《2010届大纲版数学高考名师一轮复习教案8.4 直线和圆锥曲线的位置关系doc--高中数学 .doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2010届大纲版数学高考名师一轮复习教案8.4 直线和圆锥曲线的位置关系doc--高中数学 .doc（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网84 直线和圆锥曲线的位置关系直线和圆锥曲线的位置关系一、明确复习目标1掌握直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题;2会运用“设而不求”解决相交弦长问题及中点弦问题;3会利用圆锥曲线的焦半径公式解决焦点弦的问题 掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法;4会用弦长公式|AB|=21k|x2x1|求弦的长；5会利用“设点代点、设而不求”的方法求弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等二建构知识网络1直线与圆锥曲线的位置关系主要是：公共
2、点、相交弦或焦点弦问题以及它们的综合运用2直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：可以转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题，往往通过消元转化为讨论一元二次方程的解的问题或一元二次函数的最值问题，运用韦达定理,中点公式,设而不求时必须0,必须注意解的存在性和转化的等价性，用好化归与等价转化思想当直线与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行时，消元后得到的是一元一次方程,只有一个解,即直线与抛物线或双曲线有且只有一个交点3 涉及到圆锥曲线焦点弦、焦半径的问题，首先考虑第二定义和焦半径公式。4涉及直线与圆锥曲线相交弦的问题：相交弦的长，弦所在直线的方程、弦的中点的轨迹等，
3、这可以利用“点差法”，“设而不求”、韦达定理、整体代入等方法求解。5弦长公式：http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网圆锥曲线与直线bkxy交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长2212)(1(xxkAB；与直线tmyxA(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长2212)(1(yymAB三、双基题目练练手1(2004 全国 I)设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是（）A21，21B2，2C1，1D4，42(2006 全国)抛物线2yx 上的点到直线4380 xy距离的最小值是
4、()A43B75C85D33(2006 福建福建)已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()（A）(1,2（B）(1,2)（C）2,)（D）(2,)4 (2006 山 东山 东)已 知 抛 物 线24yx，过 点(4,0)P的 直 线 与 抛 物 线 相 交 于1122(,),(,)A x yB xy两点，则2212yy的最小值是。5(2006 上海上海)若曲线2y|x|1 与直线ykxb没有公共点，则k、b分别应满足的条件是6双曲线22ax22by=1（a0，b0）上任意一点到它
5、的两条渐近线的距离之积等于_http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网简答简答：1-3。CAC;4 32;5 作出函数21,0|11,0 xxyxxx 的图象，如图所示：?y=kx+b?1?1?-1?-1?o?y?x所以，0,(1,1)kb；6设 P（x0，y0）则 d1d2=2200|baaybx2200|baaybx=22202202|bayaxb=2222baba四、经典例题做一做【例【例 1】求过点（0，2）的直线被椭圆 x22y22 所截弦的中点的轨迹方程解：设直线方程为 y=kx+2，把它代入 x22y22，整理得（2k21）x2+8kx+6=0要使直线和椭圆
6、有两个不同交点，则0，即 k26或 k26设直线与椭圆两个交点为 A（x1，y1）、B（x2，y2），中点坐标为 C（x，y），则x221xx 1242kk，y=1242kk+21222kx=1242kk，y=1222k消去 k 得 x22（y1）22，且x26，0y21【例【例 2】(2005 江西文)从参数方程（k26或 k26），http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网如图，M 是抛物线上 y2=x 上的一点，动弦 ME、MF 分别交 x 轴于 A、B 两点，且MA=MB（1）若 M 为定点，证明：直线 EF 的斜率为定值；（2）若 M 为动点，且EMF=90，求
7、EMF 的重心 G 的轨迹方程MABFEOyx解：（1）设 M（y20,y0），直线 ME 的斜率为 k(l0)则直线 MF 的斜率为k，).(200yxkyyME的方程为直线xyyxkyy2200)(由消0)1(002kyyykyx得2200)1(,1kkyxkkyyFF解得).(2142)1()1(1102022022000定值ykkykkkykkykkykkyxxyykFEFEEF所以直线 EF 的斜率为定值（2）,1,45,90kMABEMF所以时当).(200yxkyyME的方程为直线).1,)1(,0202200yyExyyxyy得由http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永
