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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -绝密启用前2022 年一般高等学校招生全国统一考试（全国一卷）理科数学1、挑选题,此题共12 小题,每道题5 份,在每道题给出的四个选项中,只有哪一项符合题目要求的；1.设z11i2 i,就zx20,就CRAx2x|x21iA.0 B.C.1 D.222.已知集合Ax|x2B.xA.x|1x2|1C.x|x1Ux|x2D.x|x1U3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一杯,实现翻番；为更好地明白 该地区农村的经济收入变化情形,统计和该地图新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图：就下
2、面结论中不正确选项A.新农村建设后,种植收入削减 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.记S n为等差数列3an的前n项和,如3S 3S 2S 4,a 12,就a5x在点0 , 0处的切 第 1 页,共 10 页 A.-12 B.-10 C.10 yfD.125.设函数fxxa1x2ax,如fx为奇函数,就曲线细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - -
3、- - - - - - - - -线方程为A.y2xB.yxC.y2xEBAD.yxB6.在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,就A.3AB1ACB.1AB3AC4444C.3AB1ACD.1AB3AC44447.某圆柱的高为2,地面周长为16,其三视图如右图,圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,就在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为A.217:y2B.25C.3 且斜率为D.2M ,N两点,2的直线与C交于8.设抛物线C4x的焦点为F,过点,2 03就FMFNB.6 C.7 D.8x存在 2 个零点,就a的取值范A.5 x
4、 e,x0 ,0gxfxx9.已知函数fxa,如glnx,x围是A.0,1B.0 ,C.,1D.,110.下图来自古希腊数学家希波克拉底所争论的几何图形,此图由三个半圆构成；三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC,ABC的三边所围成的区域记为,黑色部分记为,其余部分记为；在整个图形中随机取一点,此点取自的概率分别记为p 1,p2,p3,就 第 2 页,共 10 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - -
5、 -AB CA.p 1p2B.p 1p3C.p2p 3D.p 1p 2p311.已知双曲线C:x2y21,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条3渐近线的交点分别为M ,N；如OMN为直角三角形,就MN截此正方体所得A.3B.3 C.23D.4212.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,就截面面积的最大值为3 3 2 3 3 2 3A. B. C. D.4 3 4 2二、填空题：此题共 4 小题,每道题 5 分,共 20 分；x 2 y 2 013.如 x, y 满意约束条件 x y 1 0,就 z 3 x 2 y 的最大值为 .y 014.记 S n 为数列
6、 a n 的前 n 项和,如 S n 2 a n 1,就 S 6 .15.从 2 位女生, 4 位男生中选 3 人参与科技竞赛,且至少有 1 位女生入选,就不同的选法共有种.（用数字填写答案）16.已知函数fx2sinxsin2x,就fx的最小值是.17-21 题为必考题,三、解答题：共70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；第每个试题考生都必需作答；第（一）必考题：共 60 分；17.（12 分）22、 23 题为选考题,考生依据要求作答；在平面四边形ABCD中,ADC90o,A45o,AB2,BD5. 第 3 页,共 10 页 （1）求cosADB；BC.（2）如DC22,求细心
7、整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -18.（12 分）如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把DFC折起,使点C到达点P的位置,且PFBF.F,过F的直线l交于A,B两点,点（1）证明：平面PEF平面ABFD;（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.与C19.（12 分）设椭圆C:x2y21的右焦点为2M的坐标为,2 0.AM的方程；.（1）当l与x轴垂直时,求直线（2）设O为坐标原点,证明
8、：OMAOMB20.（12 分）某工厂的某种产品成箱包装,每箱200 件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,就更换为合格品；检验时,先从这箱产品中任取20 件作检验,再依据检,验结果打算是否对余下的全部产品作检验；设每件产品为不合格品的概率都为p0p1且各件产品是否为不合格品相互独立；（1）记 20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为fp,求fp的最大值点p 0；p的值；（2）现对一箱产品检验了20 件,结果恰有2 件不合格品,以（1）中确定的p0作为已知每件产品的检验费用为2 元；如有不合格品进入用户手中,就工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用；（）如不对该箱
9、余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX；（）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的全部产品作检验？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -21.（12 分）已知函数fx1xalnx.,证明：fx 1f2x2a2.x（1）争论fx的单调性；（2）如fx存在两个极值点x 1, x 2x 1x（二）选考题：共10 分；请考生在第22、23 题中任选一题作答；
10、假如多做,就按所做的第一题计分；22.选修 44：坐标系与参数方程 （ 10 分）在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的方程为 y k x 2,以坐标原点为极点,轴正半轴为极2轴建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为 2 cos 3 0 .（1）求 C 2 的直角坐标方程；（2）如 C 1 与 C 2 有且仅有三个公共点,求 C 1 的方程；23.选修 45：不等式选讲 （10 分）已知fxx1ax1.fx1 的解集；a的取值范畴 第 5 页,共 10 页 （1）当a1时,求不等式（2）如x1,0时不等式fxx成立,求细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - -
