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1、2021-2022学年黑龙江省佳木斯市第一中学高二上学期第二次月考数学试题一、单选题1设集合，则 （）ABCD，【答案】B【分析】先求出集合，然后进行并集的运算即可.【详解】，故选：【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题2为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中随机抽取40名高一学生进行测量，在这个问题中，样本指的是（）A240名高一学生的身高B抽取的40名高一学生的身高C40名高一学生D每名高一学生的身高【答案】B【分析】找出考查的对象是某校高一学生的身高,得到样本是抽取的40名高一学生的身高.【详解】总体是240名高一学生的身
2、高情况，则个体是每个学生的身高情况，故样本是40名学生的身高情况.故选：B.【点睛】本题考查的抽样相关概念的理解，注意区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念，属于基础题.3若，则的值为（）ABCD【答案】A【分析】根据，将，利用诱导公式和二倍角的余弦公式转化为求解.【详解】因为，所以故选：A【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.4双曲线和椭圆共焦点，且一条渐近线方程是，则此双曲线方程是（）ABCD【答案】C【解析】求出椭圆的焦点坐标，从而设双曲线的方程为，即，再由渐近线可得，求出即可求解.【详解】椭圆方程为：，其焦点坐标为，设双曲线的方程为椭
3、圆与双曲线共同的焦点，一条渐近线方程是，解组成的方程组得，所以双曲线方程为故选：C5已知向量，若，则（）ABCD【答案】B【解析】利用向量垂直的坐标表示可得出关于实数的等式，求出的值，进而利用向量的模长公式可求出的值.【详解】已知向量，且，则，解得，因此，.故选：B.6等比数列的前项和为，若，则（）ABCD【答案】A【解析】求出、的值，进而可求得、的值，然后利用等比数列的求和公式可求得的值.【详解】在等比数列中，则为递增数列，由已知条件可得，解得，因此，.故选：A.7已知平面，和直线，下列命题中错误的是（）A若，则B若，则存在，使得C若，则D若，则【答案】D【分析】根据面面垂直的判定定理即可判
4、断A正确；根据线面平行的判定定理可知B正确；根据面面垂直的性质定理可知C正确；根据线面垂直的判定定理可知D错误【详解】对于A，因为，所以存在直线a，使a，又，所以a，有，正确；对于B，设m，则在平面内存在不同于直线m的直线l，满足lm，根据线面平行的判定定理可知，l，正确；对于C，过直线l上任意一点作直线m，根据面面垂直的性质定理可知，m既在平面又在平面内，所以直线l与直线m重合，即有l，正确；对于D，若，l，则l不一定成立，D错误故选：D【点睛】本题主要考查线面位置关系的判断，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题8右图是用模拟方法估计圆周率的程序框图，表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）A
5、BCD【答案】D【详解】试题分析：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是【解析】程序框图9已知函数f(x)=sinx+，则（）Af(x)的最小值为2Bf(x)的图象关于y轴对称Cf(x)的图象关于直线对称Df(x)的图象关于直线对称【答案】D【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.【详解】可以为负，所以A错；关于原点对称；故B错；关于直线对称，故C错，D对故选：D【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、
6、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.10设是双曲线的两个焦点,是双曲线上的一点,且,则的面积等于（）ABC24D48【答案】C【详解】双曲线的实轴长为2,焦距为.根据题意和双曲线的定义知,所以,所以,所以.所以.故选：C【点睛】本题主要考查了焦点三角形以及椭圆的定义运用,属于基础题型.11设直线与椭圆交于A，B两点，若是等边三角形，则椭圆的离心率为（）ABCD【答案】D【分析】联立方程得，进而根据是等边三角形得，再根据离心率公式求解即可.【详解】解：联立方程解得，所以，因为是等边三角形，所以，即，所以椭圆的离心率为 故选：D12已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）ABCD【答案】
7、D【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点.因为，当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；当时，如图3，当与相切时，联立方程得，令得，解得（负值舍去），所以.综上，的取值范围为.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.二、填空题13已知变量满足不等式组，则的最大值为_.【答案】【解析】画出不等式组所表示的区域，由线性规划知识可得目标函数的最大值.【详
8、解】解：画出不等式组表示的区域如图，故将目标函数，转化为，其表示为斜率为，截距为的平行直线系，所以当截距最小时，取得最大值，由图可知，使得直线经过可行域且截距最小时的解为,此时，故答案为：.【点睛】本题主要考查线性规划的相关知识，考查学生的基础知识与计算能力，属于基础题.14若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为_【答案】【解析】由已知设圆方程为，代入，能求出圆的方程，再代入点到直线的距离公式即可【详解】由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为，则半径为，即圆的方程为，再把点代入，得或1，圆的方程为或，对应圆心为或；由点线距离公式，圆心到直线的距离或；故答案为：【点睛】本题主要考查用待
