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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 8.圆锥曲线方程 学问要点一、椭圆方程 . PF1PF22 aF1 F2方程为椭圆,b0 . 02）. 1. 椭圆方程的第肯定义：PF1PF22 aF1 F2无轨迹,PF1PF22 aF1 F2以F1 , F2 为端点的线段椭圆的标准方程：i. 中心在原点,焦点在x 轴上：x2y21 aa2b2ii. 中心在原点,焦点在y 轴上：y2x21 ab0 . a2b2一般方程：Ax2By21 A,0B0. 应是属于椭圆的标准方程：x2y21的参数方程为xacos（一象限2b2ybsina顶点：a0,0,b或0,ab,0 . 轴：对称轴：x 轴, y
2、轴；长轴长2 ,短轴长2 . 焦点：c,0c0,或,0c,0c . 焦距：F1F22c ,ca2b2. 准线：xa2或ya2. cc离心率：ec 0e1. a焦点半径：名师归纳总结 i. 设Px0y0为椭圆x2y21 ab0 上的一点,F1,F2为左、右焦点,就PF1aex 0,PF2aex 0a2b2ii. 设P x0y0为椭圆x2y21ab0上的一点,F1,F2为上、下焦点,就PF1aey0,PF2aey 02a2b由椭圆其次定义可知：pF1e x 0a2aex 0x00 ,pF2e 2 ax0ex 0ax00 归结起来为 “左加右减 ”. cc留意：椭圆参数方程的推导：得Nacos,bs
3、in方程的轨迹为椭圆. 通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：d2b2c,b2和c ,b2a2aa 共 离 心 率 的 椭 圆 系 的 方 程 ： 椭 圆x2y21 ab0 的 离 心 率 是ecca2 b2, 方 程a2b2第 1 页,共 6 页ax2y2tt是大于 0 的参数,ab0的离心率也是ec我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. 22aba如 P 是椭圆：x2y21上的点 .F1,F2为焦点,如F1PF2,就PF1F2的面积为b2tan2（用22ab余弦定理与PF1PF22a可得） . 如是双曲线,就面积为b2cot2. - - - - - - -精选学习资料 - - - -
4、 - - - - - 二、双曲线方程. ybcos , bsin acos , asin1. 双曲线的第肯定义：PF1PF22 aF1 F2方程为双曲线NxPFPF22 aF1 F无轨迹12 双曲线 标准方程：PF1PF22 aF1 F2以F1 ,F2的一个端点的一条射线N的轨迹是椭圆x2y20 ,y a2x21 a,b0. 1a,ba2b22b2一般方程：Ax2Cy21AC0 . i. 焦点在 x 轴上：顶点：a,0,a ,0焦点：c ,0,c ,0 准线方程xa2渐近线方程：xy0或x2y20cba2b2aii. 焦点在 y 轴上：顶点：0,a,0,a. 焦点：0,c,0c. 准线方程：y
5、a2. 渐近线方程：yx0或y2x20,caa2b2b参数方程：xasec或xbtan.ybtanyasec轴x,y为对称轴,实轴长为2a, 虚轴长为 2b,焦距 2c. 离心率ec. a准线距2a2（两准线的距离）；通径2b2. ca参数关系c2a2b2,ec. a焦点半径公式：对于双曲线方程x2y21a2b2（F1,F2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“ 长加短减” 原就：（与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号运算,而双曲线不带符号）MF1ex 0a构成满意xMF1MF22aMF1ex0ayxyxyMM2xMF2ex0aMF2ex0aF1MF1ey0aMMMF2ey0aF
6、1F2MF1ey0a2y2a2称为等轴双曲线,其渐近线方程为F2e. MF2ey0a,离心率等轴双曲线：双曲线共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲名师归纳总结 线 .x2y2与x2y2互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线：y2x2y20. 第 2 页,共 6 页2222a2b2ababx2y20的渐近线方程为x20假如双曲线的渐近线为共渐近线的双曲线系方程：2b22b2aa- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - xy0时,它的双曲线方程可设为x2y20. yaba2b2例如：如双曲线一条渐近线为y1x且过p ,3
