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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载难点 16 三角函数式的化简与求值三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生把握化简和求值问题的解题规律和途径,特殊是要把握化简和求值的一些常规技巧,以优化我们的解题效果,做到事半功倍. 难点磁场已知2 3,cos =12,sin + = 3,求 sin2 的值4135_. 案例探究例 1不查表求sin 220 +cos 280 +3 cos20 cos80 的值 . .命题意图：此题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法,对运算才能的要求较高属于级题目. 学问依靠：熟知三角公式并能敏捷应用. 错
2、解分析：公式不熟,运算易出错. 技巧与方法： 解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题,使解法更简洁更精妙,需仔细体会. 解法一： sin 220 +cos 280 +3 sin220 cos801 = 21 1cos40 + 21+cos160 + 3 sin20 cos80=11 cos40 + 21 cos160 + 23 sin20 cos60 +20 =1 1cos40 +1cos120 cos40 sin120 sin40 +3 sin20 cos60cos20 22sin60 sin20 名师归纳总结 1 =1 21 cos40 4cos40 33 sin40 + 4
3、3 sin40 2sin220fa=1 的 a 2第 1 页,共 6 页4=13cos40 31cos40 = 1444解法二：设x=sin220 +cos280 +3 sin20 cos80y=cos 220 +sin280 3 cos20 sin80 ,就x+y=1+13 sin60 =1 ,xy=cos40 +cos160 + 23 sin100=2sin100 sin60 +3 sin100 =0 x=y=1 ,即 x=sin 4220 +cos 280 +3 sin20 cos80 =1. 4例 2设关于 x 的函数 y=2cos2x2acosx2a+1的最小值为fa,试确定满意值,
4、并对此时的a 值求 y 的最大值 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 命题意图： 此题主要考查最值问题、学习必备欢迎下载运算才能以及较强的规律思维才能.三角函数的有界性、属级题目学问依靠：二次函数在给定区间上的最值问题 . 错解分析：考生不易考查三角函数的有界性,对区间的分类易出错 . 技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题,仍要用到配方法、数形结合、 分类讲座等 . 2解：由 y=2cosxa 2a 4 a 2 及 cosx 1,1得：2 21 a 2 fa a 22 a 1 2 a 2 21 4 a a 2 fa= 12 ,14a= 2
5、 1a= 8 12,+ 故a 22a1= 1 ,解得： a=1,此时,2 2y=2cosx+ 1 2+ 1 ,当 cosx=1 时,即 x=2k ,kZ,ymax=5. 2 2例 3已知函数 fx=2cosxsinx+ 3 sin 2x+sinxcosx31求函数 fx的最小正周期；2求 fx的最小值及取得最小值时相应的 x 的值；3如当 x 12,712时, fx的反函数为 f1x,求 f-11的值 . 命题意图：此题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等学问,仍考查运算变形才能,综名师归纳总结 合运用学问的才能,属级题目. 第 2 页,共 6 页学问依靠：熟知三角函数公式以及三角函数的性质
6、、反函数等学问. 错解分析：在求f-11的值时易走弯路. 技巧与方法：等价转化,逆向思维. 解： 1fx=2cosxsinx+33 sin2x+sinxcosx=2cosxsinxcos3+cosxsin33 sin 2x+sinxcosx=2sinxcosx+3 cos2x=2sin2x+3 fx的最小正周期T=2当 2x+3=2k 2,即 x=k 5kZ 时, fx取得最小值 2. 123令 2sin2x+3=1,又 x2,7, 22x+33,3,2x+3=5,就26- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x=4,故 f-11= 4. 学习必备欢迎下载
7、锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：1.求值问题的基本类型：1 给角求值, 2 给值求值, 3 给式求值,4 求函数式的最值或值域,5 化简求值 . 2.技巧与方法：1 要寻求角与角关系的特殊性,化非特角为特殊角,娴熟精确地应用公式 . 2 留意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用 . 3 对于条件求值问题,要仔细查找条件和结论的关系,查找解题的突破口,很难入手的问题,可利用分析法 . 4 求最值问题,常用配方法、换元法来解决 . 消灭难点训练一、挑选题1. 已知方程 x 2+4ax+3a+1=0a1的两根均 tan 、tan ,且 , 2,2,就 tan2的
