2022年高考数学-考点-简单多面体与球练习.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 考点 22 简洁多面体与球1.2022 四川高考理科11半径为R 的球 O 的直径 AB 垂直于平面,垂足为 B ,BCD是平面 内边长为 R 的正三角形, 线段AC, AD 分别与球面交于点 M ,N,那么 M ,N两点间的球面距离是17 18R arccos R arccosA 25B251 4C3 RD15 R【命题立意】 此题考查了两点间的球面距离即求弧长 问题, 解三角形, 平行线等分线段成比例的学问,考查了同学利用平面几何学问解决空间几何体问题的才能 . 【思路点拨】欲求 M ,N两点间的球面距离,依据弧长公式可知,需求 MON 的

2、弧度数,进而转化为求线段MN的长度 .题目中所给条件大多集中在 BCD 内,故探求MN与CD的数量关系 . 【标准解答】选 A . 连结BM,AB为球O的直径,BM AC ,2 2在Rt ABC中,AB 2 , R BC R AC AB BC 5 R22 BC 5 4 5BC CM CA CM R AM AC CM R由射影定理可得 CA 5 .就 5 . 同理,连结BN,就 ABM ABN, 就AN AM ,又 AC AD , MN AM 4 4 4MN CD RMNCD.CD AC 5 , 即 5 5 . MN 4 R在三角形 MON 中 , OM=OM=R, 5 利用余弦定理可得：2 2

3、 2OM ON MN 17 17cos MON = MON arccos2 OM ON 25, 25 , M,N 两 点 间 的 球 面 距 离 为17R arccos25 . 2. 2022 全国卷理科 12已知在半径为 2 的球面上有 A, B,C,D 四点,假设 AB=CD=2, 就四周体 ABCD 的体积的最大值为- 1 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 34 38 3A 3 B 3 C 2 3 D 3【命题立意】 本小题主要考查几何体的体积的运算、球的性质、异面直线的距离 ,通过球这个载体考查考生

4、的空间想象才能及推理运算才能 . 【思路点拨】当 AB CD 时体积最大,挑选合适的底和高,利用三棱锥体积公式求解 . 【标准解答】选 B.方法一：当AB CD 时,体积最大,如图：过CD 作平面 PCD ,使 AB 平面 PCD , 交 AB 与点 P ,设点 P 到CD的距离为h, 就有V 四周体ABCD1SPCDAB112h22h,当直径通过AB3323与CD的中点时 ,h max2 2 22 12 3,故Vmax4 3. 3方法二：如图：当异面直线AB 与CD间的距离最大,且ABCD 时,四周体ABCD的体积最大,分别取AB 与CD的中点 E , F ,连结EF,此时球心O为线段EF的

5、中点,就EF22 OAAE22 2 212 3.VA BCD1SECDAB1122 324 3. 332332022 湖北高考理科 13圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水,假设放入三个相同的球球的半径与圆柱的底面半径相同后,水恰好埋没最上面的球如以下图,就球的半径是_cm. 【命题立意】此题主要考查圆柱和球的体积公式以及考生的运算求解才能【思路点拨】圆柱形容器的容积减去圆柱内高度为8cm 的水的体积即为63 个球的体积和；. 【标准解答】 设球的半径为r ,就圆柱形容器的高为6r,容积为r2r63 r ,高度为 8cm的水的体积为8 r2, 3 个球的体积和为34r34r3,由题意6 r3-

6、8 r2=4 r3解得r43【答案】 4 4. 2022 江西高考文科 长方体ABCDA B C D 的顶点B1A1C1D1均在同一个球面上,ABAA 11,BC2,就A,B两点间的球面距离为. BACD【命题立意】此题主要考查棱锥、球的基本学问,考查多面体与球体的内接- 2 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 问题,考查球面距离问题,考查空间想象力【思路点拨】先求体对角线长即为球的直径,再求球心角,最终由弧长公式求两点间的球面距离 . 2 2 2【 标 准 解 答 】 设 球 的 半 径 为 R , 就 2 R

