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1、http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网7.2 两条直线的位置关系两条直线的位置关系一、明确复习目标1.掌握两条直线平行、垂直的条件,能根据直线方程判断两条直线的位置关系;2.掌握两条直线的夹角公式、到角公式和点到直线的距离公式。二建构知识网络1.直线与直线的位置关系：(1)(1)有斜率有斜率的两直线 l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2；有：l1l2k1=k2且 b1b2；l1l2k1k2=-1；l1与 l2相交k1k2l1与 l2重合k1=k2且 b1=b2。(2)(2)一般式的直线一般式的直线 l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=
2、0有：l1l2A1B2-A2B1=0；且 B1C2-B2C10l1l2A1A2+B1B2=0l1与 l2相交A1B2-A2B10l1与 l2重合A1B2-A2B1=0 且 B1C2-B2C1=0。2.2.到角与夹角：到角与夹角：l1到 l2的角：直线 l1绕交点依逆时针旋转到 l2所转的角),0有 tan=21121kkkk（k1k2-1）。l1与 l2的夹角，,20有 tan=|21121kkkk|（k1k2-1）。3.点与直线的位置关系：点与直线的位置关系：若点 P（x0，y0）在直线 Ax+By+C=0 上，则有 Ax0+By0+C=0；若点 P（x0，y0）不在直线 Ax+By+C=0
3、 上，则有 Ax0+By0+C0，此时点 P（x0，y0）到直线 Ax+By+C=0 的距离：2200BACByAxd。平行直线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 之间的距离为2221BACCd4交点：直线 l1：A1x+B1y+C1=0 和 l2：A2x+B2y+C2=0 的公共点的坐标是方程组A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0的解相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解.重合方程组有无数解.5.过直线过直线 l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0 交点的直线系方程为：交点的直线系方程为：A1x+B1y+C1+（A2x+B
4、2y+C2）=0（R）(除 l2外)。6温馨提示温馨提示:(1).(1).两直线的位置关系判断时，要注意斜率不存在的情况两直线的位置关系判断时，要注意斜率不存在的情况(2).(2).注意注意“到角到角”与与“夹角夹角”的的区区分。分。http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网(3).(3).在运用公式在运用公式2221BACCd求平行直线间的距离时，一定要把求平行直线间的距离时，一定要把 x x、y y 前面的系数化成前面的系数化成相等。相等。三、双基题目练练手1.(2005 北京)“21m”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m2)x+(m+2)y3=0 相互
5、垂直”的（）A充分必要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件2三直线 ax+2y+8=0，4x+3y=10，2xy=10 相交于一点，则 a 的值是()A.2B.1C.0D.13.直线 x+y1=0 到直线 xsin+ycos1=0（42)的角是A.4B.4C.43D.454.(2006 春上海春上海)已知圆)0()5(:222rryxC和直线053:yxl没有公共点，则r的取值范围是.5.已知点 P 是直线 l 上的一点，将直线 l 绕点 P 逆时针方向旋转角（090），所得直线方程是 xy2=0，若将它继续旋转 90角，所得直线方程是 2x+y1=0，则直线 l 的
6、方程是_.6.若直线 l1：ax+2y+6=0 与直线 l2：x+（a1）y+（a21）=0 平行且不重合，则 a 的值是_.简答简答:1-3.BBD.4.)10,0(;5.解：直线 l 经过直线 xy2=0 和 2x+y1=0 的交点（1，1），又与直线 2x+y1=0 垂直，l 的方程为 y+1=21（x1），即 x2y3=0.答案：x2y3=06.解：利用两直线平行的条件.答案：1四、经典例题做一做【例【例 1 1】已知两条直线1l:x+m2y+6=0,2l:(m-2)x+3my+2m=0，当 m 为何值时,1l与2l（1）相交；（2）平行；（3）重合？解:当0 时，1l：，2l：，1l
