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1、 8.6空间直线、平面的垂直8.6.1 直线与直线垂直【学习目标】素 养 目 标学 科 素 养1.理解异面直线的定义，会求两异面直线所成角；2.异面直线的定义及两异面直线所成的角；直线与直线垂直的证明；3.求两异面直线所成的角1.直观想象;2.逻辑推理；3.数学运算【自主学习】 一异面直线所成的角 1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线aa，bb，我们把直线 与 所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).2.异面直线所成角的范围为(0，90，思考：在异面直线所成角的定义中，角的大小与点O的位置有关系吗？二空间两直线垂直如果两条异面直线所成的角是 ，那么我们就说这两条异
2、面直线互相垂直.直线a与直线b互相垂直，记作 .【小试牛刀】1.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A共面B平行C异面D平行或异面2.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BAE25，则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为 .【经典例题】题型一 异面直线所成的角点拨：求两异面直线所成的角的三个步骤1.作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；2.证：证明作出的角就是要求的角；3.计算：求角的值，常利用解三角形得出.可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是090.例1 如图，已知正方体ABCDABCD.(1)哪些棱所在直线与直线BA是异面直
3、线？(2)直线BA和CC的夹角是多少？(3)哪些棱所在的直线与直线AA垂直？【跟踪训练】1 如图，P是平面ABC外一点，PA4，BC2，D、E分别为PC和AB的中点，且DE3.求异面直线PA和BC所成角的大小题型二 直线与直线垂直的证明点拨：(1)要证明两异面直线垂直，可根据两条异面直线垂直的定义，证明这两条异面直线所成的角为90.(2)在证明两条异面直线垂直时，和求两条异面直线所成的角类似，一般也是通过平移法找到与之平行的直线.例2 在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，求证：ACBC1【跟踪训练】2 如图，正方体ABCDA1B1C1D1，求证：ACB1D.【当堂达标】1.如图，在正方体
4、ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()A45B60C90D1202.在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )A B C D3.若AOB135，直线aOA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为 .4.已知正方体ABCDABCD中：(1)BC与CD所成的角为_；(2)AD与BC所成的角为_5.如图，在空间四边形ABCD中，ADBC2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF，则异面直线AD、BC所成角的大小是 .6.如图所示，AB是圆O的直径，点C
5、是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角【课堂小结】一、知识必备1.异面直线所成角、线线垂直概念2.计算异面直线所成角大小的方法二、方法必备1在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0，90，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小2作异面直线所成的角可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：直接平移法(可利用图中已有的平行线)；中位线平移法；补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)【参
6、考答案】【自主学习】a b 直角 ab 思考：根据等角定理可知，异面直线a与b所成角的大小与点O的位置无关但是为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上，特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等)【小试牛刀】1.D 解析：若直线a和b共面，则由题意可知ab；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线2. 65 解析：B1C1BC，异面直线AE与B1C1所成的角是AEB902565.【经典例题】例1 解析： (1)由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC、DD、DC、BC所在直线分别与直线BA是异面直线(2)由BBCC可知，BBA为异面直线BA与CC的夹角，BBA45，所以直线BA和
7、CC的夹角为45.(3)直线AB、BC、CD、DA、AB、BC、CD、DA分别与直线AA垂直【跟踪训练】1 解：如图，取AC中点F，连接DF、EF，在PAC中，D是PC中点，F是AC中点，DFPA，同理可得EFBC，DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角)在DEF中，DE3，又DFPA2，EFBC，DE2DF2EF2.DFE90，即异面直线PA与BC所成的角为90.例2 证明：如图，连接A1B，设A1C1a，B1C1b，AA1h，因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以BB1C1A1AB90，所以BCb2h2，AB2a2b2，A1B2a2b2h2，所以A1B2A1CBC，则A1C1B
8、C1，即A1C1B90.又因为ACA1C1，所以A1C1B就是直线AC与BC1所成的角，所以ACBC1【跟踪训练】2 证明：如图，连接BD，交AC于O，设BB1的中点为E，连接OE，则OEDB1，所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角.连接AE，CE，易证AECE，又O是AC的中点，所以ACOE，所以ACB1D.【当堂达标】1.B 解析：取A1B1中点I，连接IG，IH，则EFIG.易知IG，IH，HG相等，则HGI为等边三角形，则IG与GH所成的角为60，即EF与GH所成的角为60.2.C 解析：如图，连接BD1交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM.易知O为BD1的中点，所以
9、AD1OM，则MOD或其补角为异面直线AD1与DB1所成角.因为在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，AD12，DM，DB1，所以OMAD11ODDB1.于是在DMO中，由余弦定理，得cosMOD，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.3.454.(1)60(2)45解析：(1)连接BA，则BACD，连接AC，则ABC就是BC与CD所成的角由ABC为正三角形，知ABC60，(2)由ADBC，知AD与BC所成的角就是CBC易知CBC45.5. 60 解析：设G为AC的中点，如图，连接EG，FG，因为E、F分别是AB、CD中点，EGBC，EGBC1，FGAD，FGAD1，所以EGF为异面直线AD、BC所成的角(或其补角)，EF，三角形EGF中，cosEGF，EGF120，即异面直线AD、BC所成的角为60.6.解：因为D、E分别是VB、VC的中点，所以BCDE，因此ABC是异面直线DE与AB所成的角，又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以ABC是以ACB为直角的等腰直角三角形，于是ABC45，故异面直线DE与AB所成的角为45.