7、 AC 1 1 1 2 2 , R 1 . 设 球 心 为O, 就2 2 22 R AB 1 1cos AOB 2 1 2 AOB , .2 R 2 1 2,所以 3 所求 A,B 两点间的球面距离为 3【答案】35. 2022 上海高考理科 2如以下图,在边长为 4 的正方形 纸片 ABCD中,AC 与 BD 相交于 O,剪去 AOB ,将剩余部分沿 OC,OD 折叠,使 OA,OB 重合,就以 AB,C,D,O 为顶点的四周体的体积为【命题立意】此题考查立体几何中的折叠问题和几何体体积的求法【思路点拨】先确定折叠后的几何体的外形,再由体积公式求体积【标准解答】折叠后的图形如以下图, 平面C

8、OD. AOBOOC AOOD ,A B OAO 为四周体A BCOD 的高,ODOCV四周体A-CDO1SOCDAO1133211222222832328 2【答案】3【方法技巧】折叠问题的关键是找到折叠前后,变与不变的量一般在折线同侧的量包括角和距离不变,跨过折线的量要转变6.2022 上海高考文科 6已知四棱锥PABCD 的底面是边长为6 的正方形,侧棱 PA底面ABCD,且PA8,就该四棱锥的体积是【命题立意】此题考查棱锥的体积公式的应用,属简洁题【思路点拨】按棱锥的体积公式代入数值求解【标准解答】V 四棱锥PABCD1S 底h1S 正方形ABCDPA166 8 96=96. 333【

9、答案】 96 7. 2022 上海高考文科 20如以下图,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作4个全等的矩形骨架,总计耗用9.6 米铁丝,再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底- 3 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 面担心装上底面. 1当圆柱底面半径r 取何值时, S 取得最大值？并求出该最大值结果精确到0.01 平方米 ; 2假设要制作一个如图放置的,底面半径为 骨架等因素 . 0.3 米的灯笼,请作出用于灯笼的三视图作图时,不需考虑【命题立意】此题是个应用题,主要考查同学分析问题、解决问题的才能,涉及函数求最

10、值、几何体的三视图等相关学问 . 【思路点拨】 1建立S关于r的函数,依据函数的性质求最值；2确定几何体的有关数据后,按三视图的要求画图【标准解答】 1设圆柱形灯笼的高为h ,就44r2 9.6,所以h1.22r0.3 的所以SS 底S 侧r22rhr22r.2 2 1.2-2r2.4r3r20r0.6所以,当r22 .4304.时 S 有最大值最大值为2.40.430.421.51平方米2由 1知r0.3时,h0.6其正视图与侧视图均为边长是0.6 的正方形,俯视图是半径为圆如图：8. 2022 重庆高考文 科 20如题图, 四棱锥PABCD 中,底面ABCD,PAAB2,底面ABCD为矩形

11、,PA点E是棱PB的中点 . 1证明 ：AE1平面PBC；ECD 的平面角的余弦值. 2假设AD,求二面角B【命题立意】本小题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系,考查余弦定理及其应用,考查空间向量的基础学问和在立体几何中的应用,考查空间想象才能,推理论证才能,运算求解才能,考查数形结合的思想,考查转化与化归的思想 . 【思路点拨】 1通过证明线线垂直证明结论：线面垂直,2作出二面角的平面角,再利用三角函数、余弦定理等学问求余弦值 . 或建立空间直角坐标系, 利用向量的坐标运算证明垂直和求出有关角的三角函数值. - 4 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 14 页精

