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1、2021-2022学年新疆乌苏市第一中学高二3月月考数学（理）试题一、单选题1已知集合，则（）ABCD【答案】C【分析】化简集合A，B，根据交集计算即可.【详解】由已知可得，所以.故选：C2阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A2B6C14D30【答案】C【分析】模拟运行程序，直到得出输出的S的值.【详解】运行程序框图，；，；，；，输出.故选：C3“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【答案】A【分析】根据充分必要条件的定义判断【详解】时，成立，是充分的，但时，不满足，必要性不满足，因此是充分不必要条件故选：A4设实数满足约束条
2、件，则的最小值为A-5B-8C5D8【答案】A【详解】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点处取得最小值为.【解析】线性规划.5设函数在上可导，则等于（）ABCD以上都不对【答案】C【分析】根据目标式，结合导数的定义即可得结果.【详解】.故选：C6设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】C【分析】根据空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系对四个选项逐个分析可得答案.【详解】对于A，若，则或或与相交但不垂直.故A不正确；对于B，若，则或.故B不正确；对于C，若，则，又，则.故C正确；对于D，若，则或或与相交
3、但不垂直.故D不正确.故选：C7已知向量，且与互相平行，则（）A1BCD2【答案】B【分析】根据空间向量加减法的坐标表示，先求解出向量和 ，再根据向量平行求解参数的值即可.【详解】根据题意，根据两向量平行得，解得 .故选：B.8如图，在正方体中，点E是上底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角求解.【详解】以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为2，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：B9（）ABCD【答案】C【分析】结合几何意义求得定积分.【详解】，.，表示圆心在原点，半径为的圆的上半部分.在圆上，所
4、以，所以.所以.故选：C10设的内角的对边分别为的面积，则（）ABCD【答案】A【分析】利用三角形面积公式、二倍角正弦公式有，再由三角形内角的性质及余弦定理化简求即可.【详解】由，在中，解得.故选：A.11曲线在处的切线的倾斜角为（）ABCD【答案】C【分析】求出函数的导数，再由导数的几何意义即可得切线斜率，进而得解.【详解】因，则，当时，由导数的几何意义知，曲线在处的切线斜率为1，其倾斜角为，所以切线的倾斜角为.故选：C12已知等差数列的前n项和为，且，则（）A2B4C6D8【答案】B【分析】根据等差数列前n项和公式，结合等差数列下标的性质、等差数列通项公式进行求解即可.【详解】设等差数列的
5、公差为，故选：B13已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（）ABCD【答案】A【解析】分析圆与圆的圆心和半径，求出与圆关于直线对称的圆，再设圆上的点与圆上点对称，分析可得原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题，据此分析可得答案【详解】圆，即，圆心为，半径，圆，即，圆心为，半径，设点关于直线对称的点为 则 ，解得：， 圆关于直线对称的圆为圆，其圆心为，半径，则其方程为，设圆上的点与圆上点对称，则有，原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题，连接，与直线交于点，此时点是满足最小的点，此时，即的最小值为，故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位
6、置关系，涉及圆与圆关于直线的对称问题，解答本题的关键是求出圆直线对称的圆的方程，原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题.二、填空题14已知向量，满足，且，则与的夹角等于_【答案】【分析】由，得，进而利用向量夹角公式即得.【详解】由条件，可得，即，得到，所以，又，所以故答案为：.15在运动会火炬传递活动中，有编号为1，2，3，4，5的5名火炬手.若从中任选2人，则选出火炬手编号相连的概率为_.【答案】【分析】先求出基本事件总数，再求出选出的火炬手的编号相连包含的基本事件个数，由此能求出选出的火炬手的编号相连的概率【详解】有编号为的名火炬手，从中任选人，基本事件有，共10个；选出的火炬
7、手的编号相连包含的基本事件有，共个；所以选出的火炬手的编号相连的概率故答案为：16已知命题p：，若命题P为假命题，则实数a的取值范围是_【答案】0，4【分析】命题P为假命题，则为真命题，进而求出a的范围.【详解】根据题意，恒成立，所以.故答案为：.17如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，分别为的中点，连接，则点到平面的距离为_.【答案】【分析】利用转化法，根据线面平行的性质，结合三棱锥的体积等积性进行求解即可.【详解】设是的中点，连接，因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因此点到平面的距离等于点到平面的距离，设为，因为平面，所以，于是有，底面为矩形，所以有，因为平面，所以，于是有：，
8、由余弦定理可知：，所以，因此，因为，所以，故答案为：18若指数函数（且）与五次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数a的取值范围是_【答案】【分析】依题意方程有两个不同的解，两边取对数可得，从而可转化为与在图象上有两个不同的交点，利用导数说明函数的单调性，即可求出的最值，从而得到，即可求出参数的取值范围；【详解】解：指数函数（且）与五次函数的图象恰好有两个不同的交点，等价于方程有两个不同的解对方程两边同时取对数，得，即因为，所以，从而可转化为与在图象上有两个不同的交点，当时，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取到极大值，也是最大值，且最大值为又因为当时，；当时，所以解得，即