7、2l，当2 时，1l：，2l：1l与2l相交；http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网当且时，由mmm3212得或，由mm2621得3故（）当且且时1l与2l相交。（）或时1l2l，（）当时1l与2l重合。【例【例 2 2】等腰三角形一腰所在直线1l的方程是022yx，底边所在直线2l的方程是01 yx，点（-2，0）在另一腰上，求该腰所在直线3l的方程。解：解：设1l、2l、3l的斜率分别为1k、2k、3k，1l到2l的角是1，2l到3l的角是2，则1k=21，2k=1，31tan21121kkkk1l、2l、3l所围成的三角形是等腰三角形，1=2，3tantan21
8、即312323kkkk，31133kk，解得3k=2，又直线3l过点（-2，0），直线3l的方程为)2(2xy，即042 yx提炼方法提炼方法:本题根据条件做出本题根据条件做出1=2的结论，而后利用到角公式，最后利用点斜式求的结论，而后利用到角公式，最后利用点斜式求出出 l3的方程。的方程。【例【例 3 3】已知点 P（2，-1），求：（1）过 P 点与原点距离为 2 的直线l的方程；（2）过 P 点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？（3）是否存在过 P 点与原点距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。解解：（1）过 P 点的直线l与原点的距离为 2，而 P 点
9、坐标为（2，-1），可见过 P（2，-1）垂直于 x 轴的直线满足条件，其方程为：x=2.若斜率存在，设l的方程为)2(1xky，即012kykx由已知，得21122kk解得43k，这时设l的方程为01043yx综上，可得直线l的方程为 x=2.或01043yx（2）P 点在直线l上,原点到直线l的距离 d op,过 P 点与原点O 距离最大的直线是过 P 点且与 PO 垂直的直线,由OPl,得1OPlkkhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网21OPlkk,得直线l的方程为052 yx,即直线052 yx是过P点且与原点 O 距离最大的直线，最大距离为555（3）由
10、（2）知，过 P 点的直线与原点 O 最大距离为555，故过 P 点不存在到原点距离为 6 的直线。特别提示特别提示:求直线方程时一定求直线方程时一定要注意斜率不存在的情况要注意斜率不存在的情况【例【例 4 4】光线从 A（3，4）点射出，到 x 轴上的 B 点后，被 x 轴反射到 y 轴上的 C 点，又被 y 轴反射，这时反射线恰好过点 D（1，6），求 BC 所在直线的方程.解法一：如下图所示，依题意，B 点在原点 O 左侧，设坐标为（a，0），由入射角等于反射角得1=2，3=4，x y A B C D 1 2 3 4kAB=kBC.又 kAB=a304=a34（a3），kBC=a34.B
11、C 的方程为 y0=a34（xa），即 4x（3+a）y4a=0.令 x=0，解得 C 点坐标为（0，aa34），则 kDC=01346aa=aa31018.3=4，010BCBCkk=DCDCkk010.a34=aa31018.解得 a=57，代入 BC 方程得 5x2y+7=0.解法二：点 A 关于 x 轴的对称点为 A（3，4），点 D 关于 y 轴的对称点为 D（1，6），由入射角等于反射角及对顶角相等可知 A、D都在直线 BC 上，BC 的方程为 5x2y+7=0.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网【研讨【研讨.欣赏欣赏】(2004 全国全国)给定抛物线
12、 C：y24x，F 是 C 的焦点，过点 F 的直线 l 与 C相交于 A、B 两点()设 l 的斜率为 1，求OA与OB夹角的大小；()设FBAF，若4，9，求 l 在 y 轴上截距的变化范围解：（I）C 的焦点为 F(1,0)，直线 l 的斜率为 1，所以 l 的方程为 y=x-1.将 y=x-1 代入方程 y2=4x，并整理得 x2-6x+1=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则有 x1+x2=6,x1x2=1，OBOA=(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2=2x1x2-(x1+x2)+1=-3.4116)(4|21212122222121xxxxxxyxyxOBO