12、选学习资料 - - - - - - - - - 【标准解答】方法一： 1如以下图,由PA底面ABCD得 PAAB .又PA AB知 PAB为等腰直角三角形,而点 E 是棱 PB 的中点,所以 AE PB . 由题意知 BC AB ,又 AB 是 PB 在面 ABCD 内的射影,由三垂线定理得BC PB ,从而 BC 平面 PAB,故BC AE ；由于 AE PB ,AE BC ,PBBC=B 所以AE 平面 PBC . 2由 1知BC 平面 PAB,又 AD BC,得AD 平面 PAB,故 AD AE .在Rt PAB中,1 1 2 2AE PB PA AB 1PA AB 2,所以 2 2,2

13、 2 2 2所以在Rt DAE中,DE AE AD 2 .在Rt CBE 中,CE BE BC 2,又 CD 2,所以 CDE 为等边三角形 .取 CE 的中点 F ,连结 DF ,就 DF CE . 因 BE BC 1,且BC BE,就 EBC 为等腰直角三角形,连结 BF ,就BF CE ,6DF CD sin所以 BFD 为所求的二面角的平面角 .连结BD,在 BFD 中,3 2,2 2 21 2 DF BF BDBF CE 2 2 cos BFD2 2 , BD BC CD 3,所以 2 DF BF3 33,故二面角B EC D 的平面角的余弦值为 3 . 方法二：1以 A 为坐标原点

14、,射线AB AD AP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴,P0,0,2,PC 2,a,2,就建立空间直角坐标系Axyz .如以下图 . 设D0, ,0, 就B2,0,0,C 2,a,0E2,0,2；于是AE2,0,222,BC0, ,0,22AE BC0,AE PC0,- 5 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以AEBC AEPC ,故 AE平面PBC. 2设平面 BEC 的法向量为 n ,由知,AE 平面 BEC,故可取 n 1 EA（2 2,2 22 2 .设平面 DEC 的法向量 n 2（x

15、2 , y 2 , z 2）,就 n 2 DC 0, n 2 DF DE 0 0 ,由 AD 1,得 D（0 ,1,0）,C（2 ,1,0）,x 2 0从而 DC（2 ,0,0）,DE（2 2, 1,2 2）,故 2 2 x 2 y 22 2 z 2 0,所以 x 2 0,z 2 2 y ,n n 2 3cos n n 2可取 y 2 1,就 n 2（ , ）,从而 n n 2 3. 【方法技巧】 1用几何法推理证明、运算求解；2空间向量坐标法,通过向量的坐标运算解题 . 9. 2022 重庆高考理科 9如图,四棱锥P ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA 底面 ABCD,PA AB 6

16、,点 E 是棱 PB 的中点 . 1求直线 AD 与平面PBC的距离；2假设AD3,求二面角AECD 的平面角的余弦值. 【命题立意】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、三垂线定理等,考查线面距离的求法、二面角的余弦值的求法,考查空间想象才能、推理论证才能、运算求解才能,考查函数与方程的思想、数形结合的思想方法、转化与化归的才能 . 【思路点拨】 1 把直线到平面的距离转化为点到平面的距离,查找过此点与平面垂直的直线；2作出二面角的平面角,再依据三角函数、余弦定理等求解 . 【标准解答】方法一： 1如图 1,在矩形ABCD中,AD BC,从而 AD 平面PBC,故求直线 AD 与平

17、面PBC的距离就是点A到平面PBC的距离 .由于PA底面ABCD,所以 PAAB ,PAAB6,由 PAAB 知PAB 为 等 腰 直 角 三 角 形 , 又 点 E 是 棱 PB 的 中 点 . 故AEPB ,又在矩形ABCD 中, BCAB,而 AB 是 PB 在底面 ABCD 上的射影,由三垂线定理得BCPB ,从而BC平面PAB,故BCAE ,从而AE平面PBC,故 AE 之长即为直线AD 与平面PBC的距离 .在Rt PAB中,- 6 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以1 1 2 2AE PB P

