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1、南京市 20142015 学年度第二学期期末学情调研测试卷高 一 数 学2015.07注意事项：1本试卷共4 页，包括填空题(第 1 题第 14 题)、解答题(第 15 题第 20 题)两部分本试卷满分160 分，考试时间120 分钟2答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号填涂在答题卡上指定的位置3答题时，必须用黑色字迹的0.5 毫米签字笔写在答题卡上指定的位置，在其他位置作答一律无效4本卷考试结束后，上交答题卡参考公式：锥体的体积公式为：V锥体13Sh，其中 S为锥体的底面积，h 为锥体的高一、填空题：本大题共14 小题，每小题5分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1不等式xx
2、10 的解集为2数列 an是等比数列，若a31，a5 4，则 a7的值为3在 ABC 中，A，B，C 所对的边分别为a，b，c已知 a2b22abc2，则角 C 的大小为4点 P(3，2)到直线 l：3x4y260 的距离为5函数 yx16x 1(x 1)的最小值为6过点 P(3，1)，倾斜角为120 的直线方程为7公差不为0 的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 a82a3，则S15S5的值为8若三条直线ax2y80，4x3y100 和 2xy0 相交于一点，则实数a 的值为9下列命题：如果一条直线平行于平面内的一条直线，那么这条直线与这个平面平行；垂直于同一条直线的两个平面互相平行
3、；如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直；如果一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互相垂直其中正确的命题的序号为10 已知经过A(1，a)，B(a，8)两点的直线与直线2xy10 平行，则实数 a 的值为11在 ABC 中，A，B，C 所对的边分别为a，b，c若 bcosC ccosBcsinA，则abc的最大值为12若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm 的半圆，则这个圆锥的体积为cm313已知 x0，y0，且 xy x2y，则 x y 的最小值为14已知an3n，bn 3n，n N*，对于每一个kN*，在 ak与 ak1之间插入bk个 3 得到一
4、个数列 cn设 Tn是数列 cn的前 n 项和，则所有满足Tm3cm1的正整数m 的值为二、解答题：本大题共6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14 分）已知直线l：x2y2m20(1)求过点(2，3)且与直线l 垂直的直线的方程；(2)若直线 l 与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4，求实数m 的取值范围16（本小题满分14 分）一副直角三角板（如图1）拼接，将 BCD 折起，得到三棱锥ABCD（如图 2）(1)若 E，F 分别为 AB，BC 的中点，求证：EF平面 ACD；(2)若平面 ABC平面 BCD，求证：平面ABD
5、 平面 ACD17（本小题满分14 分）A B C D C B A D F E（第 16 题图 1）（第 16 题图 2）如图，在平面四边形ABCD 中，AD6，CD2，ABD60，ADB75，ADC120（1）求 BD 的长；（2）求 ABC 的面积18（本小题满分16 分）如图，用一块矩形木板紧贴一墙角围成一个直三棱柱空间堆放谷物已知木板的长BC 紧贴地面且为4 米，宽 BE 为 2 米，墙角的两堵墙面所成二面角为120，且均与地面垂直，如何放置木板才能使这个空间的体积最大，最大体积是多少？19（本小题满分16 分）DBCA（第 17 题图）A B C F E 120D（第 18 题图）已
6、知公差不为0 的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，满足 S3a4 4，且 a2，a6，a18成等比数列(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bnan2n，求数列 bn的前 n 项和 Tn；(3)设 cnSnt，若 cn为等差数列，求实数t 的值20（本小题满分16 分）设等比数列 an 的首项为a12，公比为 q(q 为正整数)，且满足 3a3是 8a1与 a5的等差中项 数列bn的前 n 项和 Snn2，n N*(1)求数列 an 的通项公式；(2)若不等式bnSn6 对任意 n N*恒成立，求实数 的取值范围；(3)若 cn12(bn1)，n为奇数，nN*，an，n为偶数，n N*
7、从数列 cn 中取出若干项(奇数项与偶数项均不少于两项)，将取出的项按照某一顺序排列后构成等差数列当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列南京市 20142015 学年第二学期高一教学调研测试数学参考答案及评分标准2015.07说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4
8、只给整数分数，填空题不给中间分数一、填空题：本大题共14 小题，每小题5分，共 70 分1(1，0)216 3445 5763xy20 76 8 12 9102 112 123313322 143 二、解答题：本大题共6 小题，共90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15解：(1)与直线 l 垂直的直线的斜率为2，2 分因为点(2，3)在该直线上，所以所求直线方程为y3 2(x 2)，故所求的直线方程为2xy7 06 分(2)直线 l 与两坐标轴的交点分别为(2m2，0)，(0，m1)，8 分则所围成的三角形的面积为12|2m2|m1|10 分由题意可知12|2m2|m1|4，化简得