13、Acos=.41413|OBOAOBOA所以OA与OB夹角的大小为-arccos41413.解：(II)由题设知AFFB得：(x2-1,y2)=(1-x1,-y1)，即)2()1()1(11212yyxx由(2)得 y22=2y12,y12=4x1,y22=4x2,x2=2x1(3)联立(1)(3)解得 x2=.依题意有0.B(,2)或 B(,-2)，又 F(1,0),得直线 l 的方程为(-1)y=2(x-1)或(-1)y=-2(x-1)当4,9时，l 在 y 轴上的截距为12或12由12=1212，可知12在4，9上是递减的，431234，-34-1243直线 l 在 y 轴上截距的变化范
14、围是34,4343,34.五提炼总结以为师1要认清直线平行、垂直的充要条件，应特别注意 x、y 的系数中一个为零的情况的讨论。2在运用一条直线到另一条直线的角的公式时要注意无斜率的情况及两直线垂直的情况。点到直线的距离公式是一个基本公式，它涉及绝对值、点在线上、最小值等内容。同步练习7.2 两条直线的位置关系两条直线的位置关系【选择题】1.（2004 全国）过点（1，3）且垂直于直线 x2y+3=0 的直线方程为（）A.2x+y1=0B.2x+y5=0C.x+2y5=0D.x2y+7=02.在坐标平面内，与点 A(1，2)距离为 1，且与点 B(3，1)距离为 2 的直线共有()（A）1 条（
15、B）2 条（C）3 条（D）4 条3.ABC 中，a、b、c 是内角 A、B、C 的对边，且 lgsinA，lgsinB，lgsinC 成等差数列，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网则下列两条直线 l1：（sin2A）x+（sinA）ya=0，l2：（sin2B）x+（sinC）yc=0 的位置关系是()A.相交B.垂直C.平行D.重合【填空题】4.过点 P（5，2），且与直线 xy+5=0 相交成 45角的直线 l 的方程是_.5.(2006 上海上海)已知圆2x4x42y0 的圆心是点 P，则点 P 到直线xy10的距离是；6.(2006 福建福建 12)对于
16、直角坐标平面内的任意两点1122(,),(,)A x yB xy，定义它们之间的一种“距离”：2121.ABxxyy给出下列三个命题：若点 C 在线段 AB 上，则;ACCBAB在ABC中，若90,oC则222;ACCBAB在ABC中，.ACCBAB其中真命题是_简答.提示：1-3.ABD。3.解：由已知 2lgsinB=lgsinA+lgsinC，得 lg（sinB）2=lg（sinAsinC）.sin2B=sinAsinC.设 l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=021aa=BA22sinsin=CAAsinsinsin2=CAsinsin，21bb=CAsinsi
17、n，21cc=ca=CRARsin2sin2=CAsinsin，21aa=21bb=21cc，l1与 l2重合答案：D4.x=5 或 y=2;5.22;6.【解答题】7.直线l被两条直线1l:4x+y+3=0和2l:3x5y5=0截得的线段中点为P(1,2),求直线l的方程解：设点(a,b)在1l上，依题意，(2a,4b)在直线2l上,http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网05)4(5)2(3034baba,解之得：52ba由两点式得直线 AB 的方程为:3x+y+1=08.8.求满足下列条件的直线l的方程在 y 轴上的截距为3，且它与两坐标轴围成的三角形面积为 6与
18、直线240 xy的夹角为045，且交点在 x 轴上解：设直线的方程为13xya，由题意得1362a，4a 当4a 时，直线l的方程为143xy即34120 xy当4a 时，直线l的方程为143xy即34120 xy直线240 xy交 x 轴于点（2,0），可设l的方程为(2)yk x由两直线夹角公式有02tan4512kk，13k或3k l的方程为1(2)3yx或3(2)yx，即320 xy或360 xy点评：求直线方程时，可根据题中已知条件适当地选择所求直线的形式，再根据题中其他条件确定方程中的待定系数9.已知直线l经过点 P（3，1），且被两平行直线1l：x+y+1=0 和2l：x+y+6
19、=0 截得的线段之长为 5。求直线l的方程。解法一:若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，此时与1l、2l的交点分别是 A1（3，-4）和B1（3，-9），截得的线段 AB 的长|AB|=|-4+9|=5，符合题意。若直线l的斜率存在，则设l的方程为 y=k（x-3）+1，解方程组y=k（x-3）+1x+y+1=0得 A（,123kk114kk）解方程组y=k（x-3）+1x+y+6=0得 B（173kk，119kk）A1B1BAPOxyhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网由|AB|=5 得（173123kkkk）2+（119114kkkk）2=25，解之，
