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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第一章 集合与函数概念课时一：集合有关概念1. 集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东西,并且能判定一个给定的东西是否属于这个整体；2. 一般的讨论对象统称为元素,一些元素组成的总体叫集合,简称为集；3. 集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定,就一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于；例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面全部的人 （2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯独的,不行重复的；例：由 HAPPY 的字母组成的集合 H,A,P,Y （3）元素的无序性 :集
2、合中元素的位置是可以转变的,并且转变位置不影响集合 例：a,b,c 和a,c,b 是表示同一个集合3.集合的表示 ： 如： 我校的篮球队员 ,太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 （1）用大写字母表示集合：A=我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5 （2）集合的表示方法：列举法与描述法；1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 a,b,c 2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合；x R| x-32 ,x| x-32 语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 Venn 图:画出一条封闭的曲线,曲线里面表示集合；4、集合的分类 ：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无
3、限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合 5、元素与集合的关系：例：x|x2=5（1）元素在集合里,就元素属于集合,即：aA A （2）元素不在集合里,就元素不属于集合,即：a 留意：常用数集及其记法：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载非负整数集（即自然数集）记作： N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 课时二、集合间的基本关系1.“ 包含” 关系子集（1）定义：假如集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合 A 是
4、集合 B 的子集；记作：A B（或 B ）留意：A B 有两种可能（ 1）A 是 B 的一部分,；（2）A 与 B 是同一集合；反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A 2“ 相等” 关系：A=B 55,且 55,就 5=5 实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “ 元素相同就两集合相等”即： 任何一个集合是它本身的子集；A A 真子集 :假如 A B,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B或B A 或如集合 A B,存在 x B 且 x A,就称集合 A 是集合 B 的真子集；假如 A B, B C ,那么 A
5、C 假如 A B 同时 B A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集；有 n 个元素的集合,含有 2n个子集, 2n-1个真子集课时三、集合的运算名师归纳总结 运算类型交集并集补集第 2 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 定义由全部属于 A 且属于 B学习必备欢迎下载全集：一般,如一个集合汉语我们由全部属于集合A 或属韦恩图示的元素所组成的集合,叫于集合 B 的元素所组成所讨论问题中这几道的全部元素,做 A,B 的 交集 记 作的集合,叫做A,B 的并我们就称这个集
6、合为全集, 记作：U AB（读作 A 交 B）,集记作：AB（读作 A设 S 是一个集合, A 是 S 的一个子即 AB=x|xA,且并B ） , 即AB 集,由 S 中全部不属于 A 的元素组xB=x|xA,或 xB成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作C SA,CSA=x|xS ,且 xA ABABS A 性质图 1图 2C uACuB= C uAUB A A=A AUA=A AU A =A C uA U C uB= C uAB A B=BA AUB=B UA AUCuA=U A BA A AUBACuA= BB AUBB 课时四：函数的有关概念1函数的概念：设 A、B 是非
7、空的数集,假如依据某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯独确定的数 fx 和它对应,那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作：y=fx ,xA（1）其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴 A 叫做函数的定义域；（2）与 x 的值相对应的 数的值域y 值叫做函数值, 函数值的集合 fx| x A 叫做函2函数的三要素：定义域、值域、对应法就3函数的表示方法：（1）解析法：明确函数的定义域（2）图想像：确定函数图像是否连线,函数的图像可名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - -
8、 - - - 学习必备 欢迎下载以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等；（3）列表法：选取的自变量要有代表性,可以反应定义域的特点；4、函数图象学问归纳1定义：在平面直角坐标系中,以函数y=fx , x A中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 Px,y的集合 C,叫做函数 y=fx,x A的图象 C 上每一点的坐标 x,y均满意函数关系 y=fx,反过来,以2 画法满意 y=fx的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点 x,y,均在 C 上 . A、描点法：B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换；（3）函数图像变换的特点：1）函数 y=fx 关于 X 轴对称 y=-fx 2）函数
9、 y=fx 关于 Y 轴对称 y=f-x 3）函数 y=fx 关于原点对称 y=-f-x 课时五：函数的解析表达式,及函数定义域的求法1、函数解析式子的求法（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载时,一是要求出它们之间的对应法就,二是要求出函数的定义域 . （2）、求函数的解析式的主要方法有：1）代入法：2）待定系数法：3）换元法：4拼凑法：2定义域 ：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域；求函数的定义域时列不等式组的主要依