8、久免费组卷搜题网同理可得).1(,)1(020yyF设重心 G（x,y），则有33)1()1(33323)1()1(3000020202020yyyyxxxxyyyyxxxxFEMFEM).32(2729120 xxyy 得消去参数【例【例 3】（2006 浙江）浙江）如图，椭圆byax2221（ab0）与过点 A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点 T，且椭圆的离心率 e=23()求椭圆方程；()设 F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M 为线段2AF的中点，求证：ATM=AF1TABFFMTOyx解：（I）过点A、B的直线方程为1.2xy因为由题意得22221,112xyabyx
9、有惟一解，即222222221()04baxa xaa b有惟一解，所以2222(44)0a b ab（0ab），http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网故22440.ab又因为3,2e 即2223,4aba所以224.ab从而得2212,2ab故所求的椭圆方程为2221.2xy（II）由（I）得6,2c 故1266(,0),(,0),22FF从而6(1,0).4M由2221,2112xyyx 解得121,xx所以1(1,).2T因为16tan1,2AFT又1tan,2TAM22tan,6TMF得2126tan116ATM61,2因此1.ATMAFT【例【例 4】已知椭
10、圆 C：22ax22by1（ab0），两个焦点分别为 F1和 F2，斜率为 k 的直线 l 过右焦点 F2且与椭圆交于 A、B 两点，设 l 与 y 轴交点为 P，线段 PF2http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网的中点恰为 B（1）若k552，求椭圆 C 的离心率的取值范围；（2）若 k=552，A、B 到右准线距离之和为59，求椭圆 C 的方程解：（1）设右焦点 F2（c，0），则 l：y=k（xc）令 x=0，则 y=ck，P（0，ck）B 为 F2P 的中点，B（2c，2ck）B 在椭圆上，224ac2224bkc1k2224cb22244aca（21e1）（
11、4e2）24ee25k552，24ee2554（5e24）（e25）054e21552e1（2）k552，e55222ac54a245c2，b241c2椭圆方程为2245cx2241cy1，即 x25y245c2直线 l 方程为 y=552（xc），B（2c，55c），右准线为 x=45c设 A（x0，y0），则（45cx0）（45c2c）59，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网x02c59，y0552（c59）A 在椭圆上，（2c59）2555（c59）254c2解之得 c=2 或 c56（不合题意，舍去）椭圆方程为 x25y25，即52xy21【研讨【研讨 欣
12、赏欣赏】(2006 山东山东)双曲线 C 与椭圆22184xy有相同的焦点，直线3yx为 C 的一条渐近线。（1）求双曲线 C 的方程；（2）过点(0,4)P的直线l，交双曲线 C 于 A、B 两点，交x轴于 Q 点（Q 点与 C 的顶点不重合），当12PQQAQB ，且1283 时，求Q点的坐标。解：（）设双曲线方程为22221xyab由椭圆22184xy求得两焦点为(2,0),(2,0)，对于双曲线:2C c，又3yx为双曲线C的一条渐近线3ba解得221,3ab，双曲线C的方程为2213yx http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网PBQAOxy（）解法一：由题意
13、知直线l的斜率k存在且不等于零。设l的方程：114,(,)ykxA x y，22(,)B xy则4(,0)Qk1PQQA 11144(,4)(,)xykk 111111114444()44xkkxkkyy 11)(,A x y在双曲线C上，2121111616()10k 222211161632160.3kk2221116(16)32160.3kk同理有：2222216(16)32160.3kk若2160,k则直线l过顶点，不合题意2160,k12,是二次方程22216(16)32160.3kxxk的两根122328163k http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网24
14、k，此时0,2k 所求Q的坐标为(2,0)解法二：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零设l的方程，11224,(,),(,)ykxA x yB xy，则4(,0)Qk1PQQA ，Q分PA 的比为1由定比分点坐标公式得1 111111111144(1)14401xxkkyy 下同解法一解法三：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零设l的方程：11224,(,),(,)ykxA x yB xy，则4(,0)Qk12PQQAQB ，111222444(,4)(,)(,)xyxykkk 11224yy，114y，224y，又1283，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网12
15、1123yy即12123()2yyy y将4ykx代入2213yx 得222(3)244830kyyk230k，否则l与渐近线平行。212122224483,33kyyy ykk。222244833233kkk 2k(2,0)Q解法四：由 题 意 知 直 线 l 得 斜 率 k 存 在 且 不 等 于 零，设l的 方 程：4ykx，1122(,),(,)A x yB xy则4(,0)Qk1PQQA ,11144(,4)(,)xykk。1114444kkxxk http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网同理1244kx 1212448443kxkx 即2121225()80
