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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第四章 圆与方程1、圆的定义： 平面内到肯定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径；2、圆的方程 1标准方程xa2yb2r2,圆心a,b,半径为 r；r1D2E24F点M x 0,y0与圆xa2yb2r2的位置关系：当x 0a2y 0b2r2,点在圆外当x 0a2y 0b2=r2,点在圆上当x 0a2y 0b2r2,点在圆内 2一般方程x2y2DxEyF0当D2E24F0时,方程表示圆,此时圆心为D,E,半径为222当D2E24F0时,表示一个点；当D2E24F0时,方程不表示任何图形； 3求圆方程的方法：一般都采纳待定系数
2、法：先设后求；确定一个圆需要三个独立条件,假设利用圆的标准方程,需求出 a,b,r；假设利用一般方程,需要求出 D, E,F；另外要留意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置；3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有 相离,相切,相交 三种情形： 1 设 直 线 l : Ax By C 0, 圆 C : x a 2y b 2r 2, 圆 心 C a , b 到 l 的 距 离 为d Aa2 Bb2 C,就有 d r l 与C 相离；d r l 与 C 相切；d r l 与 C 相交A B2 过圆外一点的切线： k 不存在,验证是否成立 k 存在,设点斜式方程,用圆
3、心到该直线距离 =半径,求解 k,得到方程【肯定两解】3 过 圆 上 一 点 的 切 线 方 程 ： 圆 x-a 2+y-b 2=r 2 , 圆 上 一 点 为 x0 , y0 , 就 过 此 点 的 切 线 方 程 为x0-ax-a+y 0-by-b= r 24、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和差 ,与圆心距 d之间的大小比较来确定；2 2 2 2 2 2设圆 C 1: x a 1 y b 1 r,C 2: x a 2 y b 2 R两圆的位置关系常通过两圆半径的和差,与圆心距 d之间的大小比较来确定；当 d R r 时两圆外离,此时有公切线四条；当 d R r 时两圆外切,连心线过切点,
4、有外公切线两条,内公切线一条；当 R r d R r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线；当 d R r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线；当 d R r 时,两圆内含；当 d 0 时,为同心圆；留意：已知圆上两点,圆心必在中垂线上；已知两圆相切,两圆心与切点共线圆的帮助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点第 1 页 共 5 页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第四章 圆与方程一、挑选题1假设圆 C 的圆心坐标为 2, 3 ,且圆 C 经过点 M 5, 7 ,就圆 C 的半径为 A5 B5
5、 C25 D102过点 A 1, 1,B 1, 1 且圆心在直线 x y20 上的圆的方程是 A x3 2 y1 24 B x32 y 124 C x12 y1 24 D x12 y124 3以点 3,4 为圆心,且与 x 轴相切的圆的方程是 A x3 2 y4 216 B x32 y 4216 C x32 y4 29 D x32 y4219 4假设直线 xy m 0 与圆 x 2y2m 相切,就 m 为 A 0 或 2 B2 C2 D无解5圆 x1 2 y 2 220 在 x 轴上截得的弦长是 A 8 B6 C6 2 D4 36两个圆 C1：x2y22x2y20 与 C2：x2y24x2y1
6、 0 的位置关系为 A内切 B相交 C外切 D相离7圆 x 2y22x50 与圆 x2y22x4y40 的交点为 A,B,就线段 AB 的垂直平分线的方程是 A xy10 B2xy10 C x2y10 Dx y10 8圆 x 2y22x0 和圆 x2 y2 4y0 的公切线有且仅有 A 4 条 B3 条 C2 条 D1 条9在空间直角坐标系中,已知点 M a,b, c ,有以下表达：点 M 关于 x 轴对称点的坐标是 M 1 a, b,c ；点 M 关于 yoz 平面对称的点的坐标是 M2 a, b, c ；点 M 关于 y 轴对称的点的坐标是 M 3 a, b,c ；点 M 关于原点对称的点
7、的坐标是 M 4 a, b, c 其中正确的表达的个数是 A 3 B2 C1 D0 10空间直角坐标系中,点 A 3,4, 0 与点 B 2, 1,6 的距离是 A 2 43 B2 21 C9 D86二、填空题11圆 x2y22x 2y1 0 上的动点 Q 到直线 3x4y 80 距离的最小值为12圆心在直线yx 上且与 x 轴相切于点 1,0 的圆的方程为13以点 C 2,3 为圆心且与y 轴相切的圆的方程是14两圆 x 2 y2 1 和 x4 2 ya 225 相切,试确定常数a 的值15圆心为 C 3, 5 ,并且与直线x7y20 相切的圆的方程为16设圆 x 2 y2 4x5 0 的弦
