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1、2021-2022学年第一学期武汉市部分学校高中一年级期中调研考试数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1. 已知集合，那么的子集的个数是（ ）A. 8B. 7C. 4D. 3【答案】A【解析】【分析】直接根据子集个数公式得到答案.【详解】集合，集合的子集共有个.故选：A2. 命题：”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可求出结果.【详解】根据特称命题的否定是全称命题即可得到命题：”的否定是”，故选：B.3. 设为实数，则“是”“的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条
2、件【答案】D【解析】【分析】分别举出反例否定充分性和必要性，得到答案.【详解】取，则，但，不具有充分性；取，则，但，不具有必要性；故选：D.4. 若幂函数在上单调递增，则（ ）A. 3B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据幂函数的概念可得，然后结合单调性可得，进而可以求出结果.【详解】因为为幂函数，则，解得或，又因为在上单调递增，则，因此，故选：B.5. 已知是定义在上的奇函数，当时的图像如图，那么不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据图像和的奇偶性可得答案.【详解】由图可得，当时，当时因为是定义在上的奇函数，所以当时，当时所以不等式的解集是故选：
3、C6. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数根据以上推广，则函数图象的对称中心是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】，根据定义域得到，根据得到，得到对称中心.【详解】，为奇函数，定义域为关于原点对称，故，即，故，即对称中心为.故选：A.7. 从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，则的解析式是（ ）A. B. C.
4、D. 【答案】C【解析】【分析】求出第次倒出酒精后容器中含纯酒精的质量，然后可得第次倒出的纯酒精的质量，然后可得倒次共倒出的纯酒精【详解】第次时共倒出了纯酒精升，第次倒出后容器中含纯酒精为升第次倒出的纯酒精是升所以倒出第次时，共倒出了纯酒精故选：C8. 函数在区间上（ ）A. 有最大值为，最小值为0B. 有最大值为，最小值为0C. 有最大值为，无最小值D. 有最大值为，无最小值【答案】A【解析】【分析】计算，设，变换，根据双勾函数的性质得到函数的单调区间，计算最值得到答案.【详解】当时，设，易知在上单调递增，故.，当时，双勾函数在上单调递减，在上单调递增，且，故，综上所述：，即，.故选：A.二
5、、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，少选得3分，多选得0分9. 下列关系中，正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】根据元素与集合间的关系逐项判断即可.【详解】因为是整数集，故，所以A正确；因为是实数集，故，所以B错误；因为是有理数集，故，所以C错误；因为是自然数集，故，所以D正确，故选：AD.10. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】计算，再计算交集和并集得到答案.【详解】，故，.故选：CD.11. 若函数同时满足：对于定义域上的任意，恒有；对于定义域上的任意，当时，恒，则称函数为“理想函数”下列四个函数中能被称为“理
6、想函数”的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】根据知“理想函数”是定义域上的奇函数且在定义域内单调递减，依次判断各个选项即可得到结果.【详解】由知：为定义域上的奇函数；由知：在定义域内单调递减；对于A，为上的奇函数且在上单调递减，符合“理想函数”定义，A正确；对于B，为上的奇函数且在上单调递减，符合“理想函数”定义，B正确；对于C，为上的奇函数且在上单调递增，不符合“理想函数”定义，C错误；对于D，是上的非奇非偶函数，不符合“理想函数”定义，D错误.故选：AB.12. 已知关于的不等式，下列结论正确的是（ ）A. 不等式的解集不可能为B. 不等式的解集可能为或C. 存在
7、实数，使得不等式的解集为闭区间的形式D. 存在唯一一对实数对，使得不等式解集为【答案】CD【解析】【分析】当时，解集为，A错误，根据对称关系不成立，B错误，取，解不等式得到C正确，根据不等式的解与系数的关系得到D正确，得到答案.【详解】，当时，解集为，A错误；若不等式的解集可能为或，根据二次不等式解与系数的关系，需满足，不成立，故B错误；取，得到，解得，C正确；和的解都关于对称，故只能是恒成立，的解集为，故，解得或（舍去），D正确；故选：CD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 函数的定义域为_.【答案】【解析】【分析】解不等式即可得出函数的定义域.【详解】对于函数，有，解
