2022年高一数学第二章基本初等函数知识点总结归纳.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 必修 1 其次章基本初等函数 学问点整理2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算( 1)根式的概念假如 x na a R x R n 1,且 n N,那么 x叫做 a的 n次方根当 n是奇数时, a 的 n 次方根用符号 n a表示;当 n 是偶数时,正数 a的正的 n次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号 n a 表示; 0 的 n 次方根是 0;负数a 没有 n 次方根式子n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数当 n为奇数时, a为任意实数;当 n为偶数时,a0根式的性质: n ana;当n为奇数时,n

2、ana ;当 n 为偶数时,nan|a|aa a0 a0 ( 2)分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是:mamnama0,0,m nNN,且n11 0 的正分数指数幂等于0正数的负分数n指数幂的意义是:am1n且n0 的负分数指数幂没有意义留意口诀: 底 1 maam n,nna数取倒数,指数取相反数( 3)分数指数幂的运算性质arasarsa0, , r sR arsarsa0, , r sR abrr a bra0,b0,rR 2.1.2指数函数及其性质( 4)指数函数函数名称yay1函数yaxa指数函数1叫做指数函数ay1定义0且aax0yax图象y1y10,10,1名师归纳总结

3、定义域OxOx第 1 页,共 7 页R值域( 0,+ )过定点图象过定点( 0,1 ),即当 x=0 时, y=1奇偶性非奇非偶单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 函数值的y1x 0, y=1x=0, 0y1x 0 y 1x 0, y=1x=0, 0y1x 0变化情形a变化对在第一象限内, a 越大图象越高,越靠近 在其次象限内, a 越大图象越低,越靠近y 轴;在第一象限内, a 越小图象越高,越靠近 在其次象限内, a 越小图象越低,越靠近y 轴;图象的影x 轴x 轴响2.2 对数函数【2.2.1 】对数与对

4、数运算( 1)对数的定义如axN a0,且a1,就 x叫做以 a为底 N 的对数,记作xlog aN ,其中 a 叫做底数, N 叫做真数第 2 页,共 7 页负数和零没有对数对数式与指数式的互化:xlogaNaxN a0,a1,N0( 2)几个重要的对数恒等式: log 1 a0, logaa1, logaabb( 3)常用对数与自然对数:常用对数:lg N,即log10N ;自然对数: ln N ,即 log e N (其中e2.71828 )( 4)对数的运算性质假如a0,a1,M0,N0,那么加法: logaMlogaNlog MN减法: logaMlogaNlogaMN数乘:nlog

5、aMlogaMnnR alog a NN logabMnnlogaM b0,nR 换底公式:logaNlogbNb0,且b1logbab名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【2.2.2 】对数函数及其性质( 5)对数函数函数名称ya函数ylogax a对数函数1叫做对数函数a1定义0且a10图象x1ylog ax0,yx1ylog ax1,01, 0OxxO定义域值域图Rx 轴过定点图象过定点 1,0 ,即当x1时,y0奇偶性非奇非偶单调性在 0, 上是增函数在 0, 上是减函数函数值的logax0 x1logax0 x1logax0 x1

6、logax0 x1变化情形a 变化对logax0 0x1logax0 0x1在第一象限内, a 越大图象越靠低,越靠近 在第四象限内, a 越大图象越靠高,越靠近x 轴在第一象限内, a 越小图象越靠低,越靠近 在第四象限内, a 越小图象越靠高,越靠近象的影响y 轴y 轴6 反函数的概念设函数 y f x 的定义域为 A ,值域为 C ,从式子 y f x 中解出 x ,得式子 x 假如对于 y 在 C 中的任何一个值,通过式子 x , x 在 A 中都有唯独确定的值和它对应,那么式子 x 表示 x 是 y 的函数,函数 x 叫做函数 y f x 的反函数,记作 x f 1 ,习惯上改写成

7、y f 1 x ( 7)反函数的求法确定反函数的定义域,即原函数的值域;从原函数式yf x 中反解出xf1 ;将xf1 改写成yf1 ,并注明反函数的定义域( 8)反函数的性质名师归纳总结 原函数yf x 与反函数yf1 的图象关于直线yx 对称第 3 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 函数yf 的定义域、值域分别是其反函数yf1 的值域、定义域如P a b , 在原函数yf x 的图象上,就P b a 在反函数 , yf1 的图象上一般地,函数yf x 要有反函数就它必需为单调函数2.3 幂函数( 1)幂函数的定义一般地,函数 yx叫做

