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1、2021-2022学年河北省名校联盟高二下学期4月联考数学试题一、单选题1已知为、的等差中项，为、的等比中项，则（）ABCD【答案】A【分析】求出、的值，利用等式的性质可得结果.【详解】由题可得，则故选：A.2从只有2张有奖的8张彩票中不放回地随机逐张抽取，设表示直至抽到中奖彩票时的次数，则（）ABCD【答案】D【分析】利用古典概型的计算公式求解即可.【详解】解：由题意得：故选：D3设函数，则（）ABCD【答案】B【分析】对求导得，令，求出，代入即可求出的值.【详解】令，则，则，所以所以故选：B.42022年北京冬奥会的顺利召开，引起大家对冰雪运动的关注若A，B，C三人在自由式滑雪、花样滑冰、
2、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（）A12种B16种C64种D81种【答案】C【分析】按照分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：每个人都可在四项运动中选一项，即每人都有四种选法，可分三步完成，根据分步乘法计数原理，不同的选法共有种故选：C5已知随机变量的分布列如下表：012mn若，则（）A5B4CD【答案】A【分析】根据分布列的性质以及均值，可求得m，n的值，从而求得，即可求得答案.【详解】由题意可得：，解得，则，故，故选：A6设等差数列的前项和为，若，则当取得最小值时，值为（）A6B6或7C8或9D9【答案】A【分析】设等差数列的公差为，根据，求得，再由前项和公式
3、求解.【详解】设等差数列的公差为，因为，所以所以所以当时，取得最小值，故选：A.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式以及前n项和公式以及二次函数最值问题，属于基础题.7将7名防疫工作人员随机分配到甲、乙、丙3个单位中的某1个单位进行防疫抽检，每个单位至少2人，则不同的分配方法有（）A572种B580种C630种D840种【答案】C【分析】利用先分组再分配的方法计算即可.【详解】根据题意将这7名防疫工作人员以2，2，3“形式分配到甲，乙、丙3个单位，共有种分配方法故选：C8已知等比数列的公比为2，若，则（）ABCD【答案】D【分析】根据已知可得q和通项，然后可得的通项，最后由等比数列求和公式可
4、得.【详解】因为，所以，则，则数列是以2为首项，4为公比的等比数列，故故选：D二、多选题9下列式子正确的是（）ABCD【答案】ABC【分析】根据组合数的性质可判断A,B;计算出，可判断C;计算出的结果，判断D.【详解】由组合数性质可得，故A正确；由组合数性质可知，故B正确；，故，故C正确；，所以，故D错误，故选：ABC10设，则（）ABCD【答案】BCD【分析】令可判断选项A；令，令可判断选项C，D；由多项式的乘法可求出含项，从而可判断选项B.【详解】令，解得，故选项A不正确.令，得，故选项C正确.令，得，故，即，故选项D正确.根据多项式的乘法可知其中4个因式中取项另一个取，或其中3个因式中取
5、项另两个取项，可得项所以，故选项B正确.故选:BCD11已知数列的前n项和为，满足，则（）ABCD【答案】AB【分析】由递推关系可得当n为奇数时，当n为偶数时，即可依次判断.【详解】由，可得，当n为奇数时，即，当n为偶数时，所以当时，当时，解得故选：AB.12已知均为锐角，则（）ABCD【答案】AC【分析】先构造函数，利用导数求其单调性，再结合三角函数的单调性解题即可.【详解】解：由题意得：由，可得，令，则，因为为锐角，且单调递增，所以，故，即故选：AC三、填空题13曲线上的点到直线的最短距离是_【答案】【分析】先求出曲线上与直线平行的切线方程及切点坐标，切点到直线的的距离即为最小距离.【详解
6、】解：由题意得：设与平行的直线l与相切，则切线l的斜率因为，所以，由，得当时，即切点坐标为则点到直线的距离就是直线上的点到直线的最短距离所以点到直线的距离所以曲线上的点到直线的最短距离为故答案为：14给图中A，B，C，D，E五个区域填充颜色，每个区域只填充一种颜色，且相邻的区域不同色若有四种颜色可供选择，则共有_种不同的方案【答案】72【分析】分为B，E同色和B，E不同色两种情形，再按照分步乘法原理计算即可.【详解】当B，E同色时，共有种不同的方案，当B，E不同色时，共有种不同的方案，所以共有72种不同的方案故答案为：72.15有红、黄、蓝3套卡片，每套5张，分别标有字母A，B，C，D，E若从