18、A AB 32 2,即直线 AD 与平面PBC的距离是 3 . 2过点 D 作DF CE ,交 CE 于 F ,过点 F 作 FG CE ,交 AC 于点 G ,就 DFG 为所求二面角的 平 面 角 . 因 为BC 平面 PAB, 又 AD BC , 得AD 平面 PAB, 故 AD AE , 从 而2 2 2 2DE AE AD 6,在Rt CBE中,CE BE BC 6,又由于 CD 6,所以 CDE3 2DF CD sin为等边三角形,故 F 为CE的中点,且 3 2 . 1 3FG AE FG由于AE 平面 PBC,故AE CE ,又 FG CE ,知 2 且FGAE,从而 2,且1

19、 1 2 2 3DG AC AD CDG 点 为 AC 的 中 点 . 连 结 DG , 就 在 Rt ADC 中 ,2 2 2 . 所 以2 2 2cos DFG DF FG DG 62 DF FG 3 . 方法二：I如图 2,以 A 为坐标原点,射线 AB AD AP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 A xyz .设 D 0, ,0,6 6就 B 6,0,0,C 6, a ,0,P 0,0 6, E 2 ,0,2 , 6 6AE ,0, , BC 0, ,0因此 2 2 , PC 6, a , 6,就 AE BC 0, AE PC 0,所以AE 平面 PBC

20、,又由于ADBC,所以AD 平面PBC,故直线 AD 与平面PBC的距离为点 A到平面 PBC 的距离,即为 AE 3. 2 因 为 ADAD 3, 就 D 0, 3,0, C 6, 3,0, 设 平 面AEC的 法 向 量 为 n 1 x y z 1 1 1 , 就6 x 1 3 y 1 0n 1 AC 0, n 1 AE 0,又 AC 6, 3,0, AE 2 6,0,2 6,所以 2 6x 12 6z 1 0,- 7 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以y 12x z 1x ,取x 12,就n 12,2

21、, 2,2 . 设平面EDC的法向量n 2x 2,y 2,z 2,就n 2DC0,n 2DE0.又DC 6,0,0,DE6,3,6,所以x 203y 26z 20,所以x 20,z 22y ,取6 2x 2222y21,就n 20,1,2.所以cosn n 2n 1n 26,所以二面角AECD 的平面角的余弦值3n n 26为 3 . 【方法技巧】 1用几何法推理证明、运算求解；会法向量在求空间角中的作用 . 2空间向量坐标法,通过向量的坐标运算解题,并体10. 2022 江西高考文科 如图,BCD 与MCDACMD都是边长为2 的正三角形,. B平面MCD平面BCD,AB平面BCD,AB2

22、31求直线 AM 与平面BCD所成的角的大小；2求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值. 【命题立意】此题主要考查空间几何体的线线、线面与面面 垂直关系及平行关系,考查空间线面角、二面角的问题以及有关的运算问题,考查空间向量的坐标运算,考查数形结合思 想,考查考生的空间想象才能、推理论证才能、化归转化才能和运算求解才能；【思路点拨】此题主要有两种方法,方法一：几何法1直接找出线面角,然后求解；2对二面角的求法思路,一般是分三步“ 作”,“ 证” ,“ 求”. 其中“ 作” 是关键,“ 证”是难点 .方法二：建立空间直角坐标系,利用空间向量中的法向量求解. 【标准解答】方法一： 1如图：取

23、CD中点O,连结OB OM ,就OBCD ,OM CD. 又平面MCD 平面BCD,就 MO 平面BCD,所以 MO AB ,A, B, O, M 共面 .延长 AM ,BO 相交于 E,连结 CE,DE,就 AEB 就是 AM 与 平面 BCD 所成的角 . OB=MO=EOMO1,EOOB3,所3 ,MO AB ,就EBAB22 3AB ,故AEB45. 以EB- 8 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 CE 是平面ACM与平面BCD的交线 . 由 1知, O 是 BE 的中点,就BCED 是菱形 . A