8、幂函数,其中 x 为自变量,是常数( 2)幂函数的图象( 3)幂函数的性质名师归纳总结 - - - - - - - 图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象 幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限图象关于 y 轴对称 ;是奇函数时,图象分布在第一、三象限图象关于原点对称;是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限过定点:全部的幂函数在0, 都有定义,并且图象都通过点1,1单调性:假如0,就幂函数的图象过原点,并且在0, 上为增函数假如0,就幂函数的图象在0,上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x轴与y轴奇偶性: 当为奇数时, 幂函数为奇函数, 当为偶数时, 幂函数为偶函数 当

9、q(其中p q 互质, p 和 qZ ),pqq如 p 为奇数 q 为奇数时,就yxp是奇函数,如p 为奇数 q 为偶数时,就yxp是偶函数,如p 为偶数 q 为奇数时,第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - q就yxp是非奇非偶函数,x0,当1 时,如 0x1,其图象在直线yx下方,如x1,其图象图象特点:幂函数yx在直线 yx 上方,当1时,如 0x1,其图象在直线yx 下方x 上方,如x1,其图象在直线y补充学问二次函数( 1)二次函数解析式的三种形式一般式:f x ax2bxc a20顶点式:f x a xh2k a0两根式:f x a xx 1xxa0

10、( 2)求二次函数解析式的方法 已知三个点坐标时,宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式如已知抛物线与x轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求f x 更便利( 3)二次函数图象的性质二次函数f x ax2bxc a0的图象是一条抛物线,对称轴方程为xb,顶点坐标是b,4acab22a2a4当a0时,抛物线开口向上,函数在,b上递减,在 b,上递增,当xb时,2a2 a2afmin 4acb2;当a0时,抛物线开口向下,函数在,b上递增,在 b,上递减,当4 a2a2axb时,fmax 4acb22a4 a二次函数f x ax2bxc a0当b24

11、ac0时,图象与 x 轴有两个交点M x ,0, M x ,0,| M M 2| |x 1x 2| |( 4)一元二次方程ax2bxc0a0根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分学问在中学代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系 统地来分析一元二次方程实根的分布名师归纳总结 设一元二次方程ax2bxc0a0的两实根为x x ,且x 1x 令f x ax2bxc ,从以下四个方第 5 页,共 7 页xba面来分析此类问题:开口方向:对称轴位置:判别式:端点函数值符号2ak x

12、1x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fk0ya0yxb2ak1xOxx2xfk1x0Oax 2xk0b2ax1 x2ka1x0Oyxf k 0a1xyxfbx2aOx2xx2kkx1 kx21xOybx0yfk02aaf k 0 k0a0xOkx2x 21xkfk0a0k1x1 x2k 2ya0y1x0xbxf k1=0 或 f k2=0 这两f 12a0fk 20Ok 1x 1x2k2xOk 1x2k2有且仅有一个根xbfk10fk20a2 a0,并同时考虑f k1 f k2x1(或 x2)满意 k1x1(或 x2) k2种情形是否也符合名师归纳

13、总结 yk1fk10a20xOy1xfk10x2k 2x第 6 页,共 7 页O1xk2x1kfk20a0fk20- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - k1x1 k2 p1 x2p2此结论可直接由推出( 5)二次函数f x ax2bxc a0在闭区间 p q 上的最值1 2pqbq,就mf q x设f x 在区间 p q 上的 最大值为 M ,最小值为 m ,令x 0()当a0时(开口向上)b如如bp,就mf 如pbq,就mf2 a2a2a2 aOf如bqff q xpfOqfpxOfbfbMf qffbfp b2 a2a2ax 0x 0,就M,就2a2 a名师归纳总结 fpfxxbq,就fMbf q x第 7 页,共 7 页p 0x0x qOOxfqffb如fp b2 a2a 当a0时 开口向下 bq,就Mfb如bp,就Mfp如2 a2 a2 a2afbfffbpqf 2a2a2appOOxOxfffqq如bx 0,就mf q bx0,就mf p2 a2affbqff b2a2apx00xOxOffqp- - - - - - -

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