9、故答案为：三、解答题19已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为.若，.（1）求数列与的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据题意列出方程可求出公差与公比，即可求出等差数列与等比数列的通项公式;（2）根据等差数列与等比数列的求和公式计算即可.【详解】（1）由,，则，设等差数列的公差为，则，所以，所以设等比数列的公比为由，解得，所以，（2），数列的前项和【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，熟记通项公式、前n项和公式即可，属于中档题.20设函数，曲线在处的切线与直线垂直(1)求的解析式；(2)设曲线在处的切线为，求与两直线和所围成的三角形的面积【答案】(1)；
10、(2).【分析】（1）先求导，根据两直线垂直，斜率之积为求出在处的切线的斜率，进而列出关于的方程，即可求出；（2）求出直线，求出直线与轴和直线的交点，再利用三角形面积公式求出答案【详解】(1)解：，因为在处的切线与直线垂直，所以在处的切线斜率为，所以，解得，所以(2)解：由得，所以，切点为，所以直线，与轴交点，与交点，所以与两直线和所围成的三角形的面积21如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，分别是的中点.(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的大小.【答案】(1)证明见解析(2).【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.（2）利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值，进而求得夹角的
11、大小.【详解】(1)因为四棱锥中，底面是矩形，平面，分别是的中点，以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，故，因为，所以平面.(2)是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，设平面与平面所成角为，则,由于，所以.22已知函数 (1)求函数单调区间；(2)若时，函数恒成立，求实数的取值范围【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增(2)【分析】（1）利用导数即可求出单调区间；（2）分离参数，构造函数，求出函数的最小值即可.【详解】(1)，当时，；当时，.所以函数在上单调递减，在上单调递增.(2)由于，恒成立，即恒成立构造函数，则求导可得，当时，恒成立.所以在上单调递增，则，所以.23已知关
12、于x，y的方程C：（1）当m为何值时，方程C表示圆；（2）在（1）的条件下，若圆C与直线l：相交于M、N两点，且|MN|，求m的值.【答案】（1）m5；（2）m4【解析】（1）求出圆的标准方程形式，即可求出m的值；（2）利用半径，弦长，弦心距的关系列方程求解即可【详解】解：（1）方程C可化为，显然只要5m0，即m5时，方程C表示圆；（2）因为圆C的方程为，其中m5，所以圆心C（1，2），半径，则圆心C（1，2）到直线l：x2y40的距离为，因为|MN|，所以|MN|，所以，解得m4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据圆的标准方程求出圆心和半径是解决本题的关键24某学校进行体检，现
13、得到所有男生的身高数据，：从中随机抽取50人进行统计（已知这50个男生的身高介于155cm到195cm之间），现将抽取结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第八组，并按此分组绘制如图所示的频率分布直方图，其中第六组和第七组还没有绘制完成，已知第一组与第八组人数相同，第六组和第七组人数的比为52.(1)根据频率分布直方图估计这50位男生身高的中位数：(2)用分层抽样的方法在身高为内抽取一个容量为5的样本，从样本中任意抽取2位男生，求这两位男生身高都在内的概率.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据频率分布直方图中频数、频率的计算方法求得第六组和第七组的频数以及频率，再求中位数即可；（2）先
14、根据分层抽样求得抽取5人所在的组，再利用古典概型的概率计算公式求解即可.【详解】(1)根据题意，第六组和第七组的男生人数之和为：，又第六组和第七组人数的比为52，故第六组和第七组分别为人和2人；设男生身高的中位数为，则，解得.故这50位男生身高的中位数为.(2)根据频率分布直方图可得：身高在中的男生有：人，身高在中的男生有：人，若从这两组中抽取15人，则从抽取人，记作从抽取人，记作则从5人中抽取人，共有如下10种情况：，两位男生身高都在的有如下3种：，故这两位男生身高都在内的概率.25已知等边的边长为4，是边上的高，E，F分别是和边的中点，现将沿翻折成直二面角.(1)求直线与平面的夹角的正弦值
15、；(2)在线段上是否存在一点，使?证明你的结论.【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标，利用向量法证明即可；（2）以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标，设，利用向量法证明即可【详解】(1)以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系则，设平面的法向量为则，即取设直线与平面的夹角为又，(2)假设在线段上存在一点，使得令，即则，于是因为，所以整理得，解得，符合题意.故线段上存在一点，使得26已知函数.（1）当时，求证：；（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）.【分析】（1）由，得到，再用导数法论证即可；（2）求导，令，则，再分，讨论求解.【详解】（1）证明：当时，.当时，；当时，.故在上单调递减，在上单调递增，.（2），令，则.当，即时，在上，单调递增，即，在上为增函数，当时满足条件.当，即时，令，解得，在上，单调递减，当时，有，即，在区间上为减函数，不合题意.综上，实数的取值范围为【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间D上有最值，则（1）恒成立：；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；（2）能成立：；.第 19 页 共 19 页