16、k x xk xx。（*）又22413ykxyx消去 y 得22(3)8190kxkx当230k时，则直线 l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，230k。由韦达定理有：12212283193kxxkx xk 代入（*）式得24,2kk 所求 Q 点的坐标为(2,0)。五提炼总结以为师1解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，一般是消元得到一元二次方程，再讨论二次项的系数和判别式，有时借助图形的几何性质更为方便2涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用“点差法”，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法3求圆锥曲线的弦长时，可利用弦长公式d=2212)(1(xxk2212)(11(yy
17、khttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网再结合韦达定理,设而不求整体解决焦点弦的长也可以直接利用焦半径公式处理，可以使运算简化4涉及到圆锥曲线焦点弦、焦半径问题，可以利用焦半径公式或圆锥曲线的第二定义，应掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法同步练习84 直线和圆锥曲线的位置关系直线和圆锥曲线的位置关系【选择题】1若双曲线 x2y21 的右支上一点 P（a，b）到直线 y=x 的距离为2，则 a+b 的值为（）A21B21C21D22已知对 kR，直线 ykx1=0 与椭圆52x+my2=1 恒有公共点，则实数 m 的取值范围是A（0，1）B（0，5）C 1，5）（5，
18、+）D 1，5）3（2006 辽宁辽宁）直线2yk与曲线2222918k xykx(,)kR且k0的公共点的个数为（）（A）1（B）2（C）3（D）44直线 y=x+3 与曲线14|92xxy（）A没有交点B只有一个交点C有两个交点D有三个交点【填空题】5已知（4，2）是直线 l 被椭圆362x+92y=1 所截得的线段的中点，则 l 的方程是_6过抛物线 y2=4x 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，已知|AB|=8，O 为坐标原点，则http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网OAB 的重心的横坐标为_简答提示：1-4BCDD;1P（a，b）点在双曲线上，则有 a2b
19、2=1，即（a+b）（ab）=1d=2|ba=2，|ab|=2又 P 点在右支上，则有 ab，ab=2|a+b|2=1，a+b=212直线 ykx1=0 恒过点（0，1），仅当点（0，1）在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点所以，m11 且 m0，得 m1故本题应选 C4当 x0 时，双曲线14922xy的渐近线为：xy23，而直线 y=x+3 的斜率为 1，10因此直线与椭圆左半部分有一交点，共计 3 个交点，选 D5设直线 l 与椭圆交于 P1（x1，y1）、P2（x2，y2），将 P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线 l 斜率k=2121xxyy=)(42121yyxx=24
20、4=21由点斜式可得 l 的方程为 x+2y8=0答案：x+2y8=06设过焦点 F（1，0）的直线为 y=k（x1）（k0），A（x1，y1），B（x2，y2）代入抛物线方程消去 y 得 k2x22（k2+2）x+k2=0k20，x1+x2=22)2(2kk，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网|AB|=x1+x2+2=8,x1+x2=6 可得 k2=1OAB 的重心的横坐标为 x=3021xx=2法 2：由|AB|=2212)(1(xxk=8，得 k2=1【解答题】7 正方形 ABCD 中，一条边 AB 在直线 y=x+4 上，另外两顶点 C、D 在抛物线 y2
21、x 上，求正方形的面积解：设 CD 所在直线的方程为 y=x+t，y=x+t，y2=x，x2+（2t1）x+t2=0，CD4)21(222tt)41(2t又直线 AB 与 CD 间距离为AD2|4|t，ADCD，t=2 或6从而边长为 32或 52面积 S1（32）218，S2=（52）2=508(2006 上海上海)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线2y2x相交于 A、B 两点（1）求证：“如果直线l过点 T（3，0），那么OAOB3”是真命题；消去y得http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由解
22、解（1）设过点 T(3,0)的直线l交抛物线 y2=2x 于点 A(x1,y1)、B(x2,y2)当直线l的钭率不存在时,直线l的方程为 x=3,此时,直线l与抛物线相交于点A(3,6)、B(3,6)OBOA=3；当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为(3)yk x，其中0k，由22(3)yxyk x得2122606kyyky y 又 22112211,22xyxy，2121212121()34OA OBx xy yy yy y ，综上所述，命题“如果直线l过点 T(3,0)，那么OBOA=3”是真命题；(2)逆命题逆命题是：设直线l交抛物线 y2=2x 于 A、B 两点,如果OBOA=3,那
23、么该直线过点 T(3,0)该命题是假命题假命题例如：取抛物线上的点 A(2,2)，B(21,1)，此时OA OB =3,直线 AB 的方程为：2(1)3yx，而 T(3,0)不在直线 AB 上；说明：由抛物线 y2=2x 上的点 A(x1,y1)、B(x2,y2)满足OBOA=3，可得 y1y2=6，或 y1y2=2，如果 y1y2=6，可证得直线 AB 过点(3,0)；如果 y1y2=2，可证得直线 AB 过点(1,0),而不过点(3,0)9已知抛物线 C：y2=4（x1），椭圆 C1的左焦点及左准线与抛物线 C 的焦点 F 和准线 l 分别重合（1）设 B 是椭圆 C1短轴的一个端点，线段