11、- - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -绝密启用前2022 年一般高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案一、挑选题1 C 2B 3A 4B 5D 6A7 B 8D 9C10A11B12A二、填空题13614631516163 32三、解答题17 解：细心整理归纳 精选学习资料 （1）在ABD中,由正弦定理得BDAsinAB. 第 6 页,共 10 页 sinADB由题设知,5sin2,所以sinADB2 5.23sin 45ADB2由题设知,ADB90,所以cosADB1255（2）由
12、题设及（ 1）知,cosBDCsinADB2. 5在BCD中,由余弦定理得 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -BC2BD2DC22BD DCcosBDC25825222525.所以BC5.18 解：（1）由已知可得,BF PF,BF EF,所以 BF 平面 PEF .又 BF 平面 ABFD,所以平面 PEF 平面 ABFD .（2）作 PH EF,垂足为 H . 由（ 1）得,PH 平面 ABFD .uuur uuur以 H 为坐标原点,HF 的
13、方向为 y 轴正方向,| BF | 为单位长,建立如下列图的空间直角坐标系 H xyz . 由（ 1）可得,DE PE . 又 DP 2,DE 1,所以 PE 3 . 又 PF 1,EF 2,故 PE PF .可得 PH 3,EH 3 .2 2就 H 0,0,0,P 0,0, 3 , D 1, 3,0,uuurDP 1, , 3 3,uuurHP 0,0, 3 为平面2 2 2 2 2ABFD 的法向量 . uuur uuur 3设 DP 与平面 ABFD 所成角为,就 sin | uuur HP DP uuur | 4 3 .| HP | | DP | 3 4所以 DP 与平面 ABFD 所
14、成角的正弦值为 3 .419 解：A x 1（1）由已知得F1,0, 的方程为x1. 第 7 页,共 10 页 由已知可得,点A 的坐标为1,2或1,2.22所以 AM 的方程为y2x2或y2x2.22（2）当 l 与 x 轴重合时,OMAOMB0.当 l 与 x 轴垂直时, OM 为 AB 的垂直平分线,所以OMAOMB当 l 与 x 轴不重合也不垂直时,设l 的方程为yk x1 k0,y 1,B x2,y 2,就x 12,x 22,直线 MA ,MB 的斜率之和为kMAkMBx 1y 12xy22.细心整理归纳 精选学习资料 2 - - - - - - - - - - - - - - -
15、- - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -由y 1kx 1k,y 2kx 2k得kMAkMB2kx x 1 23 k x 1x 24k. 0.OMB.x 12x 22将yk x1代入x2y21得22k21x22 4 k x2 k220.所以,x 1x224k21,x x 22 k22.k22 k21就2kx x 23 k x 1x24k4k34k12k318k34k2 k2从而kMAk MB0,故 MA ,MB 的倾斜角互补 . 所以OMA综上,OMAOMB.20 解：X（1）20 件产品中恰有2 件不合格品的概率
16、为f C2p21p18 . 因此0.所以20f 2 C 2p 1p18 18p21p17 2C2p 1p17 110 .20令f 0,得p0.1. 当p0,0.1时,f 0；当p0.1,1时,f f p 的最大值点为p00.1.Y:B180,0.1,（2）由（ 1）知,p0.1. （）令 Y 表示余下的180 件产品中的不合格品件数,依题意知20225 Y,即X4025 Y.400 元. 所以EXE4025 4025EY490.（）假如对余下的产品作检验,就这一箱产品所需要的检验费为由于EX400,故应当对余下的产品作检验.21 解：0,（1）f 的定义域为0,f 11ax2 xax1.f x
17、 在4, 第 8 页,共 10 页 x2x2 x（）如a 2,就f x 0,当且仅当a2,x1时f 0,所以单调递减 .aa24. （）如a2,令f 0得,xa2 a4或22a当x0,aa24Uaa24,时,f 0；aa222当xaa24,a2 a4时,f 0. 所以f x 在0,222a24,单调递减,在aa24,aa24单调递增 .222细心整理归纳 精选学习资料 （2）由（ 1）知,f x 存在两个极值点当且仅当a2. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - -
18、 - - -由于f x 的两个极值点1x,x2满意2 xax10,所以x x 21,不妨设x 1x2,就x 21. 由于a121alnx 1lnx 22alnx 1lnx22a2lnx 2,0,从而f x 1f x 2所以x 1x 2x xx 1x 2x 1x 21x 2x 2f x 1f x 22等价于1x 22lnx 20.x 1x 2x2当x设函数g x 1x2lnx,由（ 1）知,g x 在0,单调递减,又g1x1,时,0.g x 所以1x22lnx20,即f x 1fx 2a2.x2x2x 122 解：y C（1）由xcos,ysin得C2的直角坐标方程为x12y24. （2）由（
19、1）知C2是圆心为A 1,0,半径为2的圆 .由题设知,C 1是过点B0,2且关于y轴对称的两条射线. 记y轴右边的射线为1l,轴左边的射线为2l. 由于B在圆C2的外面,故C 1与C2有且仅有三个公共点等价于1l与2只有一个公共点且2l与C2有两个公共点,或2l与C2只有一个公共点且1l与C 2有两个公共点 .当1l与C2只有一个公共点时,A到1l所在直线的距离为2,所以|k2 |2,故k21k4或k0. 经检验,当k0时,1l与C2没有公共点；当k4时,1l与C2只有一个33公共点,2l与C2有两个公共点 .2,所以|k22 |2,故当2l与C2只有一个公共点时,A到2l所在直线的距离为k
20、1k0或k4. 经检验,当k0时,1l与C2没有公共点；当k4时,2l与C2没有公共点 .33综上,所求C 1的方程为y4 | 3x|2.23 解：细心整理归纳 精选学习资料 （1）当a1时,f x |x1|x1|,即f x 2 ,x1,1|1成立 . 第 9 页,共 10 页 2 ,1x1,2,x1.1 2故不等式f x 1的解集为x x.（2）当x0, 1时|x1|ax1|x成立等价于当x0, 1时|ax - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -如a 0,就当x0, 1时|ax1|1；细心整理归纳 精选学习资料 如a0,|ax1|1的解集为0x2,所以21,故0a2. 第 10 页,共 10 页 aa综上,a的取值范畴为0,2. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -