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1、4.2.1 等差数列的概念（1） 导学案 1.理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式及应用3.掌握等差数列的判定方法重点：等差数列概念的理解、通项公式的应用 难点：等差数列通项公式的推导及等差数列的判定1等差数列的概念文字语言如果一个数列从第_2_项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示符号语言an1and(d为常数，nN*)2等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项(3)满足的关系式是ab2A.3.从函数角度认识等差数列an若数列an是等差数列，首项为a1，公差为
2、d，则anf (n)a1(n1)dnd(a1d)(1)点(n，an)落在直线ydx(a1d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d1. 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列( )(2)数列0,0,0,0，不是等差数列( )(3)在等差数列中，除第1项和最后一项外，其余各项都是它前一项和后一项的等差中项( )2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数， 则这个数列是等差数列 ()(2)等差数列an的单调性与公差d有关 () (3)若三个数a，b，c满足2bac，
3、则a，b，c一定是等差数列( )3在等差数列an中，a32，d6.5，则a7()A22 B24C26D284如果三个数2a，3，a6成等差数列，则a的值为()A1 B1 C3 D4一、 学习导引 我们知道数列是一种特殊的函数，在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性，奇偶性等）后，通过研究基本初等函数不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数，指数函数，对数函数，三角函数等非常有用的函数模型。类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并应用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意
4、义与应用，下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手。二、新知探究1.北京天坛圜丘坛，的地面有十板布置，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的示板数依次为9,18,27,36,45,54,63,72,81 2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上对应的尺码分别是38,40,42,44,46,48 3.测量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大气温度，得到从距离地面20米起每升高100米处的大气温度（单位）依次为25,24,23,22,21 4.某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年，如果个人贷款月利率为r，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本
5、金(b=a12n)元，每月支付给银行的利息(单位:元)依次为ar,ar-br,ar-2br,ar-3br, 在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律，例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了A,B两地旅游人数的变化规律，类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？思考1：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？思考2：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？三、典例解析例1.（1）已知等差数列an的通项公式为an=5-2n，求an公差和首项；（2）求等差数列8,5,2的第20项。求通项公式的方法(1)通过解方程组求得a1，d的值，再利用ana1(n1
6、)d写出通项公式，这是求解这类问题的基本方法(2)已知等差数列中的两项，可用d直接求得公差，再利用anam(nm)d写出通项公式(3)抓住等差数列的通项公式的结构特点，通过an是关于n的一次函数形式，列出方程组求解跟踪训练1(1)在等差数列an中，已知a510，a1231，求首项a1与公差d.(2)已知数列an为等差数列，a158，a6020，求a75.例2 (1)已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是_(2)已知，是等差数列，求证：，也是等差数列等差中项应用策略1.求两个数x，y的等差中项，即根据等差中项的定义得A.2.证三项成等差数列，只需证中间一项为两
7、边两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则有ac2b；反之，若ac2b，则a，b，c成等差数列.跟踪训练2在1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列1数列an的通项公式为an53n，则此数列()A是公差为3的等差数列 B是公差为5的等差数列C是首项为5的等差数列 D是公差为n的等差数列2等差数列an中，已知a22，a58，则a9()A8 B12C16D243已知a，b，则a，b的等差中项为_4.在等差数列an中，已知a511，a85，则a10_.5若等差数列an的公差d0且a1，a2是关于x的方程x2a3xa40的两根，求数列an的通项公式参考答案：知识梳理1.
8、 ; ; 2解析： (1)错误若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列(2)正确当d0时为递增数列；d0时为常数列；d0时为递减数列(3)正确若a，b，c满足2bac，即bacb，故a，b，c为等差数列 答案(1)(2)(3)3Da7a34d246.528，故选D.4D由条件知2a(a6)32，解得a4.故应选D.学习过程二、 新知探究思考1： 设一个等差数列an的首项为a1,公差为d,根据等差数列的定义，可得an+1-an= d所以a2-a1= d, a3-a2= d, a4-a3= d,于是 a2=a1+ d,a3=a2+ d=(a1+ d) +
9、 d=a1+ 2d,a4=a3+ d=(a1+ 2d) + d=a1+ 3d,归纳可得an=a1+(n-1) d(n2)当n=1时，上式为a1=a1+(1-1) d=a1，这就是说,上式当时也成立。因此，首项为a1,公差为d的等差数列an的通项公式为an=a1+(n-1) d思考2： 提示还可以用累加法，过程如下：a2a1d，a3a2d，a4a3d，anan1d(n2)，将上述(n1)个式子相加得ana1(n1)d(n2)，ana1(n1)d(n2)，当n1时，a1a1(11)d，符合上式，ana1(n1)d(nN*)三、 典例解析例1. 分析（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定
10、义，由an+1-an= d，即可求出公差d，（2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项解：（1）当 n2时，由an的通项公式为an=5-2n，可得an-1 =5-2n-1=7-2n.于是d=an-an-1=(5-2n)-(7-2n)=-2.把代入通项公式an=5-2n，可得a1=3（2）由已知条件，得d=5-8=-3把a1=8, d=-3代入an=a1+(n-1) d,得an=8-3(n-1)=11 - 3n,把n=20代入上式，得a20=11 - 320=-49,所以，这个数列的第20项是-49跟踪训练1解：(1)设等差数列an的公差为d.a510，a123
11、1，则解得这个等差数列的首项a12，公差d3. (2)法一：设等差数列an的首项为a1，公差为d，则由题意得解得故a75a174d7424.法二：a60a15(6015)d，d，a75a60(7560)d201524.法三：已知数列an是等差数列，可设anknb.由a158，a6020得解得a7575424.例2思路探究(1)(2) (1)6由题意得3(mn)201636，mn12，6.(2)证明，成等差数列，即2acb(ac)，成等差数列跟踪训练2解1，a，b，c，7成等差数列，b是1与7的等差中项，b3.又a是1与3的等差中项，a1.又c是3与7的等差中项，c5.该数列为：1，1，3，5，
12、7.达标检测1数列an的通项公式为an53n，则此数列()A是公差为3的等差数列 B是公差为5的等差数列C是首项为5的等差数列 D是公差为n的等差数列A等差数列的通项公式ana1(n1)d可以化成andn(a1d)对比an3n5.故公差为3.故选A.2等差数列an中，已知a22，a58，则a9()A8 B12C16D24C设等差数列an的首项为a1，公差为d，则由a22，a58，得解得a10，d2，所以a9a18d16.故选C.3已知a，b，则a，b的等差中项为_.4.在等差数列an中，已知a511，a85，则a10_.解析：(方法一)设ana1(n1)d，则即解得an2n21(nN*)a10210211.(方法二)设公差为d，a8a5(85)d，d2，a10a8(108)d1.(方法三)设anAnB，则即解得an2n21，a101.5若等差数列an的公差d0且a1，a2是关于x的方程x2a3xa40的两根，求数列an的通项公式解由题意得解得an2(n1)22n.故数列an的通项公式为an2n.