24、 BF 的中点为 P，求点 P 的轨迹 C2的方程；（2）如果直线 x+y=m 与曲线 C2相交于不同两点 M、N，求 m 的取值范围http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（1）解法一：由 y2=4（x1）知抛物线 C 的焦点 F 坐标为（2，0）准线 l 的方程为 x=0设动椭圆 C1的短轴的一个端点 B 的坐标为（x1，y1）（x12，y10），点 P（x，y），x=221x，x1=2x2，y=21y，y1=2yB（2x2，2y）（x2，y0）设点 B 在准线 x=0 上的射影为点 B，椭圆的中心为点 O，则椭圆离心率 e=|BFOF，由|BBBF=|BFOF，得
25、22)2()222(22xyx=22)2()222(222yxx，整理，化简得 y2=x2（y0），这就是点 P 的轨迹方程解法二：抛物线 y2=4（x1）焦点为 F（2，0），准线 l：x=0设 P（x，y），P 为 BF 中点，B（2x2，2y）（x2，y0）设椭圆 C1的长半轴、短半轴、半焦距分别为 a、b、c，则 c=（2x2）2=2x4，b2=（2y）2=4y2，（c）（ca2）=2，cca22=2，即 b2=2c4y2=2（2x4），即 y2=x2（y0），此即 C2的轨迹方程x+y=m，y2=x2m47而当 m=2 时，直线 x+y=2 过点（2，0），这时它与曲线 C2只有一个
26、交点，所求 m 的取值范围是（47，2）（2，+）则（2）解：由（y0），得 y2+ym+2=0，令=14（m+2）0，解得http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网10（2006 北京）已知点(2,0),(2,0)MN，动点P满足条件|2 2PMPN记动点P的轨迹为W（）求W的方程；（）若,A B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OA OB 的最小值解法一：（）由|PM|-|PN|=22知动点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长 a=2又半焦距 c=2。故虚半轴长 b=222ca，所以 W 的方程为221,222xyx（）设 A、B 的坐标分别为（x
27、1y1），（x2y2）当ABx轴时，1212,xxyy，从而221212112OA OBx xy yxy 。当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykmx，与W的方程联立，消去y得2229220kxkmxm，故212122222,11kmmxxx xkk所以http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网121212122212122222222222()()(1)()(1)(2)211224211OA OBx xy yx xkxm kxmkx xkm xxmkmk mmkkkkk 又因为120 x x，所以210k ，从而2OA OB 综上，当ABx轴时，OA OB 取得最
28、小值 2解法二：（）同解法一（）设A、B的坐标分别为 1112,x yy y，则22()()2(1,2)iiiiiixyxyxyi令,iiiiiisxy txy，则2i ist，且0is，0(1,2)iti，所以1212112211221 21 21 2 1 211()()()()4411222OA OBx xy yststststs st ts s t t 当且仅当1 21 2s st t，即1212xxyy 时“=”成立所以OA OB 的最小值是 2【探索题】(2006 安徽安徽)如图，F为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点，P为http:/ 永久免费组卷搜题网http:/
29、 永久免费组卷搜题网双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点。已知四边形OFPM为平行四边形，PFOF。（）写出双曲线C的离心率e与的关系式；（）当1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于AB、两点，若12AB，求此时的双曲线方程。（）解法 1：设 M为 PM 与双曲线右准线的交点，F（c，0），则|,|PMOFc OMPFcyMPOFxM/|,|cPFeaPM2|2aPMPMMMcc 22eeace 即220ee解法 2：设M为PM与双曲线右准线的交点，N 为左准线与 x 轴的交点00(,0),(,).F cP xy由于00(,)P xy在双曲线右支上，则20|
30、axPMON mcc2222002()byx aahttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网由|PFc得222200()cxcy将、代入得222222222()()abaccacac 再将2,1cea ba e代入上式，得2222211(1)()1eeeee化简，得2222(2)ee由题意，点 P 位于双曲线右支上，从而|PMMM于是22.,acc即22,c 又0,所以由式得220ee（）解：当1时，由220ee 解得2e 从而2ca，223bcaa由此得双曲线得方程是222213xyaa下面确定a的值解法 1：设双曲线左准线与 x 轴的交点为 N，P 点的坐标为（00,
31、xy），则http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2|2aaONc，222215|()22aMNOMONca由于 P00(,)xy在双曲线的右支上，且位于 x 轴上方，因而13|22aaxMPONOFONc，015|2yMNa所以直线 OP 的斜率为15152332aka设过焦点 F 且平行于 OP 的直线与双曲线的交点为 A11(,)x y、B22(,)xy，则直线 AB 的斜线为153k，直线 AB 的方程为15(2)3yxa将其代入双曲线方程整理得22420290 xaxa125xxa，212294x xa 2222212121212|()()()()ABxxyyxxkxx2212121()4kxxx x2252912541234aaa 由|12AB 得1a，于是，所求双曲线得方程为http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2213yx 解法 2由条件知OPFM为菱形，其对角线 OP 与 FM 互相垂直平分，其交点 Q 为 OP 得中点