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1、.初中数学几何模型中点模型【模型 1】倍长 1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行延长相交EDAB CFDAB CE【模型 2】遇多个中点，构造中位线 1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连【例 1】在菱形 ABCD 和正三角形 BEF 中，ABC=60，G 是 DF 的中点，连接 GC、GE（1）如图 1，当点 E 在 BC 边上时，若 AB=10，BF=4，求 GE 的长；（2）如图 2，当点 F 在 AB 的延长线上时，线段 GC、GE 有怎样的关系，写出你的猜想；并给予证明；（3）如图 3，当点 F 在 CB 的延长线上时，(2) 问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明.
2、图3图2图1 GFD CG FD CG FD CA BE EBA EBA【例 2】如图，在菱形 ABCD 中，点 E、F 分别是 BC、CD 上一点，连接 DE、EF，且 AE=AF，FDE(1)求证：CE=CF； (2)若 ，点 G 是线段 AF 的中点，连接 DG，EG 求证：DG 上 GE10ABC【例 3】如图，在四边形 ABCD 中，AB=CD，E、F 分别为 BC、AD 中点，BA 交 EF 延长线于 G，CD 交EF 于 H求证： BGE=CHE.EA BCOD EA BCOD BOA CHGEFABD C角平分线模型【模型 1】构造轴对称【模型 2】角平分线遇平行构造等腰三角形
3、【例 4】如图，平行四边形 ABCD 中，AE 平分BAD 交 BC 边于 E，EFAE 交 CD 边于 F，交 AD 边于H，延长 BA 到点 G，使 AG=CF，连接 GF若 BC=7，DF=3，EH=3AE，则 GF 的长为.HGFEA DB C手拉手模型【条件】 AABCD， ，【结论】 B； E（ 即 都 是 旋 转 角 ） ； EAD平 分 ；-【例 5】如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，点 E 在 CD 上，且 DE=2CE，过点 C 作 CFBE，垂足为 F，连接 OF，则 OF 的长为 .【例 6】如图， 中， ，AB=AC ，ADB
4、C 于点 D，点 E 在 AC 边上，连结ABC90.C DAB E FEC DB AFEB DACFEGCDA B GFECD BABE，AG BE 于 F，交 BC 于点 G，求 DFGFDCB AE【例 7】如图，在边长为 的正方形 ABCD 中，E 是 AB 边上一点，G 是 AD 延长线上一点，62BEDG，连接 EG，CFEG 于点 H，交 AD 于点 F，连接 CE、BH 。若 BH8，则 FG 18图H GFE DCBA16图OC BA邻边相等对角互补模型【模型 1】 【条件】如图，四边形 ABCD 中，AB=AD， 180BDCABDC【结论】AC 平分 EB DAC【模型
5、2】 【条件】如图，四边形 ABCD 中，AB=AD， 90BCD【结论】 452A 【例 8】如图，矩形 ABCD 中，AB=6，AD=5，G 为 CD 中点，DE =DG，FGBE 于 F，则 DF 为. 第 8 题 第 9 题 第 10 题【例 9】如图，正方形 ABCD 的边长为 3，延长 CB 至点 M，使 BM=1，连接 AM，过点 B 作 ，NAM垂足为 N，O 是对角线 AC、 BD 的交点，连接 ON，则 ON 的长为 .【例 10】如图，正方形 ABCD 的面积为 64， 是等边三角形，F 是 CE 的中点，AE、BF 交于点CEAOND CA BM.FEBCDAHNME
6、FB CA DFEBCDAFE DB ACG，则 DG 的长为 .半角模型【模型 1】 【条件】如图，四边形 ABCD 中，AB=AD， ，180BADCBADC【结论】2FBCF， 点 在 直 线 上 ,点 在 直 线 上D、 、 满 足 截 长 补 短 关 系【模型 2】【条件】在正方形 ABCD 中，已知 E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且满足EAF=45，AE、AF 分别与对角线 BD 交于点 M、N.【结论】(1) BE+DF=EF；(2) S ABE+SADF=SAEF；(3) AH= AB；(4) CECF=2AB；(5) BM2+DN2=MN2；(6) ANM DNFBE
7、MAEF BNA DAM；(由 AO：AH =AO：AB =1： 可得到 ANM 和AEF 的相似比为 1： )；(7) SAMN=S 四边形 MNFE；(8) AOMADF， AON ABE；(9) AEN 为等腰直角三角形，AEN =45；AFM 为等腰直角三角形， AFM=45.(1. EAF=45；2.AE ：AN=1： )；2(10)A、 M、F、D 四点共圆，A、B、E、N 四点共圆，M 、N、F、C、E 五点共圆.【模型 2 变型】【条件】在正方形 ABCD 中，已知 E、F 分别是边 CB、DC 延长线上的点，且满足EAF=45【结论】BE+EF=DF【模型 2 变型】【条件】
8、在正方形 ABCD 中，已知 E、F 分别是边 CB、DC 延长线 上的点，且满足EAF=45【结论】.HGF CBDAEDF+EF=BE【例 11】如图， 和 是两个全等的等腰直角三角形， ， 的ABCE 90EDFBAE顶点 E 与 的斜边 BC 的中点重合将 绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE 与线段 AB 相交于点 P，射线 EF 与线段 AB 相交于点 G，与射线 CA 相交于点 Q若 AQ=12，BP=3，则 PG=. 来源:学科网【例 12】如图，在菱形 ABCD 中，AB=BD，点 E、F 分别在 AB、AD 上，且 AE=DF.连接 BF 与 DE 交于点 G，连接 CG
9、 与 BD 交于点 H，若 CG=1，则 . CDGS四 边 形一线三等角模型【条件】 【结论】D， 且 BDECFAEFB CAD【例 13】如图，正方形 ABCD 中，点 E、F、G 分别为 AB、BC、CD 边上的点，EB=3，GC=4，连接EF、FG 、GE 恰好构成一个等边三角形，则正方形的边长为 .E DACBFG最短路径模型【两点之间线段最短】1、将军饮马.HGFB CA DEPQACDA B CBPPPBAB PABPQ A B2、费马点【垂线段最短】 CAbP PAB【两边之差小于第三边】【例 16】如图，矩形 CD是一个长为 1000 米，宽为 600 米的货场， A、 是
10、入口现拟在货场内建一个收费站 P，在铁路线 段上建一个发货站台 ，设铺设公路 P、 以及 H之长度和为 l求l的最小值 60m10mHP DCBA BEAB CDF【例 17】如图，E 、 F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 AE=DF，连接 CF 交 BD 于 G，连接 BE 交 AG 于点 H，若正方形的边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是. 【例 18】如图所示，在矩形 ABCD 中， ，E 是线段 AB 的中点，F 是线段 BC 上的动点，4,2AD沿直线 EF 翻折到 ，连接 ， 最短为 .BEFEF三垂直模型.图3图2图1AEBFCDAEBFCGDAEBFCG
11、D课后练习题【练习 1】问题 1：如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AB=BC=CD，点 M，N 分别在 AD，CD 上，MBN=ABC，试探究线段 MN，AM，CN 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想；2问题 2：如图 2，在四边形 ABCD 中，AB=BC，ABC + ADC=180，点 M，N 分别在 DA，CD 的延长线上，若MBN= ABC 仍然成立，请你进一步探究线段 MN，AM，CN 又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明. 【练习 2】已知：如图 1，正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EFBD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG求证：EG= CG 且 EG CG；将图 1 中BEF 绕 B 点逆时针旋转 45，如图 2 所示，取 DF 中点 G，连接 EG，CG问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由将图 1 中BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图 3 所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立？