9、定系数法求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于基础题15设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线交于C于两点，则=_【答案】32【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点横坐标的和，代入抛物线过焦点的弦长公式得答案【详解】由y2=8x，得2p=8，p=4，则F（2，0），过A，B的直线方程为y=（x2），联立，得x228x+4=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=28，|AB|=x1+x2+P=28+4=32故答案为32.【点睛】本题考
10、查直线与圆锥曲线的关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题16半径为的球与正三棱柱的各个面均相切，则该三棱柱的表面积与体积的比值是_【答案】【分析】由题，先由球与正三棱柱上下面的相切关系得出正三棱柱的高，再过球心作正三棱柱平行于底面的切面（圆内切于正三角形），由切面的几何关系求出正三角形的边长，即为正三棱柱底面边长，最后求出和即可得到结果.【详解】设正三棱柱的高为，上下两面正三角形的边长为，如图，半径为的球与正三棱柱的各个面均相切，可得，过球心作平行于底面的面，易得正三棱柱的切面如图所示，半径为的圆内切于
11、边长为的正三角形中，易得，解得，所以三棱柱的表面积，三棱柱的体积，所以，故答案为：三、解答题17中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，.（1）求的值；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据正弦定理边角互化，再利用正弦的和差角公式化简即可.（2）利用余弦定理代入（1）中的化简可得，再根据同角三角函数的公式求解，最后根据面积公式求解即可.【详解】（1）由正弦定理，可化为，根据内角和有.根据正弦定理有，即.（2）由余弦定理有，由（1），代入，即，故.又因为，.故.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正余弦定理、余弦定理与三角形面积公式在解三角形中的运用，
12、同时也考查了三角恒等变换的方法与技巧，属于简单题目.18某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价，将产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，2，如表所示：试销单价(元456789产品销量(件9084838068已知(1)求表格中q的值；(2)已知变量，具有线性相关性，试利用最小二乘法原理，求产品销量关于试销单价的线性回归方程(参考数据：，参考公式：)；(3)用(2)中的回归方程得到的与对应的产品销量的估计值记为，2，当时，则称，为一个“理想数据”试确定销售单价分别为4，5，6时有哪些是“理想数据”【答案】(1)75；(2)；(3)，【分析】(1)根据题意计算，列方程即可求出的值；(2)
13、根据已知数据和公式计算平均数和回归系数，即可写出关于的回归方程；(3)根据回归方程计算预测值，与实际值比较，判断是否为“理想数据”即可【详解】(1)根据题意，解得；(2)，关于的回归方程是；(3)回归方程为，是“理想数据”，不是“理想数据”，是“理想数据”“理想数据”为，19如图，在直三棱柱中，为线段上的一点，且，.（1）求证：；（2）若为的中点，若平面，求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析;(2)【详解】试题分析：（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，易证，从而得证；（2）先由为的中点，且平面，明确为中点，然后利用等体积变换求体积.试题解析：（1）证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，.
14、, .（2）当为中点时, ,理由如下：,取中点，连，分别为中点， , ，四边形为平行四边形，,， 20已知数列的前n项和为，(1)证明：数列为等比数列(2)记，求数列的前n项和【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）直接通过退位相减法证明即可；（2）先表示出，进而得到，再通过错位相减法求和即可.【详解】(1)数列的前n项和为，当时，解得当时，得，整理得常数，所以数列是以1为首项2为公比的等比数列(2)由（1）得，解得则，所以，得，所以，整理得，故21已知椭圆经过点，一个焦点的坐标为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【详解】试题分
15、析：（1）由题意可知再焦点坐标，（-2，0），再由椭圆定义.(2)椭圆与直线组方程组，所以代入韦达，利用判别式控制范围试题解析22已知F为抛物线E：（p0）的焦点，C（，1）为E上一点，且|CF|=2过F任作两条互相垂直的直线，分别交抛物线E于P，Q和M，N两点，A，B分别为线段PQ和MN的中点（1）求抛物线E的方程及点C的坐标；（2）试问是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；（3）证明直线AB经过一个定点，求此定点的坐标，并求AOB面积的最小值【答案】(1) 抛物线方程为，或 ；(2) 是定值，定值为；(3) 过定点；面积的最小值为6.【分析】根据抛物线的性质和定义即可求出，代值
16、计算即可求出点C的坐标，设直线的方程为，则直线的方程为，设，根据抛物线定义可得，再分别联立方程组根据韦达定理可得，即可求出，设，由分别求出点A，B的坐标，求出直线AB的斜率，写出直线方程，即可得到直线过定点，再根据两点之间的距离公式和点到直线的距离公式可得表示三角形面积，根据基本不等式即可求出最值【详解】解：抛物线E：的准线方程为，为E上一点，且，即，抛物线方程为，当时，即或由可得，设直线的方程为，则直线的方程为，设，由，分别消x可得，故是为定值，定值为设，B分别为线段PQ和MN的中点，由可得，则直线AB的斜率为，直线AB的方程为，即，直线AB过定点，点到直线的距离，当且仅当时取等号故面积的最小值为6【点睛】本题考查直线方程的求法，考查直线是否过定点坐标的判断与求法，考查直线与抛物线的位置关系，解题时要认真审题，注意中点坐标公式的合理运用，三角形的面积，基本不等式，属于中档题第 17 页 共 17 页