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1、 8.5.3平面与平面平行的性质导学案编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波【学习目标】1.理解并能证明两个平面平行的性质定理2.能利用性质定理解决有关的平行问题【自主学习】知识点1 平面与平面平行的性质文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言，a，bab图形语言【合作探究】探究一 面面平行性质定理的理解【例1】(1)平面平面，直线a，直线b，下面三种情形：ab；a与b异面；a与b相交，其中可能出现的情形有()A1种 B2种C3种 D0种(2)给出三种说法：若平面平面，平面平面，则平面平面；若平面平面，直线a与相交，则a与相交；若平面平面，P，PQ，则
2、PQ.其中正确说法的序号是_【答案】(1)B(2)解析(1)因为平面平面，直线a，直线b，所以直线a与直线b无公共点当直线a与直线b共面时，ab；综上知，都有可能出现，共有2种情形故选B. (2)正确证明如下：如图(1)，在平面内取两条相交直线a、b，分别过a、b作平面，使它们分别与平面交于两相交直线a、b，因为，所以aa，bb.又因为，同理在平面内存在两相交直线a，b，使得aa，bb，所以aa，bb，所以.正确若直线a与平面平行或直线a，则由平面平面知a与无公共点或a，这与直线a与相交矛盾，所以a与相交正确如图(2)，过直线PQ作平面，a，b，由得ab.因为PQ，PQ，所以PQb.因为过直线
3、外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a与直线PQ重合因为a，所以PQ.归纳总结：面面平行的性质定理是由面面平行证明线线平行.证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，所以构造三个平面：即两个平行平面，一个经过两直线的平面，有时需要添加辅助面.【练习1】与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是()A都平行 B在这两个平面内C都相交 D至少与其中一个平面平行【答案】D解析：当直线在其中一个平面内时，直线与另一平面平行，当直线不属于任一平面内时，直线与两个平面都平行探究二 平面与平面平行性质定理的应用【例2】如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面，分别交于B，
4、A点和D，C点，M，N分别是AB，CD的中点求证：MN平面.分析利用三角形的中位线及面面平行的性质证明证明如图，过点A作AECD交于E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，AC.AECD，AE，CD确定平面AEDC，则平面AEDC平面DE，平面AEDC平面AC，ACDE.又P，N分别为AE，CD的中点，PNDE，PN，DE，PN.又M，P分别为AB，AE的中点，MPBE，且MP，BE，MP.平面MPN平面.又MN平面MPN，MN.归纳总结：【练习2】如图，平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D均在平行四边形ABCD所确定的一个平面外，且AA、BB、CC、DD互相平行求证：四边形AB
5、CD是平行四边形证明：在ABCD中，ABCD，因为AB平面CDDC，CD平面CDDC，所以AB平面CDDC.同理AA平面CDDC.又AAABA，所以平面ABBA平面CDDC.因为平面ABCD平面ABBAAB，平面ABCD平面CDDCCD，所以ABCD.同理ADBC.所以四边形ABCD是平行四边形探究三 平行关系的综合应用【例3】在三棱柱ABCA1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点(1)当等于何值时，BC1平面AB1D1?(2)当BC1平面AB1D1时，求证：平面BC1D平面AB1D1.解(1)1时，BC1平面AB1D1，理由如下：如图，此时D1为线段A1C1的中点，连接A1
6、B交AB1于O，连接OD1.由棱柱的定义知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点在A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1BC1.又因为OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，所以BC1平面AB1D1.所以当1时，BC1平面AB1D1.(2)证明：由(1)知，当BC1平面AB1D1时，点D1是线段A1C1的中点，则有ADD1C1，且ADD1C1，所以四边形ADC1D1是平行四边形所以AD1DC1.又因为DC1平面AB1D1，AD1平面AB1D1，所以DC1平面AB1D1.又因为BC1平面AB1D1，BC1平面BC1D，DC1平面BC1D，DC1BC1
7、C1，所以平面BC1D平面AB1D1.归纳总结：(1)在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质.(2)要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的方法.【练习3】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CMDN.求证：MN平面AA1B1B.证明：如图，作MPBB1交BC于点P，连接NP，MPBB1，.BDB1C，DNCM，B1MBN，NPCDAB.NP平面AA1B1B，AB平面AA1B1B，NP平面AA1B1B.