8、值是 C.4D. 1 或 2 2A.1 2B.2 3二、填空题2. 已知 sin = 5 3 , 2, ,tan = 1 ,就 tan 2 =_. 23. 设 4,3, 0,4,cos 4=3 ,sin 53+ =5 ,就 sin 1344+ =_. 三、解答题4.不查表求值 :2sin130sin100 13tan370.4sin244的最大1cos 105.已知 cos4+x=3 , 517x7,求sin2x2sin2x的值 . 1241tanx6. 已知 =8 ,且 k k Z.求 31cossincsc22值及最大值时的条件. 7. 如右图,扇形OAB 的半径为 1,中心角 60 ,四
9、边形 PQRS 是扇形的内接矩形,当其面积最大时,求点P 的位置,并求此最大面积. D, x D ,求函数8. 已知cos +sin =3 , sin +cos 的取值范畴是y=log142x3的最小值,并求取得最小值时x x102的值 . 参考答案名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载难点磁场解法一：2 3,0 4. + 3, 4.44sin =1cos25,cos1sin2135sin2 =sin + + =sin cos + +cos sin + 5 4 12 3 56 .13 5 13 5 65
10、解法二： sin = 5 ,cos + =4 , 13 5sin2 +sin2 =2sin + cos =726540sin2 sin2 =2cos + sin =65sin2 = 1 72 40 562 65 65 65消灭难点训练一、 1.解析： a1,tan +tan =4a0. tan +tan =3a+10,又 、 2, 2 、 2, ,就2, 2,0,又 tan+ =tantan14 a1 4,又tan12tan22241tantan 3a3tan32 整理得 2tan23tan22=0.解得 tan2=2. 答案： B 名师归纳总结 2.解析： sin =3, 2, ,cos =
11、41, 第 4 页,共 6 页55就 tan =3,又 tan =1 可得 tan =242tan212tan221 21 224.tan137tan21tantan221334443tantan2443答案：7 24- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3.解析： 4,3, 40, 学习必备欢迎下载3 . 52,又 cos 4=4sin44,0,4.33 4,.sin35,cos 3455612.5441313sinsin432sin3 43124.443cos4sin4cos4cos3451351365即sin56 65答案：56 65三、 4.答案：
12、 2 5. 解:cos4x3,sin2xcos24x7.cosx525又17x7,5x42,sinx4412435sin2x2sin2x2sinxcosx2sin2x2sinxsinxcosx1tanx1sinxcosxsinxcosxsin2xsin4xx7428255cos43751sin256. 解:令t1cossin4sin244csc22sin2 1cos41cos22sin22cos22411sin22cos222222sin2sin224sin2cos228,424822.333t4sin22122sin2223232的最小值为 1. k（k Z） ,22k2（k Z）323当2
13、22k2,即4k3（ kZ）时 ,sin2337.解：以 OA 为 x 轴.O 为原点,建立平面直角坐标系,并设P 的坐标为 cos ,sin ,就名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - PS=sin .直线 OB 的方程为y=学习必备欢迎下载y=sin .联立解之得Q3sin3 x,直线 PQ 的方程为3名师归纳总结 ； sin ,所以 PQ =cos 3sin . 第 6 页,共 6 页3于 是 SPQRS=sin cos 3 sin = 33 33 sin cos sin2 =3 33 sin2 21cos2=3 3
14、3 sin2 + 21 cos2 21 = 23 sin2 + 363 . 620 3,62 +65 .61 sin2 + 26 1. sin2 +6=1 时, PQRS 面积最大,且最大面积是3 ,此时, = 66,点 P 为的中点, P3,1. 228.解：设u=sin +cos .就 u2+3 2=sin +cos 2+cos +sin 2=2+2sin + 4.u 21,1u1.即 D= 1,1 ,设 t=2x3, 1x1,1t5 .x=t223. M42x32t2t42t144122.x108t当且仅当2t4, 即t2 时,Mmax2.ylog05.M在M0 时是减函数,t8y minlog05.2log.052log0.585时,此时t2,2x32,x1.822- - - - - - -