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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 必修 5 学问点总结1、正弦定理：在 C 中, a 、 b 、 c 分别为角、 C 的对边, R 为 C 的外接圆的半径,就有 a b c 2 Rsin sin sin C2、正弦定理的变形公式： a 2 R sin,b 2 R sin,c 2 R sin C ； sin a, sin b, sin C c； a b c sin :sin :sin C ；2 R 2 R 2 R a b c a b csin sin sin C sin sin sin C（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角,求其余的量； 2、已知两角和
2、一边,求其余的量； ）对于已知两边和其中一边所对的角的题型要留意解的情形；（一解、两解、无解三中情形）a 如：在三角形ABC中,已知 a、b、A（A为锐角）求B；详细的做法是：数形结合思想画出图：法一：把a 扰着 C点旋转,看所得轨迹以AD有无交点：C 当无交点就B 无解、当有一个交点就B 有一解、b 当有两个交点就B 有两个解；bsinA 法二：是算出CD=bsinA, 看 a 的情形：A D 当 absinA ,就 B 无解当 bsinAb 时, B 有一解注：当 A 为钝角或是直角时以此类推既可；名师归纳总结 3、三角形面积公式：SC1bcsin1absinC1acsinc2C90；22
3、24、余弦定理：在C 中,有a2b2c22bccos,2 ba2c22 accos,c2a22 b2abcosC 5、余弦定理的推论：cosb2c2a2,cosa2c2b2,cosCa2b22bc2 ac2ab 余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角,求其余的量；2、已知三边求角 2 c ,就6、如何判定三角形的外形：设 a 、b 、c是C 的角、C 的对边,就：如a2b2B 如a2b22 c ,就C90；如a2b22 c ,就C90A 正余弦定理的综合应用：如下列图：隔河看两目标A、B, 第 1 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -
4、但不能到达,在岸边选取相距 3 千米的 C、D两点,并测得 ACB=75 O, BCD=45 O, ADC=30 O, ADB=45 OA、B、 C、D在同一平面内 ,求两目标 A、B 之间的距离；此题解答过程略附：三角形的五个“ 心”；重心：三角形三条中线交点. . . 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点7、数列：依据肯定次序排列着的一列数8、数列的项：数列中的每一个数9、有穷数列：项数有限的数列10、无穷数列：项数无限的数列名师归纳总结 11、递增数列：从第2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列（即：an+1an）
5、第 2 页,共 14 页12、递减数列：从第2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列（即：an+10,d0 时,满意 的项数 m使得 s 取最a m 1 0大值 . 2 当 a 0 时,满意的项数 m使得 s 取最小值；在解含肯定值的数列最值问题时 , 留意转化思想的应用；附： 数列求和的常用方法1. 公式法 : 适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列；2. 裂项相消法 : 适用于ac1其中 a 是各项不为0 的等差数列, c 为常数；部分无理数列、含阶乘na n的数列等；例题：已知数列 a n 的通项为 an= 1 , 求这个数列的前 n 项和 Sn. n n 1解：观看后发觉：
6、an=1 1n n 1s n a 1 a 2 a n1 1 1 1 1 12 2 3 n n 111n 13. 错位相减法 : 适用于 a nb n 其中 a 是等差数列,b n 是各项不为 0 的等比数列；n例题：已知数列 a n 的通项公式为 a n n 2,求这个数列的前 n 项之和 ns ；解：由题设得：s na 1a 2a 33 3 2a nn2n =1 1 22 22即名师归纳总结 ns =1 1 22 223 23n2n第 6 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 把式两边同乘 2 后得2 ns =1 223 2 23 24n
7、2n1用 - ,即：ns =1 1 222 223 234n2nn12 ns =1 23 2 23 2n2得s n1 2223 22nn2n1. n 21 2 n2n1n 项和公式的推导方法122 n12n2n11n 2n12ns n12n124. 倒序相加法 : 类似于等差数列前5. 常用结论1）: 1+2+3+.+n = nn1 n2 2） 1+3+5+.+2n-1 =2 n 3）3 123）nn311n n1 2224）2 1222 31nn1 2 n1 ab 511116nnnn1211n12pn2nq6）1q1p11pqpqab0ab ；ab031、ab0ab ；d32、不等式的性质
8、： abba ；ab bcaac ； aabcacbc ；第 7 页,共 14 页a bc0ac bc；bd ；ab c0acbc ,b cd0； acab bdn abnn,n1；,n1ab0nanb n名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 33、一元二次不等式：只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式34、含肯定值不等式、一元二次不等式的解法及延长 1. 整式不等式（高次不等式）的解法 穿根法 （零点分段法）求解不等式：a0xna 1xn1a2xn2an0 0 a00 x 的系数化“+” ； 为了统一解法：将不等式化为a0x