8、MPBB1，MP平面AA1B1B，BB1平面AA1B1B，MP平面AA1B1B.又MP平面MNP，NP平面MNP，MPNPP，平面MNP平面AA1B1B.MN平面MNP，MN平面AA1B1B.课后作业A组 基础题一、选择题1如果平面平行于平面，那么()A平面内任意直线都平行于平面B平面内有两条相交直线平行于平面C平面内任意直线都平行于平面内的任意直线D平面内的直线与平面内的直线不能垂直【答案】A2已知，a，那么a与的关系是()A平行 B相交 C在面内 D垂直【答案】A解析平面与平面平行，两个平面没有公共点，所以直线和平面没有公共点，直线与平面平行，故选A.3下列命题：一条直线与两个平行平面中的
9、一个平面相交，必与另外一个平面相交；如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；夹在两个平行平面间的平行线段相等其中正确的是命题的个数为()A1 B2 C3 D0【答案】C解析根据面面平行的性质知正确，故选C.4.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面平面ABC，分别交线段PA、PB、PC于A、B、C，若PAAA23，则SABCSABC等于()A225 B425C25 D45【答案】B解析平面平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为AB，AB，ABAB，同理BCBC，易得ABCABC，SABCSABC()2()2.5，为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，
10、则下列命题中不正确的是()ab; ab； ；a; a.A BC D【答案】C解析由公理4及平行平面的传递性知正确举反例知不正确中a，b可以相交，还可以异面；中，可以相交；中a可以在内；中a可以在内6下列命题中，错误的是()A平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行B平行于同一个平面的两个平面平行C若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行D若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面【答案】C解析由面面平行的判定定理和性质知A、B、D正确对于C，位于两个平行平面内的直线也可能异面7设，A，B，C是AB的中点，当A、B分别在平面、内运动时，得到无数个A
11、B的中点C，那么所有的动点C()A不共面B当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面C当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D不论A、B如何移动，都共面【答案】D解析如图所示，A、B分别是A、B两点在、上运动后的两点，此时AB中点C变成AB的中点C，连接AB，取AB的中点E.连接CE、CE、AA、BB、CC，则CEAA，CE.又CEBB，CE.又，CE.CECEE，平面CCE平面，CC平面.不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与、平行的平面上二、填空题8如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面平行，且四边形ABCD在平面内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则
12、四边形ABCD的形状一定是_【答案】平行四边形解析由夹在两平行平面间的平行线段相等可得9. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB与M，交BC与N，则_.【答案】解析平面MNE平面ACB1，由面面平行的性质定理可得ENB1C，EMB1A，又E为BB1的中点，M，N分别为BA，BC的中点，MNAC.即.10.如图，已知，GH，GD，EH分别交，于A，B，C，D，E，F，且GA9，AB12，BH16，则_.【答案】解析因为平面GACAC，平面GBDBD，且，所以ACBD，同理可证AEBF.又因为EAC与FBD的两边同向，所以EACFBD.又因
13、为GA9，AB12，ACBD，所以.11已知平面，P且P，过点P的直线m与，分别交于点A，C，过点P的直线n与，分别交于点B，D，且PA6，AC9，PD8，则BD的长为_【答案】或24解析如图所示，ACBDP，经过直线AC与BD可确定平面PCD.，平面PCDAB，平面PCDCD，ABCD.，即，BD.如图所示，同理可证ABCD，即，BD24.综上所述，BD的长为或24.12已知l，m，n是互不相同的直线，是三个不同的平面，给出下列命题：若l与m为异面直线，l，m，则；若，l，m，则lm；若l，m，n，l，则mn.其中所有真命题的序号为_【答案】解析中可能与相交；中直线l与m可能异面；中根据线面
14、平行的性质定理可以证明mn.三、解答题13.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M平面BC1N，AC平面BC1NN.求证：N为AC的中点证明平面AB1M平面BC1N，平面ACC1A1平面AB1MAM，平面BC1N平面ACC1A1C1N，C1NAM，又ACA1C1，四边形ANC1M为平行四边形，ANC1MA1C1AC，N为AC的中点14如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC上一点，M，N分别是AE，CD1的中点，ADAA1a，AB2a，求证：MN平面ADD1A1.证明如图，取CD的中点K，连接MK，NK.因为M，N，K分别是AE，CD1，CD的中点，所以
15、MKAD，NKDD1.又MK平面ADD1A1，AD平面ADD1A1，所以MK平面ADD1A1.同理NK平面ADD1A1.又MKNKK，所以平面MNK平面ADD1A1，又MN平面MNK，所以MN平面ADD1A1.B组 能力提升一、选择题1.如图，在多面体ABCDEFG中，平面ABC平面DEFG，EFDG，且ABDE，DG2EF，则 ()ABF平面ACGD BCF平面ABEDCBCFG D平面ABED平面CGF【答案】A解析：取DG的中点为M，连接AM、FM，如图所示则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，DE/=FM.平面ABC平面DEFG，平面ABC平面ADEBAB，平面DEFG平面ADE
16、BDE，ABDE，ABFM.又ABDE，ABFM，四边形ABFM是平行四边形，BFAM.又BF平面ACGD，BF平面ACGD.故选A.2.如图所示，在三棱台ABCA1B1C1中，点D在A1B1上，且AA1BD，点M是A1B1C1内(含边界)的一个动点，且有平面BDM平面A1C，则动点M的轨迹是()A平面B直线C线段，但只含1个端点D圆【答案】C解析：因为平面BDM平面A1C，平面BDM平面A1B1C1DM，平面A1C平面A1B1C1A1C1，所以DMA1C1，过D作DE1A1C1交B1C1于点E1，则点M的轨迹是线段DE1(不包括D点)二、填空题3.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面
17、平行，且四边形ABCD在平面内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是 【答案】平行四边形解析：由面面平行的性质定理可以推出四边形ABCD的两组对边分别平行，故四边形ABCD是平行四边形三、解答题4.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由解存在点E，且E为AB的中点时，DE平面AB1C1.证明如下：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DFB1C1，因为AB的中点为E，连接EF，则EFAB1，B1C1AB1B1，EFDFF，所以平面DEF平面AB1
18、C1.又DE平面DEF，所以DE平面AB1C1.5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CMDN.求证MN平面AA1B1B.证明如图，作MPBB1交BC于点P，连接NP，MPBB1，.BDB1C，DNCM，B1MBN.，NPCDAB.NP平面AA1B1B，AB平面AA1B1B，NP平面AA1B1B.MPBB1，MP平面AA1B1B，BB1平面AA1B1B，MP平面AA1B1B，又MP平面MNP，NP平面MNP，MPNPP，平面MNP平面AA1B1B.MN平面MNP，MN平面AA1B1B.6.如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是菱形，M为OA的中点，N为BC的中点证明：直线MN平面OCD.证明：如图，取OB的中点G，连接GN、GM.M为OA的中点，MGAB.ABCD，MGCD.MG平面OCD，CD平面OCD，MG平面OCD.又G、N分别为OB、BC的中点，GNOC.GN平面OCD，OC平面OCD，GN平面OCD.又MG平面MNG，GN平面MNG，MGGNG，平面MNG平面OCD.MN平面MNG，MN平面OCD.