8、 AB 的中点为 P 3,1 ,就直线 AB 的方程是第 2 页 共 5 页名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三、解答题17求圆心在原点,且圆周被直线3x4y 150 分成 12 两部分的圆的方程18求过原点,在x 轴, y 轴上截距分别为a,b 的圆的方程 ab 0 19求经过A 4, 2 ,B 1,3 两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是20求经过点 8,3 ,并且和直线 x6 与 x10 都相切的圆的方程第 3 页 共 5 页2 的圆的方程名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资
9、料 - - - - - - - - - 第四章 圆与方程参考答案一、挑选题2 21B 圆心 C 与点 M 的距离即为圆的半径, 25 37 52C 解析一：由圆心在直线 xy 20 上可以得到 A,C 满意条件,再把 A 点坐标 1, 1 代入圆方程 A 不满意条件选 C解析二：设圆心 C 的坐标为 a,b ,半径为 r,由于圆心 C 在直线 xy20 上, b2a由 | CA| | CB| ,得 a12 b12 a 12 b12,解得 a1,b1因此圆的方程为 x 12 y1243B 解析：与 x 轴相切, r 4又圆心 3,4 ,圆方程为 x3 2 y4 2164B 解析： xym0 与
10、x2 y2m 相切, 0,0 到直线距离等于 m m m , m225A 解析：令 y0, x1 216 x1 4, x15,x2 3弦长 | 5 3| 86B 解析：由两个圆的方程 C1： x1 2 y1 24,C2： x2 2 y1 24 可求得圆心距 d13 0,4 ,r 1r 22,且 r 1 r 2dr 1 r2 故两圆相交,选 B7A 解析：对已知圆的方程 x2y22x 50,x2y22x4y40,经配方,得 x1 2 y26, x12 y229圆心分别为C1 1,0 ,C2 1,2 直线 C1C2 的方程为 xy108C 解析：将两圆方程分别配方得 x 12y21 和 x2 y2
11、 2 4,两圆圆心分别为O1 1,0 ,O20,2 ,r 11,r22,| O1O2| 2 1225 ,又 1r2r15 r1r23,故两圆相交,所以有两条公切线,应选C9C 解：错,对选C10D 解析：利用空间两点间的距离公式二、填空题348112解析：圆心到直线的距离 d3,动点 Q 到直线距离的最小值为 dr 312512 x1 2 y1 21解析：画图后可以看出,圆心在 1,1 ,半径为 1故所求圆的方程为： x12 y12113 x22 y3 24解析：由于圆心为 2,3 ,且圆与 y 轴相切,所以圆的半径为 2故所求圆的方程为 x22 y324名师归纳总结 - - - - - -
12、-140 或 25 解析：当两圆相外切时,由| O1O2| r 1r 2知42a26,即 a 25 当两圆相内切时,由| O1O2| r 1r 2 r1r 2 知42a24,即 a0 a 的值为 0 或 25 15 x32 y5 232解析：圆的半径即为圆心到直线x7y20 的距离；16x y40解析：圆x2y24x50 的圆心为 C 2, 0 ,P 3,1 为弦 AB 的中点,所以直线AB与直线 CP 垂直,即 kABkCP 1,解得 kAB 1,又直线 AB 过 P 3,1 ,就直线方程为xy4 0三、解答题y17x2y236解析：设直线与圆交于A,B 两点,就 AOB120,设A4OrB
13、5x所求圆方程为：x2y2r2,就圆心到直线距离为r15,所225- 5- 2以 r6,所求圆方程为x2 y2 36- 4第 4 页 共 5 页第 17 题第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 18x 2y2axby0解析：圆过原点,设圆方程为a2Da0,b2bE0x2y2DxEy0圆过 a, 0 和 0,b ,又 a 0,b 0, D a,E b故所求圆方程为 x2y2axby019x 2y22x12 0解析：设所求圆的方程为 x2 y2 DxEyF0A,B 两点在圆上,代入方程整理得：D 3EF10 4D2E F 20 设纵截距为 b1,b2,横截距为 a1,a2在圆的方程中,令 x0 得 y2EyF0, b1b2 E；令 y0 得 x2Dx F0, a1a2 D由已知有 DE2联立方程组得 所以圆的方程为 x2y22x12 0D 2,E0,F 1220解：设所求圆的方程为 xa 2 y b 2r 2依据题意： r10 62,圆心的横坐标 a628,2所以圆的方程可化为： x82 yb24又由于圆过 8,3 点,所以 882 3b24,解得 b5 或 b1,所求圆的方程为 x82 y52 4 或 x82 y 124第 5 页 共 5 页名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页