7、1,求双曲线的方程？413222531x解：令双曲线的方程为：x2y20,代入 ,31得x2y21. F182F242直线与双曲线的位置关系：3区域：无切线,2 条与渐近线平行的直线,合计2 条；区域：即定点在双曲线上,1 条切线, 2 条与渐近线平行的直线,合计3 条；2 条；区域： 2 条切线, 2 条与渐近线平行的直线,合计4 条；区域：即定点在渐近线上且非原点,1 条切线, 1 条与渐近线平行的直线,合计区域：即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线. 0、2、3、4 条 . 小结： 1.过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有2.如直线与双曲线一支有交点,交点为二
8、个时,求确定直线的斜率可用代入“”法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. 如 P 在双曲线x2y21,就常用结论2b2= m . na1：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b. PF2：P 到焦点的距离为m = n,就 P 到两准线的距离比为mn. 简证：d1ed2PF2e名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三、抛物线方程 . 3. 设p0,抛物线的标准方程、类型及其几何性质：x2,2pyxx22pyxy22pxy22px图形F 0y y yyOxxOOF 0 ,焦点Op 2p 2F p 2, 0 Fp,02名
9、师归纳总结 准线xpxpeypyp第 4 页,共 6 页2222范畴x,0yRx0,yRxR , y0xR, y0对称轴x 轴y 轴（0,0）顶点离心率1焦点PFpx1PFpx1PFpy 1PFpy122222注：ay2bycx顶点4acab2b.42apy p0就焦点半径为PFyP. y22px p0就焦点半径PFxP;x222通径为 2p,这是过焦点的全部弦中最短的. pt2（或x2pt2）（ t 为参数） . y22px（或x22py）的参数方程为x2y2pty2pt- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 四、圆锥曲线的统肯定义 . 4. 圆锥曲线的统
10、肯定义：平面内到定点 F 和定直线l的距离之比为常数 e 的点的轨迹 . 当 0 e 1 时,轨迹为椭圆；当 e 1 时,轨迹为抛物线；当 e 1 时,轨迹为双曲线；当 e 0 时,轨迹为圆（e c,当 c ,0 a b 时） . a5. 圆锥曲线方程具有对称性 . 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的 .由于具有对称性,所以欲证 AB=CD, 即证 AD 与 BC 的中点重合即可 . 注： 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线1到两定点 F1,F2的距离之和为定1到两定点 F1,F2的距离之差的名师归纳总结 定义值 2a2a|F1F2|的点的
11、轨迹肯定值为定值2a02a|F1F2|的与定点和直线的距离第 5 页,共 6 页2与定点和直线的距离之比为定点的轨迹2与定点和直线的距离之比为标准值 e 的点的轨迹 .（0e1）相等的点的轨迹. x2y21ab0 x2y21a0,b0 y2=2px 方方程a2b2a2b2参数x ay b 参数cos sin 为离心角）x a secy b tan 参数 为离心角）x y2 2pt pt2t 为参数 程方程范畴 a x a, b y b |x| a,yR x 0 中心原点 O（0, 0）原点 O（0,0）0,0 顶点a,0, a,0, 0,b , 0, ba,0, a,0对称轴x 轴, y 轴；长轴长2a,短轴长 2b x 轴,y 轴;实轴长 2a, 虚轴长 2b. x 轴焦点F1c,0, F 2 c,0F1c,0, F2 c,0F p 20,焦距2c （c=a2b2）2c （c=a2b2）e=1 离心率ec0e1ece1 准线aaxp 2x=a2x=a2cc渐近线raexy=bx rxpa焦半径rexa2通径2b22 b22p aa- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 焦参数a2a2P cc名师归纳总结 1.方程 y2=ax 与 x2=ay 的焦点坐标及准线方程. 第 6 页,共 6 页2.共渐近线的双曲线系方程. - - - - - - -