9、-x1x-x2 x-xm00” , 就找“ 线” 在x 轴上方的区间；如不等式是“b 解的争论；00一元二次不等式ax2+bx+c0a0 解的争论 . 0二次函数y2 axbxc有两相异实根有两相等实根无实根（a0）的图象一元二次方程ax2bxc0x 1,x2x 1x2x 1x2ba0的根2axxx 1或xx 2xxb R ax2bxc0a0 的解集2 axx 1xx2ax2bxc0a0 的解集对于 a0 或fx 0 ；fx f0 或f gx0 的形式,0第 9 页,共 14 页gxgxgxx （2）转化为整式不等式（组）fx 0fx gx;0x0f g x x gx 0gxgx- - - -
10、 - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例题：求解不等式：11x解：略例题：求不等式xx11的解集；3. 含肯定值不等式的解法：基本形式：型如： |x| a a0 的不等式的解集为：x|axaa型如： |x| a a0 的不等式的解集为：x xa,或x变型：| ax b | c c 0 型的不等式的解集可以由 x | c ax b c 解得；其中 -cax+bc 等价于不等ax b c式组 在解 -cax+b0 的实根的分布常借助二次函数图像来分析：设 ax2+bx+c=0 的两根为、,fx=ax2+bx+c, 那么：0如两根都大于0,即0,0 ,就有0o 对称轴 x=b
11、x 02a0如两根都小于0,即0,0 ,就有fb0对称轴 x=by x 2 a00o 2ay 名师归纳总结 如两根有一根小于0 一根大于 0,即0,就有f00o x 第 11 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y 如两根在两实数m,n 之间,即 mn ,0就有mbnmtn ,o m X=bn x 2af m 0f n 0如两个根在三个实数之间,即2 ay f m0mn x m1就有f t 0f n 0o m t X=b312a常由根的分布情形来求解显现在a、b、c 位置上的参数例如：如方程2 x2m1 x2 m2 m30有两个正实数根,
12、求m 的取值范畴；04m2 14m22 m30m1解：由型得02m10m10m22 m30m1,或m3所以方程有两个正实数根时,m3；5又如：方程x2xm210的一根大于1,另一根小于1,求 m 的范畴；解：由于有两个不同的根, 所以由f002 14m21015m2212 11m2101m35、二元一次不等式：含有两个未知数,并且未知数的次数是1的不等式36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组名师归纳总结 37、二元一次不等式（组）的解集：满意二元一次不等式组的x 和 y 的取值构成有序数对,x y ,全部这样的有序数对,x y 构成的集合第 12 页,共 14 页- - -
13、 - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 38、在平面直角坐标系中,已知直线xyC0,坐标平面内的点x 0,y 0如0 ,x 0y 0C0,就点x 0,y 0在直线x0yC0的上方yC0表示 直线如0 ,x 0y 0C0,就点x 0,y 0在直线xyC0的下方39、在平面直角坐标系中,已知直线xyC0上方的区域；x（一）由B确定：xyC如0 , 就xyC0表示 直线下方的区表示 直线xyC0下方的区域xyC0域；xyC0如0 , 就xyC0表示 直线xyC0上方的区域（二）由A的符号来确定：先把 x 的系数 A 化为正后,看不等号方向：如是“” 号,就xyC0所表示的区
14、域为直线l: xyC0的右边部分；如是“” 号,就所表示的区域为直线l: 的左边部分；xyC0xyC0（三）确定不等式组所表示区域的步骤：画线：画出不等式所对应的方程所表示的直线定测：由上面（一） （二）来确定求交：取出满意各个不等式所表示的区域的公共部分；例题：画出不等式组2x3y50所表示的平面区域；yyx502x5解：略40、线性约束条件：由 x , y 的不等式（或方程）组成的不等式组,是 x, y 的线性约束条件目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式线性目标函数：目标函数为 x , y 的一次解析式线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值
15、问题可行解：满意线性约束条件的解 ,x y 可行域：全部可行解组成的集合最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 41、设 a 、 b 是两个正数,就a2b 称为正数 a 、 b 的算术平均数,2bab称为正数a、b的几何平均数42、均值不等式定理：如a0,b0,就ab2ab,即aab 43 、 常 用 的 基 本 不 等 式 ： a 2b22ab a bR； aba22b2a bR； aba2b2a0, b0；2 s 如 xy4p （积为定值） ,就当 xya22b2a2b2a bR44、极值定理：设x 、 y 都为正数,就有：如 xys （和为定值） ,就当 xy 时,积 xy 取得最大值时,和 xy 取得最小值 2p 例题：已知x5,求函数f x 4x2415的最大值；4x解：x5, 4x504由原式可以化为：f x 4 x5521554 51x354 51354 51x31 34 x44 x4名师归纳总结 当54x51x,即54 221x1,或x3舍去）时取到“=” 号第 14 页,共 14 页42也就是说当x1时有f x max- - - - - - -