24、-EC-B 的平面角,设为. 作 BF EC 于 F,连结 AF ,就 AF EC, AFB 就是二面角由于 BCE=120 ,所以 BCF=60 . BFBCsin 603,2 5. AztanAB2,sinBF5所以,所求二面角的正弦值是2 55方法二：取 CD 中点 O,连结 OB ,OM ,就 OB CD ,OM CD,又平面MCD平面BCD, . BxCMyD就 MO 平面BCD.以 O 为原点,直线OC,BO ,OM 为 x 轴, y 轴, z 轴,建O立空间直角坐标系如图. OB=OM=3 ,就各点坐标分别为O 0,0,0,C1,0,0,M 0,0,3 ,B 0,-3 ,0,A0

25、,-3 ,23 ,1设直线 AM 与平面 BCD 所成的角为. 因AM 0,3 ,3 ,平面 BCD的法向量为n0,0,1.就有sincosAM nAMn32,所以45 . AMn622CM 1,0,3,CA 1,3, 2 3. n 1CMx3z0设平面 ACM 的法向量为n 1 , , x y z ,由n 1CA 得x3y2 3z0解得x3z ,yz,取n 1 3,1,1.又平面 BCD 的法向量为n0,0,1,就cosn nn 1n1n 1n5- 9 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设所求二面角为,就si

26、n1 122 5. 5511. 2022 江西高考理科 如图,BCD与MCD 都是边长为2 的正三角形, 平面MCD平面BCD, AB平面BCD,AB2 31求点 A到平面MBC的距离；2求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值【命题立意】此题考查空间几何体的线线、线面与面面垂直关系及平行关系,考查空间中点面距离,考查二面角的求解以及几何体的运算问题,考查空间向量的坐标运算,考查数形结合思想,考查考生的空间想象才能、推理论证才能、化归转化才能和运算求解才能；【思路点拨】此题主要有两种方法,方法一：几何法1将点面距离问题转化为体积相等的问题,降低直接求解的难度； 2对二面角的求法思路,一般是“

27、 作”,“ 证” ,“ 求”. 其中“ 作” 是关键,“ 证” 是难点 . 方法二：建立空间直角坐标系,利用空间向量,借助于法向量求解,使问题变得简洁 . 【标准解答】方法一： 1取CD中点O,连结 OB OM ,就 OB OM 3, OB CD MO CD 又平面MCD 平面BCD,就MO 平面 BCD,所以MO/ AB ,MO/平面ABCM O 到平面 ABC的距离相等作OHBC于 H ,连结 MH ,就 MHBC ABC得,求得OHOCsin 6032MH 32321522设点 A 到平面MBC的距离为d,由VA MBCVM1SMBCd1SABCOH332 15即1 1215d1 12

28、2 33,解得d3 223 225- 10 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2延长 AM BO 相交于 E ,连结 CE , DE , CE 是平面 ACM 与平面 BCD 的交线由 1知,O是 BE的中点,就四边形 BCED 是菱形作BF EC 于 F ,连结 AF ,就 AF EC , AFB 就是二 面角A EC B 的平面角,设为由于 BCE 120,所以 BCF 60AB 2 5tan 2,sinBF 2sin 60 3 , BF 5方法二：取CD中点O,连结 OB OM ,就 OB CD OM

29、CD 又平面MCD 平面BCD,就MO 平面BCD以O为原点,直线 OC,BO,OM 为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图OB OM 3,就各点坐标分别为C 1 0, 0, , M 0 , 0 , 3 , B 0 , 3 , 0 , A ,0 3 , 2 3 . 1 设 n x , y , z 是 平 面 MBC 的 法 向 量 , 就 BC ,1 3 0, , BM ,0 ,3 3 . 由 n BC 得x 3y 0 ; 由 n BM 得 3 y 3 z 0 . 取 n 3 , 1,1 . BA 0 0, , 2 3 ,d BA n 2 3 2 15 .就 n 5 52 CM 0,1 ,

