A,过A引互相垂直的弦PQ,RS.求PQ+RS的最大值和最小值.5.如图,已知ABC的周长为2p,在AB、AC上分别取点M和N,使MNBC,且MN与ABC的内切圆相切.求:MN的最值. A级(答案)1.定长为圆的直径;2.利用特殊位置探求定值(当PC构成直径时)定值为(R,r是两圆的半径).3.因E,F为定角(大小固定)易得EQF为定值.4.如图,设OA=a(定值),过O作OBPQ,OCRS,B、C为垂足,设OB=x,OC=y,0xa,(0ya),且x2+y2=a2.所以PQ=2PB=2 ,RS=2(+) .所以PQ+RS=2(-).(PQ+RS)2=4(2-a2+2)而x2y2=x
11、2(a2-x2)=-(x2-)2+.当x2=时,(x2y2)最大值=.此时PQ+RS=;当x2=0或x2=a2时,(x2y2)最小值=0,此时(PQ+RS)最小值=2（1+）.5.设BC=a,BC边上的高为h,内切圆半径为r.AMNABC, ,MN=a(1-),由SABC=rp,r=,MN=a(1-)=p(1-)p=,当且仅当=1-,即a=时,取等号,MN的最大值为.B级1.如图1,已知正方形ABCD的边长为3,点E在BC上,且BE=2,点P在BD上,则PE+PC的最小值为( ) A.2 B. C. D.15 (1) (2) (3)2.用四条线段a=14,b=13,c=9,d=7.作为四条边构
12、成一个梯形,则在所构成的梯形中,中位线长的最大值是_.3.如图2,O的半径为,A、B两点在O上,切线AQ和BQ相交于Q,P是AB延长线上任一点,QSOP于S,则OPOS=_.4.已知,如图3,线段AB上有任一点M,分别以AM,BM为边长作正方形AMFE、MBCD.正方形AMFE、MBCD的外接圆O、O交于M、N两点,则直线MN的情况是( ) A.定直线 B.经过定点 C.一定不过定点 D.以上都有可能5.如图,已知O的半径为R,以O上一点A为圆心,以r为半径作A,又PQ与A 相切,切点为D,且交O于P、Q.求证:APAQ为定值.6.如图,O1与O2相交于A、B两点,经过点B的一直线和两圆分别相
13、交于点C和D,设此两圆的半径为R1,R2.求证:AC:AD=R1:R2.B级(答案)1.B.A、C关于BD对称,连结AE交BD于P,此时PE+PC=AE最短.2.11.5 (1)当上底为7,下底分别为14,13,9时,中位线长分别为10.5,10,8;(2)当上底为9和13时,均构不成梯形.3.连结OQ交AB于M,则OQAB.连结OA,则OAAQ.QMP=QSP=90,S,P,Q,M四点共圆,故OSOP=OMOQ.又OMOQ=OA2=2,OSOP=2.4.B.由图可知直线MN可看作O和O的割线,当M在点A时,直线MN变为O的切线,当M在点B时,直线MN变为O的切线.这两种情况是以AB为直角边的等腰直角三角形的两直角边所在的直线,交点是第三个顶点M.M是AB的中点时,MN是AB的垂直平分线,也过第三个顶点,所以选B.5.如图,作O的直径AB,连结AD.PQ切A于D,ADPQ,APAQ=ADAB.而AD=r,AB=2R,APAQ=2Rr为定值.6.作ANCD,垂足为点N,连结AB,有AC.AB=AN.2R1, ABAD=AN2R2 . ,得,AC:AD=R1:R2.- 9 -