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1、6.4.3 余弦定理、正弦定理第3课时 余弦定理、正弦定理的应用举例【学习目标】素 养 目 标学 科 素 养1.进一步熟悉余弦定理、正弦定理；2.了解常用的测量相关术语；3.能运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决有关距离、高度、角度的实际问题。1.数学抽象；2.逻辑推理；3.数学运算；4.数学模型。【自主学习】实际测量中的有关名称、术语名称定义图示仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角方向角从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90)南偏西60方位角从正北的方向线按顺时针到目标方
2、向线所转过的水平角【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“”，错的打“”)(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边()(2)两个不可能到达的点之间的距离无法求得()(3)若P在Q的北偏东44，则Q在P的东偏北44方向()2. 从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为()ABC90 D180【经典例题】题型一 不能到达两点间的距离问题点拨：求解测量距离问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解构造数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中 例1 如图， A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间的距离
3、的方法.并求出A，B间的距离。思考：在上述测量方案下，还有其他计算A，B两点间距离的方法吗？【跟踪训练】1 如图，若小河两岸平行，为了知道河对岸两棵树C，D(CD与河岸平行)之间的距离，选取岸边两点A，B(AB与河岸平行)，测得数据：AB6 m，ABD60，DBC90，DAB75，试求C，D之间的距离 题型二 测量高度问题点拨：高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题例2 如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.并求出
4、建筑物的高度。【跟踪训练】2 如图，要在山坡上A，B两处测量与地面垂直的铁塔CD的高，由A，B两处测得塔顶C的仰角分别为60和45，AB长为40 m，斜坡与水平面成30角，则铁塔CD的高为_m.题型三 测量角度问题点拨：(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离(2)根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后将解得的结果转化为实际问题的解例3 位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救。甲船立即前往营救，同时把消息告知位于甲船南偏西30 ，且与甲船相距7 n mile的C处的乙船，那么乙
5、船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到 1）？需要航行的距离是多少海里（精确到1 n mile）？【跟踪训练】3 地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30的方向，且距离为40 m，之后该测绘人员沿正北方向行走了40 m，达到点B.试确定此时目标参照物P在他北偏东的度数以及他与目标参照物P的距离【当堂达标】1若P在Q的北偏东4450方向上，则Q在P的()A东偏北4510方向上B东偏北4550方向上C南偏西4450方向上 D西偏南4550方向上2.某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C的北偏东30方向
6、上，灯塔B在观察站C的正西方向上，则两灯塔A，B间的距离为()A500米B600米C700米 D800米3.一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30的方向，且与它相距8海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75的方向，此船的航速是()A8()海里/时 B8()海里/时C16()海里/时 D16()海里/时4.如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山脚A处测得AC60 m，天文台最高处B的仰角为45，天文台底部C的仰角为15，则天文台BC的高为_m.5.如图所示为一角槽，已知ABAD，ABBE，并测量得AC3 mm，BC2 mm，AB
7、 mm，则ACB_6.某巡逻艇在A处发现在北偏东45距A处8海里处有一走私船，正沿南偏东75的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以12海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇的航行方向【参考答案】【小试牛刀】1. (1)(2)(3)2.B 解析：根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图所示，因为两直线平行内错角相等，所以.【经典例题】例1 解：测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD=a，并且在C，D两点分别测得BCA=，ACD=，CDB=， BDA=，在ADC和BDC中，应用正弦定理得于是，在ABC中，应用余弦定理可得A，B两点间的距离
8、思考：先求AD，BD的长度，进而在三角形ABD中，求A，B间的距离。【跟踪训练】1 解：ABCABDDBC150.因为ABCD，所以C18015030.在ABD中，AB6，ADB180756045，所以AD3，所以BD33.在RtDBC中，CD66.所以C，D之间的距离为(66)m.例2 解 选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上.由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是,CD=a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得AC=asinsin-所以，这座建筑物的高度为 AB=AE+h=ACsin+h=asinsinsin-+h【跟踪训练】2 解析：延长CD交过A，B
9、的水平线于点E，F，因为CAE60，CBF45，DBF30，所以BCF45，ACE30，BDF60，所以BCA15，ADC120，CBA15，CAD30.所以ACAB40，在ACD中，由正弦定理得，即，解得CD.例3 解：根据题意，画出示意图，如图。由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2ABACcos120=202+72-2207-12=589.BC24n mile由正弦定理，得sinC20=sin12024于是 sinC=203224=5312由于0 C90，所以C46。因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东46+30=76，大约需要航行24n mile.【跟踪训练】3 解：如图，在
10、PAB中，PAB30，PA40 m，AB40 m.由余弦定理，得PB40(m)因为AB40 m，所以ABPB，所以APBPAB30，所以PBA120.因此测绘人员到达点B时，目标参照物P在他的北偏东60方向上，且目标参照物P与他的距离为40 m.【当堂达标】1.C 解析：选C.如图所示2.C 解析：选C.由题意，在ABC中，AC300米，BC500米，ACB120.利用余弦定理可得AB2300250022300500cos 120，所以AB700米，故选C.3.D 解析:由题意得在SAB中，BAS30，SBA18075105，BSA45.由正弦定理得，即，得AB8()，因此此船的航速为16()(海里/小时)4. 30 解析：由题图可得B45，BAC30，故BC30(m)5. 解析：在ABC中，由余弦定理得cosACB.因为ACB(0，)，所以ACB.6.解：设经过t小时在点C处刚好追上走私船，依题意：AC12t，BC12t，ABC120，在ABC中，由正弦定理得，所以sinBAC，所以BAC30，所以ABBC812t，解得t，航行的方向为北偏东75.即巡逻艇最少经过小时可追到走私船，沿北偏东75的方向航行