2022年高二定积分的计算.docx-淘文阁

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 年级高二名师精编欢迎下载数学学科内容标题定积分的运算编稿老师胡居化一、教学目标：1.懂得定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简洁的积分运算问题.2.懂得微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简洁函数的定积分问题.二、学问要点分析b1. 定积分的概念：函数 f x 在区间 a,b上的定积分表示为：a f x dx2. 定积分的几何意义：b（1）当函数 f（ x）在区间 a,b上恒为正时,定积分a f x dx 的几何意义是： y=f（ x）b与 x=a,x=b 及 x 轴围成的曲边梯形面积,在一般情形下 .a f x dx 的几何

2、意义是介于 x 轴、函数 f（x）的图象、以及直线 x=a,x=b 之间的各部分的面积代数和,在 x 轴上方的面积取正号, x 轴下方的面积取负号 .b b b在图（1）中：f x dx s 0,在图（2）中：f x dx s 0,在图（3）中：f x dxa a a名师归纳总结表示函数 y=f （x）图象及直线x=a, x=b、x 轴围成的面积的代数和.bfxdx,仅第 1 页,共 8 页注：函数y=f（x）图象与x 轴及直线x=a,x=b 围成的面积不肯定等于a当在区间 a,b上 f（x）恒正时,其面积才等于bfxdx.a3.定积分的性质, （设函数f（x）,g（x）在区间 a,b上可积

3、）（1）bfxg xdxbfxdxbgxdxaaa（2）bkfx dxkbfx dx,（k 为常数）aa（3）bfxdxcfxdxbfx dxaac（4）如在区间 a,b上,fx 0,就bfxdx0a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编x欢迎下载bfx dxbgx dx推论：（ 1）如在区间 a,b上,fgx,就aab b（2）| a f x dx | a | f x | dxa a a（3）如 f（x）是偶函数,就a f x dx 2 0 f x dx,如 f（x）是奇函数,就 a f x dx 04. 微积分基本定理：一般地,如 F x f

4、x , 且 f x 在 a , b 上可积,就a bf x dx F b F a 注：（1）如 F x f x 就 F（x）叫函数 f（x）在区间 a,b上的一个原函数,根b据导数定义知：F（x）+C 也是 f（x）的原函数,求定积分a f x dx 的关键是求 f （x）的原函数,可以利用基本初等函数的求导公式和导数的四就运算法就从反方向求 F（x）.（2）求导运算与求原函数的运算互为逆运算 .【典型例题】学问点一：定积分的几何意义例 1依据2sin xdx0推断：求直线x=0 ,x= 2,y=0 和正弦曲线y=sinx 所围成0的曲边梯形面积以下结论正确选项（）A面积为 0 B曲边梯形在x

5、轴上方的面积大于在x 轴下方的面积 x 轴下方的面积 x 轴下方的面积C曲边梯形在x 轴上方的面积小于在D曲边梯形在x 轴上方的面积等于在题意分析：此题考查定积分的几何意义,留意2 0sinx dx与 y=sinx 及直线 x=a,x=b 和 x 轴围成的面积的区分.y=sinx 在区间 0, 2 内的图象及积分的几何意义及函数的对称性可思路分析：作出函数判定 .解：对于（ A ）：由于直线 x=0 ,x= 2,y=0 和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积为正可判定 A 错.名师归纳总结对于（ B）,（C）依据 y=sinx 在0, 2内关于（,0 对称知两个答案都是错误的.

6、第 2 页,共 8 页依据函数 y=sinx 的图象及定积分的几何意义可知：答案（D）是正确的 .易错点解题后的摸索：此题主要考查定积分的几何意义,表达了数与形结合的思想的应用,是混淆函数y=sinx 与 x 轴、直线 x=0,x= 2围成的面积等于2fxdx.0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编欢迎下载例 2利用定积分的几何意义,说明以下等式的合理性1（1）0 2 xdx 1（2）1 1 x 2 dx .4 0题意分析：此题主要考查定积分的几何意义：在区间 0,1上函数 y=2x,及 y= 1 x 2 恒1 1 2 为正时,定积分 02