30、 3 , CA ,1 3 , 2 3 . 设平面 ACM 的法向量为 n 1 x , y , z , 由 n 1 CM , n 1 CAx 3 z 0得 x 3 y 2 3 z 0 解得 x 3 z , y z , 取 1n 1,1,3 . 又平面 BCD 的法向量为 n 2 0 0, 1, .所以 cos n 1 , n 2 nn 11 n n2 2 15 .设所求二面角为 , 就 sin 25 5 .12. 20 10 四 川 高 考 理 科 18 已 知 正 方 体ABCD A B C D 的棱长为 1,点 M 是棱 AA 的中点,点O是对角线 BD 的中点 . 1求证：OM为异面直线

31、AA 和 BD 的公垂线；- 11 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2求二面角MBCB 的大小；3求三棱锥M OBC 的体积 . 【命题立意】此题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础学问,并考查空间想象才能和规律推理才能,考查应用向量学问解决数学问题的才能,转化与化归的数学思想 .【思路点拨】方法一：几何法 . 问题 1,分别证明OM AA , OM BD 即可 . 问题2第一利用三垂线定理,作出二面角M BC B 的平面角,然后通过平面角所在的直角三角形,求出平面角的一个三角

32、函数值,便可解决问题 . 问题 3 挑选便于运算的底面和高,观看图形可知,OBC 和 OA D 都在平面 BCD A 内,且S OBC S OA D,故 V M OBC V M OA D V O MA D,利用三棱锥的体积公式很快求出 V O MA D . 方法二：建立空间直角坐标系,利用空间向量中的法向量求解 . 【标准解答】方法一： 1连结AC.取AC的中点K,就K为BD的中点,连结OK. 点M 是棱 AA 的中点,点 O 是 BD 的中点,由AAAK ,得 OMAA . AKBD AKBB ,且 BD BB =B AK平面BDD B. AKBD .OMBD . 又OM与异面直线 AA 和

33、 BD 都相交,故OM 为异面直线 AA 和 BD 的公垂线,2取 BB 的中点N,连结MN,就MN平面BCC B,过点N作NHBC 于 H ,连结 MH ,就由三垂线定理得,BCMH . MHN 为二面角 MBCB 的平面角 . - 12 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - MN1,NHBNsin 45122. 224MN 1tan MHN 2 2NH 2在Rt MNH中 .tan4故二面角M BC B 的大小为 arctan 2 2 . 3易知,S OBC S OA D ,且 OBC 和 OA D 都在平面

34、 BCD A 内,1h点O到平面 MA D 的距离 2,1 1V M OBC V M OA D V O MA D S MA D h3 24 . 方法二：以点 D 为坐标原点,建立如以下图的空间直角坐标系 D xyz ,就 A 1,0,0,B 1,1,0,C 0,1,0,A 1,0,1,C 0,1,1,D 0,0,11 点 M 是棱 AA 的中点,点O是 BD 的中点,M1,0,1, O1 1 1 , ,2 2 2,OM1,1,0, AA0,0,1,BD 1, 1,1. 222OMAA0,OMBD1100, 22OMAA ,OMBD , 又MO与异面直线AA 和 BD 都相交,故MO 为异面直线

35、AA 和 BD 的公垂线,2设平面BMC的一个法向量为n 1 , , x y z ,BM0,1 1, 2,BC 1,0,1. n 1BM0,y1z0,2n 1BC0.即xz0.- 13 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 取z2,就x2,y1.n 12,1,2. 取平面BC B 的一个法向量n 20,1,0. ,设平面OBC的一个法向量为n 3x y z 1,cosn n 12n n2111,n n293由图可知,二面角MBCB 的平面角为锐角,故二面角MBCB 的大小为arccos13 . 3易知,SOBC1S四边形BCD A1122444BD 1 1, 1,1,BC 1,0,0, n3BD0,x 1y 1z 10,n3BC0. 即x 10.取z 11,就y 11,从而n 30,1,1. 点 M 到平面OBC的距离dBM n 3112n 322 2. V MOBC1SOBCd1211. 3342 224- 14 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 14 页