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1、|指数函数指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨1比较大小例 1 已知函数 满足 ，且 ，则 与 的大小关系是_2()fxbc(1)()fxf(0)3f()xfbxfc分析：先求 的值再比较大小，要注意 的取值是否在同一单调区间内bc且 bc且解： ，()(1)fxf函数 的对称轴是 故 ，又 ， 203fc函数 在 上递减，在 上递增()x且 1且若 ，则 ， ； x (3)(2)xxff若 ，则 ， 0x321xxxff综上可得 ，即 ()()xxff
2、()()xxfcfb评注：比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论2求解有关指数不等式例 2 已知 ，则 x 的取值范围是_2321(5)(5)xaa分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围解： ，22(1)4函数 在 上是增函数，(5xya)且 ，解得 x 的取值范围是 31x414且评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与 1 的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论3求定义域及值域问题例 3 求函数 的定义域和值域216xy解：由题意可得 ，即 ，0 21x
3、 ，故 函数 的定义域是 20x x ()f2且令 ，则 ，6t1yt又 ， ，即 2x 0 261x 01t ，即 0t 函数的值域是 1且|评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响4最值问题例 4 函数 在区间 上有最大值 14，则 a 的值是_21(0)xyaa且1且分析：令 可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后 的取值范围t t解：令 ，则 ，函数 可化为 ，其对称轴为 xt2xy2()y1t当 时， ，1a1且 ，即 x ta 当 时， ta2max(1)4y解得 或 （舍去） ；35当 时， ，01且 ，即 ，xa 1at 时， ，1t2max4y解得
4、或 （舍去） ，a 的值是 3 或 351评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等5解指数方程例 5 解方程 280xx解：原方程可化为 ，令 ，上述方程可化为 ，解得 或 （舍去） ，29(3)90x3(0)xt2980t9t1t ， ，经检验原方程的解是 3x2评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根6图象变换及应用问题例 6 为了得到函数 的图象，可以把函数 的图象（ ） 935xy3xyA向左平移 9 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度B向右平移 9 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度C向左平移 2 个单位长度，再向上平
5、移 5 个单位长度D向右平移 2 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度分析：注意先将函数 转化为 ，再利用图象的平移规律进行判断3xy23xt解： ，把函数 的图象向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，可得到函数295xxy xy的图象，故选（C） 3x评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等|习题1、比较下列各组数的大小：（1）若 ，比较 与 ；（2）若 ，比较 与 ；（3）若 ，比较 与 ；（4）若 ，且 ，比较 a 与 b；（5）若 ，且 ，比较 a 与 b解：（
6、1）由 ，故 ，此时函数 为减函数由 ，故 （2）由 ，故 又 ，故 从而 （3）由 ，因 ，故 又 ，故 从而 （4）应有 因若 ，则 又 ，故 ，这样 又因 ，故 从而 ，这与已知 矛盾（5）应有 因若 ，则 又 ，故 ，这样有 又因 ，且 ，故从而 ，这与已知 矛盾小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解2 曲线 分别是指数函数 , 和 的图象,则 与 1 的大小关系是 ( ).( 分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 ,在 轴右侧令,对应的函数值由小到大依次为 ,故应选 .|小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数
7、的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识.求最值3 求下列函数的定义域与值域.(1)y2 ; (2)y4 x+2x+1+1.31x解：(1)x-30，y2 的定义域为xxR 且 x3.又 0，2 1，31 31x31xy2 的值域为yy0 且 y1.31x(2)y4 x+2x+1+1 的定义域为 R.2 x0,y4 x+2x+1+1(2 x)2+22x+1(2 x+1)21.y4 x+2x+1+1 的值域为yy1.4 已知-1x2,求函数 f(x)=3+23x+1-9x的最大值和最小值解：设 t=3x,因为-1x2，所以 ，且 f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当 t=3 即
8、x=1 时，f(x)取最大值 12，当 t=9 即 x=2 时 f(x)取931t最小值-24。5、设 ，求函数 的最大值和最小值分析：注意到 ，设 ，则原来的函数成为 ，利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值解：设 ，由 知， ，函数成为 ， ，对称轴 ，故函数最小值为，因端点 较 距对称轴 远，故函数的最大值为 6（9 分）已知函数 在区间1,1 上的最大值是 14，求 a 的值.)1(2aayx解： ， 换元为 ，对称轴为 .)(12x )1(2tty1t当 ， ，即 x=1 时取最大值，略t解得 a=3 (a= 5舍去)7已知函数 （ 且 ）（1）求 的最小值； （2）若
9、，求 的 取值范围解：（1） ， 当 即 时， 有最小值为 （2） ，解得 当 时， ；当 时， |8（10分） （1）已知 是奇函数，求常数m的值；xf132)(（2）画出函数 的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3 k无|y解？有一解？有两解？解： （1）常数m=1（2）当k0 且 a1).1xa(1)求 f(x)的定义域和值域；(2)讨论 f(x)的奇偶性；(3)讨论 f(x)的单调性.解：(1)易得 f(x)的定义域为xxR.设 y ,解得 ax- a x0 当且仅当- 0 时，方程有解.解- 0 得-11 时，a x+1 为增函数，且 ax+10. 为减函数，从而 f(x)1- 为增函数.2当 01)的图像是( )分析 本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像，以及数形结合思想和分类讨论思想.解法 1：(分类讨论)：去绝对值，可得 y ).0()1(,xax 又 a1，由指数函数图像易知，应选 B.解法 2：因为 ya x 是偶函数，又 a1，所以当 x0 时，ya x是增函数；x0 时，ya -x是减函数.应选 B.(,) -0,)xf|