20、得 k=0，即所求的直线方程为 y=1。综上可知，所求l的方程为 x=3 或 y=1。解法二:由题意，直线 l1、l2之间的距离为 d=2252|61|，且直线l被直线 l1，、l2所截的线段 AB 的长为 5，设直线 l 与 l1的夹角为，则sin=225225，故=450。由直线1l：x+y+1=0 的倾斜角为 1350，知直线l的倾斜角为 00或 900，又由直线l过点 P（3，1），故所求l的方程为 x=3 或 y=1。解法三:设直线l与1l、2l分别相交于 A（x1，y1）、B（x2，y2），则 x1+y1+1=0，x2+y2+6=0。两式相减，得（x1-x2）+（y1-y2）=5又
21、（x1-x2）2+（y1-y2）2=25联立，可得x1-x2=5x1-x2=0y1-y2=0y1-y2=5由上可知，直线l的倾斜角为 00或 900，又由直线l过点 P（3，1），故所求l的方程为x=3 或 y=1。10.已知过点 A（1，1）且斜率为m（m0）的直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于 P、Q，过 P、Q 作直线 2x+y=0 的垂线，垂足为 R、S，求四边形 PRSQ 面积的最小值.解：设 l 的方程为 y1=m（x1），则 P（1+m1，0），Q（0，1+m）.从而可得直线 PR 和 QS 的方程分别为x2ymm1=0 和 x2y+2（m+1）=0.又 PRQS，RS=5|1
22、122|mm=5123mm.又PR=522m，QS=51m，四边形 PRSQ 为梯形，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网S四边形PRSQ=21522m+51m 5123mm=51（m+m1+49）280151（2+49）2801=3.6.四边形 PRSQ 的面积的最小值为 3.6.【探索题】(2005 上海)已知函数xaxxf)(的定义域为),0(，且222)2(f.设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线xy 和y轴的垂线，垂足分别为NM、.（1）求a的值；（2）问：|PNPM 是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；（3）设O为坐标原点，求四
23、边形OMPN面积的最小值.解（1）22222)2(af，2a.（2）设点P的坐标为),(00yx，则有0002xxy，00 x，由点到直线的距离公式可知：0000|,12|xPNxyxPM，故有1|PNPM，即|PNPM 为定值，这个值为 1.（3）由题意可设),(ttM，可知),0(0yN.PM与直线xy 垂直，11PMk，即100txty，解得)(2100yxt，又0002xxy，0022xxt.222120 xSOPM，222120 xSOPN，212)1(212020 xxSSSOPNOPMOMPN，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网当且仅当10 x时，等
24、号成立.此时四边形OMPN面积有最小值21.备选题1.已知ABC 的两条高线所在直线的方程为 2x3y+1=0 和 x+y=0，顶点 A（1，2），求：（1）BC 边所在直线的方程；（2）ABC 的面积.解：（1）A 点不在两条高线上，从而 AB、AC 边所在直线方程为 3x+2y7=0，xy+1=0.C（2，1）、B（7，7）.边 BC 所在直线方程是 2x+3y+7=0.（2）BC117，点 A 到边 BC 的高为 h1315，从而ABC 的面积是2131313152457.在平面直角坐标系中，在 y 轴的正半轴（原点除外）上给定两点 A（0，a）、B（0，b）（ab0）.试在 x 轴的正半轴（原点除外）上求点 C，使ACB 取得最大值，并求出这个最大值.解：由题意作下图，设 C（x，0），其中 x0 xyABCO又 A（0，a），B（0，b）（ab0），则 kACxa00 xa，kBCxb00 xb.tanACBACBCACBCkkkk121xabxbxa=xababxabbaabba2此时 xab时取等号.故所求点 C（ab，0），最大值为 arctanabba2http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网