10、据是：1分式的分母不等于零；2偶次方根的被开方数不小于零；3对数式的真数必需大于零；4指数、对数式的底必需大于零且不等于 1. 5假如函数是由一些基本函数通过四就运算结合而成的 .那么,它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合 . 6指数为零底不行以等于零,7实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义 . 3、相同函数的判定方法： 表达式相同 （与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一样 两点必需同时具备 4、区间的概念 ：（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示 课时六：1值域 : 先考虑其定义域（1）观看法：直接观看函数的图像或函数的解
11、析式来求函数的值域；名师归纳总结 （2）反表示法：针对分式的类型,把Y 关于 X 的函数关系式化成X 关于 Y的函数关系式,由X 的范畴类似求Y 的范畴；第 5 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3配方法：针对二次函数的类型, 依据二次函数图像的性质来确定函数的值域,留意定义域的范畴；4代换法（换元法）：作变量代换,针对根式的题型,转化成二次函数的类型；课时七1.分段函数（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；（2）各部分的自变量的取值情形（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集补充：
12、复合函数假如 y=fuu M,u=gxx A,就 y=fgx=Fxx A 称为 f、g 的复合函数；（4）常用的分段函数1）取整函数：2）符号函数：3）含肯定值的函数：2映射一般地,设 A、B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯独确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射；记作“ f（对应关系）：A（原象）B（象）”对于映射 f：AB 来说,就应满意：1集合 A 中的每一个元素,在集合B 中都有象,并且象是唯独的；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15
13、页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2集合 A 中不同的元素,在集合B 中对应的象可以是同一个；3不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象；留意：映射是针对自然界中的全部事物而言的,所以函数是映射,而映射不肯定的函数课时八函数的单调性 局部性质 及最值 1、增减函数而函数仅仅是针对数字来说的；（1）设函数 y=fx 的定义域为 I,假如对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1x 2 时,都有 fx1fx 2,那么就说 fx在区间 D 上是增函数 .区间 D 称为 y=fx 的单调增区间 . （2）假如对于区间 D
14、上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1x 2 时,都有fx 1fx2,那么就说 fx在这个区间上是减函数 .区间 D 称为 y=fx 的单调减区间 . 留意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性仍有单调不增,和单调不减两种2、 图象的特点假如函数 y=fx在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=fx在这一区间名师归纳总结 上具有 严格的 单调性, 在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. 第 7 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 3、函数单调区间与单调性的判定方法 A
15、定义法：1 任取 x1,x2D,且 x11,且n N*当 n 是奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数；此时, a 的 n 次方根用符号 表示；当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,这两个数互为相反数；此时正数 a的正的 n 次方根用符号 表示,负的 n 的次方根用符号 表示；正的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并成（a0 ）；留意：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 0；当n 是奇数时,na na,当n是偶数时,na n| a | a a 0 a a 0 式子 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数；3、分数指数幂正数的
16、分数指数幂的名师归纳总结 amnama0,m ,nN* n1 ,am1n1ma,0m ,nN* n1 第 11 页,共 15 页nnmaan- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义4、有理数指数米的运算性质a0 ,r,sR ；（1）a arars（2）r a sarsa0 ,r,sR ；（3）abrarasa0 ,r,sR 5、无理数指数幂一般的,无理数指数幂aa（a0,a 是无理数）是一个确定的实数；有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂；课时十二：指数函数的性质及其特点（1）1、
17、指数函数的概念：一般地,函数 y a x a 0 , 且 a 1 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R留意：指数函数的底数的取值范畴,底数不能是负数、零和 1为什么？2、在同以坐标平面内画出以下函数的图像：名师归纳总结 （1）（2）（3）（4）（5）第 12 页,共 15 页图像特点图像特点a1 a1 0a1 向、轴正负方向无限延长函数的定义域为 R 图像关于原点和 Y 轴不对称非奇非偶函数函数图像都在 X 轴的上方函数的值域为 R+函数图象都过定点（ 0, 1）a0=1 自左向右看图像逐步自左向右看图像逐步增函数减函数上升；上升；- - - - - - -精选学习资料 - -
18、 - - - - - - - 学习必备欢迎下载x0 , ax 0,ax1 坐标都大于 1；坐标都大于 1；在其次象限内图像纵在其次象限内图像纵x0,ax 1 x1 坐标都小于 1；坐标都大于 1；图像上升的趋势愈来图像上升的趋势愈来函数值开头增加较慢,函数值开头减小极快,到了某一值后增长速到了某一值后减小速愈陡；愈陡；度极快；度较慢；课时十三：指数函数的性质及其特点（1）指数函数的图象和性质a1 4 60a1 时,如 X1X2 ,就有 fX11 81,0a1 81,0）332.52.5221.51.511110.50.50-11.512 34 56 70-0-11.512 34 56 7-1-
19、1-1.5-1.5-2-2-2.5-2.5定义域 x0 定义域 x0 值域为 R 值域为 R 在 R 上递增在 R 上递减函数图象都过定点（函数图象都过定点（0）课时十六：幂函数1、幂函数定义：一般地,形如yxaR 的函数称为幂函数,其中为常数2、幂函数性质归纳名师归纳总结 - - - - - - -（1）全部的幂函数在（0,+）都有定义并且图象都过点（1,1）；（2）0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间,0上是增函数特殊地,当1时,幂函数的图象下凸；当01时,幂函数的图象上凸；（3）0时,幂函数的图象在区间0 ,上是减函数在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地靠近y 轴正半轴,当x 趋于时,图象在x轴上方无限地靠近x 轴正半轴第 15 页,共 15 页