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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本抽象函数常见题型解法综述赵春祥抽象函数是指没有给出函数的详细解析式,只给出了一些表达函数特点的式子的一类函数；由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一；本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例 1. 已知函数fx2的定义域是 1,2,求 f（x）的定义域；f4x 解：fx2的定义域是 1,2,是指1x2,所以fx2中的2 x 满意1x2从而函数 f（x）的定义域是1,4评析：一般地, 已知函数fx的定义域是A ,求 f（x）的定义域问题, 相当于已知中 x 的取值范畴为A ,据
2、此求x 的值域问题；例 2. 已知函数fx的定义域是1,2,求函数flog13x 的定义域；2名师归纳总结 解：fx的定义域是1,2,意思是凡被f 作用的对象都在1,2 中,由此可得第 1 页,共 7 页1log13x2123x111x112242所以函数flog1 3x 的定义域是1 ,1142评析： 这类问题的一般形式是：已知函数f（x）的定义域是A ,求函数fx的定义域；正确懂得函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键；这类问题实质上相当于已知x 的值域 B,且BA,据此求x 的取值范畴；例2 和例 1 形式上正相反；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -
3、 - - 立身以立学为先,立学以读书为本二、求值问题f例 3. 已知定义域为R的函数f（ x）,同时满意以下条件：f21,f61；5xyfxfy,求 f（ 3）, f（9）的值；解： 取x2,y3,得f6f2f3 由于f21,f61,所以f3 4f55又取xy3得f9f3 f3 85评析：通过观看已知与未知的联系,奇妙地赋值,取x2,y3,这样便把已知条件21,f61与欲求的 f（3）沟通了起来；赋值法是解此类问题的常用技巧；5三、值域问题名师归纳总结 例 4. 设函数f（x）定义于实数集上,对于任意实数x、y,fxyfxfy总成立,第 2 页,共 7 页且存在x1x2,使得fx 1fx2,求
4、函数fx的值域；解： 令xy0,得f0 f02,即有f00或f01；如f00,就fxfx0fxf0 0,对任意xR均成立,这与存在实数x 1x2,使得fx1fx2成立冲突,故f00,必有f01；由于fxyfxfy对任意x、yR均成立,因此,对任意xR,有fxfxxfxfxfx2022222下面来证明,对任意xR,fx0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本设存在x0R,使得fx00,就f0fx0x0fx0fx00这与上面已证的f00冲突,因此,对任意xR,fx0所以fx0评析： 在处理抽象函数的问题时,往往需要对某些变量进行适
5、当的赋值,这是一般向特别转化的必要手段；四、解析式问题例 5. 设对满意x0,x1的全部实数x,函数fx 满意fxfxx1 1x,求 f（x）的解析式；解： 在fxfxx11x1 中以xx1 代换其中 x,得：fxx1 fx112x12 x再在（ 1）中以x11代换 x,得fx1 1fxx23 x1 1 23化简得：fx x3x x212x1 怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关评析： 假如把 x 和xx1 分别看作两个变量,键；通常情形下,给某些变量适当赋值,使之在关系中“ 消逝” ,进而保留一个变量,是实现这种转化的重要策略；五、单调性问题名师归纳总结 例 6. 设f（ x ）定义于
6、实数集上,当x0时,fx1,且对于任意实数x 、 y ,有第 3 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本fxyfx fy,求证：fx 在 R 上为增函数；证明： 在fxyfx fy中取xy0,得f0 f02如f00,令x0,y0,就fx0,与fx1冲突0所以f00,即有f0 1当x0时,fx10；当x0时,x0,fx1而fxfxf01所以fxf1x0又当x0时,f0 10所以对任意xR,恒有fx0设x 1x 2,就x2x10,fx2x11所以fx2fx 1x2x1fx 1fx2x1fx 1所以yfx在 R 上为增
7、函数；评析： 一般地,抽象函数所满意的关系式,应看作给定的运算法就,就变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联；六、奇偶性问题名师归纳总结 f例x7. 已 知 函 数2fxxR,x0 对 任 意 不 等 于 零 的 实 数x、x2都 有第 4 页,共 7 页x 12fx1fx,试判定函数f（x）的奇偶性；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本解： 取x11,x21得：f1 f1 f 1 ,所以f 10又取x 1x21得：f 1 f1f1 ,所以f1 0x再取x 1x,x21就fx f1
8、fx,即fxf由于fx为非零函数,所以fx为偶函数；七、对称性问题y例 8. 已知函数yf x 满意fx fx2002,求f1x f12002x的值；解： 已知式即在对称关系式faxfax 2b中取a0,b2002,所以函数fx的图象关于点（0,2002）对称；依据原函数与其反函数的关系,知函数yf1 x的图象关于点（ 2002, 0）对称；所以f1x1001 f1 1001x0f x a、b 均为将上式中的x 用x1001 代换,得f1xf12002x 0评析： 这是同一个函数图象关于点成中心对称问题,在解题中使用了下述命题：设常数, 函数yfx 对一切实数x 都满意fax fax2b,就函数y的图象关于点（ a,b）成中心对称图形；八、网络综合问题例 9. 定义在 R 上的函数 f（x）满意：对任意实数m, n,总有fmnfm fn,且当 x0 时, 0f （x） 0的结论；这是解题的关键性步骤,完成这些要在抽象函数式中进行；由特别到一般的解题思想,联想类比思维都有助于问题的摸索和解决；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页