7、这15张卡片中抽取5张，且这5张卡片的字母各不相同，则这5张卡片三色齐全的概率为_【答案】【分析】求出从这15张卡片中抽取5张，且这5张卡片的字母各不相同共有的抽取方法数，再计算出这5张卡片三色齐全的的抽取方法数，根据条件概率的概率公式求得答案.【详解】设这5张卡片的字母互不相同为事件A，这5张卡片三色齐全为事件B则，依题意，5张卡片的颜色可分两类：3，1，1和2，2，1所以，所以 ，故答案为：四、双空题16的展开式中，二项式系数最大的项是第_项，其系数是_（用数字作答）【答案】 5 70【分析】根据二项式系数的性质可求知二项式系数最大的项是中间项，可求得答案；利用二项式展开式的通项公式，可求
8、得其系数.【详解】二项式的展开式共有9项，根据二项式系数的性质，可得第5项的二项式系数最大，所以二项式系数最大的项是，其系数为70,故答案为：5；70五、解答题174名男生和4名女生（包含甲、乙）站成一排表演节目(1)若这4名女生不能相邻，有多少种不同的排法？(2)已知这4名女生身高互不相等，若按身高从高到低排列，则有多少种不同的排法？(3)若甲不能站在左端，乙不能站在右端，有多少种不同的排法？【答案】(1)种(2)种(3)种【分析】（1）先排4名男生，再将4名女生插入4名男生产生的5个空中，由插空法可得答案.（2）由定序法可得答案.（3）分甲站在右端和甲不站在右端两种情况分别计算，再求和即可
9、.【详解】(1)先排4名男生，再将4名女生插入4名男生产生的5个空中.所以这4名女生不相邻的排法有种(2)这4名女生按身高从高到低的排法有种(3)甲站在右端，其余7人全排列，有种排法，甲不站在右端，有6种排法，乙有6种排法，其余6人全排，有种排法故一共有种排法18已知函数(1)求曲线在处的切线方程；(2)求曲线过坐标原点的切线方程【答案】(1)(2)【分析】（1）对求导，求得，再由点斜式方程即可求出曲线在处的切线方程；（2）设切点为，求得，再由点斜式方程求得切线方程为，切线过坐标原点，代入可求得，回代即可得出答案.【详解】(1)，则，又，所以曲线在处的切线方程为(2)设切点为，则， 则切线方程
10、为，切线过坐标原点，则，整理可得，即， 解得，则故所求切线方程为19车辆定位系统由全球卫星定位系统（GPS）和地理信息系统（GIS）组成，可以实现对汽车的跟踪和定位，某地区通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度(1)预估该地区某辆家用汽车导航的精确度在的概率；(2)记Y表示随机抽取的10辆家用汽车中导航精确度在之外的汽车数量，求及Y的数学期望附：若，则，【答案】(1)0.8186(2)，数学期望为【分析】（1）根据正态分布的性质计算可得；（2）根据正态分布的性质得到，依题意可得，再根据二项分布的概率公式及期望公式计算可得；【详解】(1)解：由，易知，所以预估该地区某辆家用汽车导航
11、的精确度在的概率，则预估该地区某辆家用汽车导航的精确度在的概率为0.8186(2)解：因为，则所以，故20在正项数列中，已知，(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前n项和为，求使得的整数n的最小值【答案】(1)(2)100【分析】（1）根据等差中项的性质可判断数列是等差数列，求得 ，可得答案；（2）利用（1）的结论，求出的表达式，求得的前n项和，即可求得答案.【详解】(1)因为，所以数列是等差数列，公差，故，由于,故(2)， 令，则，故使得的整数n的最小值为10021甲，乙两名羽毛球爱好者进行杀球训练，甲每次杀球成功的概率为，乙每次杀球成功的概率为已知甲、乙各进行2次杀球训练，记X为甲、乙
12、杀球成功的总次数，假设甲、乙两人杀球是否成功相互没有影响，且每次杀球训练相互独立(1)求的概率；(2)求X的分布列及数学期望【答案】(1)(2)分布列见解析，数学期望为【分析】（1）分别求得甲2次杀球成功，且乙2次杀球失败的概率、甲2次杀球恰有1次成功，且乙2次杀球恰有1次成功的概率和甲2次杀球失败，且乙2次杀球成功的概率，加起来即可求出答案.（2）随机变量X的所有取值是0，1，2，3，4，并求得相应的取值的概率即可得到分布列与期望.【详解】(1)甲2次杀球成功，且乙2次杀球失败的概率，甲2次杀球恰有1次成功，且乙2次杀球恰有1次成功的概率，甲2次杀球失败，且乙2次杀球成功的概率，故的概率(2
13、)由题意可知X的所有取值是0，1，2，3，4， ，则X的分布列为X01234P故22已知函数有两个极值点(1)求a的取值范围(2)证明：【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）由题可得函数在上存在两个零点，利用导数研究函数的性质，进而可得，即得；（2）由题可得，进而可知即证，通过换元，构造函数，利用导数即得.【详解】(1)由，得 记，由题意知，在上存在两个零点，则，当时，在上单调递增，不符合题意，故，令，解得，则在上单调递减，在上单调递增，所以，则，所以a的取值范围为(2)由（1）可知，则两式相减可得 要证，即证即令，即，设则，所以在区间上单调递增，则，即，故成立第 12 页 共 12 页