8、得.因此，函数的定义域为.故答案为：.14. 已知集合，若满足，则实数=_【答案】1【解析】【分析】根据得到，故，计算得到答案.【详解】，故，故，解得，验证时.故答案为：1.15. 已知正数满足，则的最小值为_【答案】#【解析】【分析】变换，展开利用均值不等式计算得到答案.【详解】，当，即，时，等号成立.故答案为：.16. 若使集合中的元素个数最少，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】考虑，三种情况，结合均值不等式，可推出在时，要让元素最少需满足，即可求得答案.【详解】当时，元素有无穷多个；当时，时等号成立，故，所以中元素有无穷多个；当时，时等号成立，故，要让中元素最少，需要满足，解得
9、.故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分17 已知函数，（1）求的值；（2）若，求的值【答案】（1）1 （2）或或或【解析】【分析】（1），带入直接计算得到答案.（2）考虑，三种情况，带入函数解得答案【小问1详解】，则，.【小问2详解】，当时，解得或；当时，不成立；当时，解得或.综上所述：或或和.18. 已知函数（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）计算函数的最小值为，根据题意得到，解得答案.（2）计算函数在在上的最大值为，根据题意得到，得到答案.【小问1详解】，则，在上恒成立，即，故.【小问2详解】，在
10、上的最大值为，故在上满足，故，即.19. 已知，（1）当为真命题时，求实数的取值范围；（2）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围【答案】（1）或 （2）【解析】【分析】（1）解出不等式即可；（2）可得，然后分、三种情况解出不等式，然后可得答案.【小问1详解】由可得或所以当为真命题时，实数的取值范围为或【小问2详解】由可得，即由可得当时，由可得当时，由可得当时，由可得因为是成立的充分不必要条件，所以20. 已知函数，方程有两个不同的实数根（1）求实数的取值范围；（2）小明同学在探究“若仅在一个区间内，求实数的取值范围”这一问题时，经过分类讨论后认为实数只需要满足：，他得出的答案为：老师批改
11、后给出的评语：此类情况虽然满足题意，但分类讨论不够完整请你补充小明同学遗漏的情况，并给出满足题意的实数的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据题意得到，解得答案.（2）遗漏的情况为或的情况，带入函数求值并验证得到答案.【小问1详解】，有两个不同的实数根，则，解得.小问2详解】遗漏的情况为或的情况，当时，即，此时，零点为或，满足条件；当时，即，此时，零点为或，不满足条件；当时，即，即综上所述：21. 2021年3月1日，国务院新闻办公室举行新闻发布会，工业和信息化部提出了芯片发展的五项措施，进一步激励国内科技巨头加大了科技研发投入的力度根据市场调查某数码产品公司生产某款运动手环
12、的年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元若该公司一年内共生产该款运动手环万只并能全部销售完，平均每万只的销售投入为万元，且当该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时，年利润为300万元（1）求出的值并写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，公司在该款运动手环生产中所获得的利润最大？并求出最大利润【答案】（1）， （2）当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元【解析】【分析】（1）由题意可得，由可求出，然后可得的解析式；（2）利用二次函数的知识求出当时的最大值，利用基本不等式求出当时的最大
13、值，然后作比较可得答案.【小问1详解】由题意可得当时，所以解得所以【小问2详解】当时，其对称轴为所以当时取得最大值万元当时，万元当且仅当即时等号成立因为所以当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元22. 已知函数，（1）讨论的单调性（只要求写出正确结论）（2）若函数在上的最小值为12，求实数的值【答案】（1）答案见解析； （2）或.【解析】【分析】（1）结合含参数的二次函数的单调性进行分类讨论即可求出结果；（2）结合含参数的二次函数的最值进行分类讨论即可求出结果；【小问1详解】当时，在上单调递增;当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；【小问2详解】因为，（1）若，即时，在上单调递增，所以，解得或（舍）;（2）若，即时，则， 得，解得（舍），（舍）（3）若时， ，所以解得或（舍），综上：或.