7、xdx 表示函数 y=2x 图象与 x=0,x=1 围成的图形的面积,0 1 x dx 表2 示函数 y= 1 x 图象与 x=0,x=1 围成的图形的面积 .2 思路分析：分别作出函数 y=2x 及 y= 1 x 的图象,求此图象与直线 x=0 ,x=1 围成的面积.解：（1）在同一坐标系中画出函数y=2x 的图象及直线x=0,x=1 （如图）,它们围成的图形是直角三角形 . 其面积 S =1211. 由于在区间 0,1内 f（x）恒为正,故12xdx1.20（ 2）由y1x2x2y2,1x0 1,故函数y1x2（x01,的图象如图所示,所以函数y1x2与直线 x=0 ,x=1 围成的图形

8、面积是圆x2y21面积的四分之一,又 y1x2在区间 0,1上恒为正 .11x2dx4y=2x 及函数 y=1x2在0解题后的摸索：此题主要考查利用定积分的几何意义来验证函数区间 0,1上的定积分的值,表达了数与形结合的思想的应用,易错点是画函数图象的不名师归纳总结精确造成错误的结果.3|dx的值 .|x3|dx的值是函数第 3 页,共 8 页例 3利用定积分的几何意义求4|x1|x0题意分析：本题考查定积分的几何意义 ,4 0|x1|- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y|x1|x3|的图象与直线名师精编欢迎

9、下载.x=0,x=4 所围成图形的面积思路分析：第一把区间 0,4分割为 0,1,1,3,3,4,在每个区间上争论 x 1,x 3 的符号,把函数 y | x 1 | | x 3 | 化为分段函数,再依据定积分的几何意义求40 | x 1 | | x 3 | dx 的值 .2 x 4 , x 0 1, 解：函数 y | x 1 | | x 3 | 化为 y 2 , x 1 3, 2 x 4 , x 3 4, 2 x ,4 x 1,0由于函数 y 2 , x 3,1 在区间 0,1,1,3, 3,4都恒为正 .2 x 4 , x ,3 4 设函数 y= 2x+4 的图象与直线 x=0,x=1

10、围成的面积为 S1 函数 y=2 的图象与直线 x=1,x=3 围成的面积是 S2 函数 y=2x 4 的图象与直线 x=3 ,x=4 围成的面积是 S3 由图知： S1=S3= 1 4 2 1 ,3 S2= 2 2 424由定积分的几何意义知：0 | x 1 | | x 3 | dx = S 1 S 3 S 2 10解题后的摸索：此题考查的学问点是定积分的几何意义,利用其几何意义求定积分40 | x 1 | | x 3 | dx 的值,表达了等价转化的数学思想（把区间0,4分割,把函数y=|x1|+|x3|化成分段函数）、数与形结合的思想的应用 . 易错点是：区间0, 4分割不当及画函数

11、图象不精确,造成错误的结果. 当被积函数含有肯定值时,常采纳分割区间把函数化为分段函数的方法求定积分的值 .小结：此题主要考查定积分的几何意义,要分清在区间a,b上 f（x）恒为正时, f（x）在区间 a,b上定积分值才等于函数图象与直线 x=a,x=b 围成的面积 . 在画函数图象时留意x 的取值区间 . 当被积函数含有肯定值时,恰当的分割区间把函数画为分段函数再求定积分的值 .学问点二：定积分的运算名师归纳总结例 1由直线x1,x=2 ,曲线y1及 x 轴围成的面积是（）关键是懂得第 4 页,共 8 页2xA15B17C1ln2D2ln2 442题意分析：此题表面上考查定积分的几何意

12、义,实质是考查定积分的基本运算,所求图形面积是定积分11 2 xdx的值 .思路分析：利用导数求出1的原函数是 xlnx. 再利用微积分的基本定理求.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：lnx 1,21dx=lnx名师精编2欢迎下载ln2. 2 | 1lnln121xx222应选（ D）解题后的摸索：求定积分的值关键是求被积函数的原函数,易错的地方是：求被积函数的原函数有误 .例 2求以下定积分的值（1）1 02x3 dxdt（2）11x3dx2（3）0costet可利用导数求被积函数的原函数,题意分析：此题考查定积分的基本运算,先直接求被积函