9、(m1)24，12 分解得 m3 或 m 1，所以实数m 的取值范围是(，1)(3，)14 分16证明：(1)因为 E，F 分别为 AB，BC 的中点，所以EFAC 2 分又 EF平面 ACD，AC平面 ACD，所以 EF平面 ACD6 分(2)因为平面ABC平面 BCD，平面 ABC 平面 BCDBC，CD平面 BCD，CD BC，所以 CD平面 ABC8 分因为 AB 平面 ABC，所以 CDAB10 分又因为 ABAC，ACCDC，AC平面 ACD，CD平面 ACD，所以 AB平面 ACD12 分又 AB 平面 ABD，所以平面ABD平面 ACD14 分17解：（1）在 ABD 中，AD
10、6，ABD 60，BAD180 60 75 45，由正弦定理得BDsin45 6sin60，所以 BD24 分（2）解法一：在BCD 中，BD2，因为 BDC ADC ADB120 75 45，CD2，由余弦定理得BC2 22(2)24 2cos45 2，所以 BC2，8 分所以 BCD 为等腰直角三角形，所以 DBC45，ABC 60 45 105 10 分在 ABD 中，AD6，ABD60，ADB 75，由正弦定理得ABsin75 6sin60，所以 AB3112 分 ABC 的面积 S12ABBCsinABC12(31)2sin105 23214 分解法二：在ABD 中，AD6，BD2，
11、ADB75，所以 ABD 的面积 S112ADBDsinADB3328 分又 ACD 的面积 S212ADDCsinADC32，10 分 BCD 的面积 S3112 分所以 ABC 的面积 SS1S3S223214 分18解法一：设ABx 米，ACy 米，所围成的直三棱柱空间的体积为V 立方米，所以 V12xysin23232xy4 分由题意得42x2y22xycos23，即 x2y2xy 16，8 分因为 x2y22xy，所以 162xyxy，即 xy163，12 分当且仅当xy433时，不等式取等号所以 V3216383315 分答：当 ABAC433米时，所围成的直三棱柱空间最大，最大体
12、积为833立方米16 分解法二：设ABC，所围成的直三棱柱空间的体积为V 立方米由正弦定理得4sin23ACsinABsin(3)，则 AC83sin，AB83sin(3)，6 分所以 V12ABACsin23BE12643sinsin(3)322 3233sinsin(3)，9 分3233sin(32cos 12sin)8333sin2(1cos2)1633sin(2 6)83312 分因为 0 3，即6 2 656，所以当且仅当2 62，即 6时，V 取得最大值83315 分答：当 ABC6时，所围成的直三棱柱空间最大，最大体积为833立方米16 分19解：(1)设等差数列 an的公差 d
13、(d 0)因为 S3a44，所以 3a13d a1 3d4，解得 a122分因为 a2，a6，a18成等比数列，所以(a15d)2(a1d)(a117d)，化简得 a1dd2因为 d0，所以 a1d，故 d2，所以 an2(n1)22n，即数列 an 的通项公式为an2n4 分(2)因为 bnan2nn2n1，则 Tn122322n2n1，所以12Tn12222323n12n1n2n，6 分由得12Tn11212212n1n2n1(12)n112n2n22n2n，所以 Tn42 n2n110 分(3)解法一：设数列cn的公差为d1，则 cnc1(n1)d1，即Sntc1(n1)d1，nN*12
14、 分因为 Snn(n1)，所以 n(n1)t(d1nc1d1)2，化简得(1d12)n2+12d1(c1d1)nt(c1d1)2 0(*)因为（*）对所有nN*恒成立，所以1d120，12d1(c1d1)0，t(c1 d1)2014 分因为 cnSnt，所以 cn0若 d1 1 时，c132，则 cn0，所以 d1 1 不满足条件从而 d11，c132，t14所以实数t 的值为1416 分解法二：因为Snn(n1)，则 cnn(n+1)t，所以 c12t，c26t，c312t因为 cn为等差数列，所以2 c2c1c3，12 分即 26 t2t12t，解得 t1414 分当 t14时，则 cnn
15、(n+1)14n12因为 cn cn1(n12)(n112)1，所以 cn 为等差数列所以实数t 的值为1416 分20解：(1)由题意得，2 3a38a1a5，则 6q2 8q4，2 分解得 q24 或 q2 2因为 q 为正整数，则q23 分又 a12，则 an2n，即数列 an的通项公式为an2n4 分(2)当 n1 时，b1S11；当 n 2时，bnSnSn1n2(n1)22n1，n1 时也符合，故bn2n 16 分不等式 bnSn6 对一切 nN*恒成立,转化为 n262n1对一切 nN*恒成立记 Tn262n1,令 2n1 t（t0）,则 nt12,T(t12)2 6t14(t25
16、t2)14(2t25t2)14(252)3,8 分当且仅当t25t,即 t5,n3 时等号成立,故 3,即实数 的取值范围是(,3 10 分(3)由(1),(2)可知 cnn，n为奇数，2n2，n为偶数设奇数项取了s项，偶数项取了k 项，其中s，k N*，s2，k2因为数列 cn 的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数12 分假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数设抽出的三个偶数从小到大依次为2i，2j，2p(1ijp)，则2i 2j22i12j1为奇数，而i1，j2，则 2j1为偶数，2i1为奇数，所以i1又2j 2p22j12p1为奇数，而j2，p 3，则 2j1与 2p1均为偶数，矛盾又因为 k2，所以 k2，即偶数只有两项，则奇数最多有3 项，即 sk 的最大值为514 分设此等差数列为d1，d2，d3，d4，d5，则 d1，d3，d5为奇数，d2，d4为偶数，且d22由 d1d32d24，得 d11，d33，此数列为1，2，3，4，5同理，若从大到小排列，此数列为5，4，3，2，1综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为1，2，3，4，5 和 5，4，3，2，116 分