13、数的原函数,再利用定积分的运算性质和微积分基本定理求定积分的值 .思路分析：（ 1 ）利用导数求被积函数 2 x 1,3 x 3, cos t te 的原函数分别是2 1 4 tx 3 x , x x , sin t e,再由微积分基本定理可求 .4解：（1） x 2 3 x 2 x 3,1 2 10 2 x 3 dx x 3 x | 0 1 3 4（2） x 1x 4 1 x 3412 1 x 3 dx x 14 x 4 | 12 1 14 2 4 2 4 274t t（3）sin t e cos t e,0 t t 0 0 0 tcos t e dt

14、sin t e | sin tdt e dt0 t 0 1= sin x | e | 1e解题后的摸索：此题是定积分的简洁的运算,解题的关键是求被积函数的原函数,能利用求导的方法求原函数, 表达了等价转化的数学思想的应用 . 易错点是求原函数 . 要留意定积分运算法就的应用 .例 3求以下定积分的值名师归纳总结（1）2sin2xdx被积函数不是我们学过的基本初等函数,要把被积函数第 5 页,共 8 页02（2）3cosx6dx题意分析：此题仍是定积分的运算,转化为基本的初等函数.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编欢迎下载sin2x1 1c

15、osx,利用余弦的思路分析：利用三角函数的降幂公式把被积函数化为：22差角公式把被积函数化为：cos x 3cos x 1 sin x,再利用定积分的运算法就及6 2 2微积分的基本原理求 .解：（1）0 2 sin 2 x2 dx = 0 2 1 cos2 xdx = 12 0 2 1 cos x dx = 12 0 2 dx 0 2 cos xdx = 1 x | 0 2 sin x | 0 2 1 1 22 2 2 4（2）cos x dx = 3cos x 1sin x dx = 3cos xdx 1sin x dx3 6 3 2 2 2 3 2 3= 3 sin x | 1 cos

16、 x | 3 sin 1 cos cos 02 3 2 3 2 3 2 3解题后摸索：此题的解题关键是求被积函数的原函数,利用求导数的方法求原函数,如被积函数不是初等函数要转化为基本的初等函数,这样便于利用导数求原函数,其中表达等价转化的数学思想的应用 .小结：此题组主要是考查定积分的运算,求被积函数的原函数是解题的关键,要娴熟的把握导数的运算法就、公式便于求被积函数的原函数,同时对较复杂的被积函数要转化为基本的初等函数 . 同时留意定积分的运算的性质、法就的应用 . 会给解题带来很大的便利 .【本讲涉及的数学思想、方法】：本讲主要叙述定积分的几何意义及定积分的基本运算,在考查定积分几何

17、意义的学问点上表达了数与形相结合数学思想的应用,在定积分的运算过程中表达了等价转化的数学思想的应用 .【模拟试题】（答题时间： 60 分钟,满分 60 分）一、挑选题（每题 5 分,计 30 分）名师归纳总结 1设连续函数f（x） 0 恒成立,就当ab 时,定积分bfx 的符号是（）第 6 页,共 8 页aA肯定是正的B肯定是负的C当 0ab 时是正的,当ab0 时是负的D以上都不对2如k 2x3x2 dx,0就 k=（）0A0 B1 C0 或 1 D以上都不对3与定积分31cosxdx相等的是（）0A23sinxdxB23|sinx|dx0202C2|3sinxdx|D以上都不对 .02-

18、 - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 42 3 xsinx dx=（名师精编欢迎下载）0A321 B 32f1dx8C3 4f21 D 3 821845已知 f（x）是偶函数,且6x ,就6 6x dx（）0A0 B4 ）C8 D16 621cosxdx等于（2AB2 C2D2二、运算题7求以下定积分的值：（每题 5 分,计 20 分）名师归纳总结（1）2x22x1 dx12x dx（10 分）（2）0sinxcosx dx第 7 页,共 8 页1（3）2xx211dx（4）11 xcosxdx1x1x8求定积分0- - - - - - -精选学习资料

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