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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 一、填空题（每道题高等数学 II 试题 3 分,共计 15 分）2 x1设zf x y 由方程xyyzexz确定,就z；x2函数u2 xy 2z 3xyz在点P 00, 1, 2沿方向l的方向导数最大；3L 为圆周x22 y4,运算对弧长的曲线积分Lx2y2ds= ；4已知曲线xt yt2,z3 t 上点 P 处的切线平行于平面x2yz2,就点P的坐标为或；5 设f x 是 周 期 为2 的 周 期 函 数 , 它 在 区 间 1, 1的 定 义 为f x 21x0,就f x 的傅里叶级数在x1收敛于；x0x1二、解答以下各题（每道题7 分,共
2、 35 分）1设fx ,y 连续,交换二次积分I1dx2xx 2f x y dy的积分次序；0112运算二重积分Dx22 y dxdy,其中D是由y轴及圆周x2y2 11所围成的在第一象限内的区域；3设是由球面z1x2y2与锥面z2 xy2围成的区域,试将三重积分If x2y22 z dxdydz化为球坐标系下的三次积分；4设曲线积分Lf exydxf x dy 与路径无关,其中f x 具有一阶连续导数,且f01,求f x ；5求微分方程y2yyex的通解；三 、 10 y 2 z 2 4 分 计 算 曲 面 积 分2 y dzdxzdxdy, 其 中 是 球 面z0 的上侧；四、10 分运算
3、三重积分xyz dxdydz,其中由zx22 y 与z1围成的区域；名师归纳总结 五、10 分求z2 xy21在y1x 下的极值；第 1 页,共 4 页z1x22 y 与平面z0所围立体的表面积；六、10 分求有抛物面- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - xn1七、10 分求幂级数 n 1 n 3 n的收敛区间与和函数；高等数学 II 试题解答一、填空题（每道题 3 分,共计 15 分）z y ze xz1设 z f x y 由方程 xy yz e xz确定,就 x y xe xz；2 函 数 u 2 xy 2z 3xyz 在 点 P 0 0 , 1 ,
4、沿 方 向l 2 4,0,-12 的方向导数最大；3 L 为圆周 x 2y 24,运算对弧长的曲线积分 L x 2y 2ds =8；2 34已知曲线 x t y t , z t 上点 P 处的切线平行于平面 x 2 y z 2,就1 1 1 , , 点 P的坐标为 1,1, 1或 3 9 27 ；5 设 f x 是 周 期 为 2 的 周 期 函 数 , 它 在 区 间 1, 1的 定 义 为f x 2 1 x 0 3x 0 x 1,就 f x 的傅里叶级数在 x 1 收敛于 2 ；二、解答以下各题（每道题7 分,共 35 分）解：6设fx ,y 连续,交换二次积分I1dx2xx 2f x y
5、 dy的积分次序；011I1dx2xx 2f x y dy0111dy01 y12f x y dx2dy2yf x y dx0107运算二重积分Dx22 y dxdy,其中 D 是由y轴及圆周x2y2 11所围成的在第一象限内的区域；解：D2 x2 y dxdy2d2sin2 r dr160098设是由球面z1x2y2与锥面z2 xy2围成的区域,试将三重If x2y22 z dxdydz积分化为球坐标系下的三次积分；解：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - Ifx2y2z2dxdydz得 y2 x2d4d1fr2r2s
6、indr0009设曲线积分Lf exydxf x dy 与路径无关,其中f x 具有一阶连续导数,且f01,求f x ；解：Pf x x ey ,Qf x ；由Lf x x e ydxf x dy与路径无关,Q xP , 即fx fx xe； 解 微 分 方 程 0yyx e , 得 其 通 解cex1ex；又f01,得c1；故fx1ex1ex222210求微分方程y2yyex的通解；解：y2yy0的通解为yc 1x c x e ；设原方程的一个特解y*cex,代入原方程,得c1；其通解为4yc 1c x ex1ex4三 、 10分 计 算 曲 面 积 分2 y dzdxzdxdy, 其 中
7、是 球 面y22 z4z0的上侧；解：补上1:z0 x2y24下侧；2 y dzdxzdxdy2 y dzdxzdxdy2 y dzdxzdxdy .2分112y1 dxdydz0.3分2ydxdydzdxdydz对称性01616.3分33四、10 分运算三重积分xyz dxdydz,其中由zx22 y 与z1围成的区域；解：名师归纳总结 xyz dxdydzdzdxdydz .2 分第 3 页,共 4 页xdxdydzydxdydz对称性00zdxdydz21rdr1zdz3.8 分00r2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 五、10 分求z2 xy2
8、1在y1x 下的极值；名师归纳总结 解：z2 x1x 212 x22 x21第 4 页,共 4 页令z4x20,得x1；z40,x1为微小值点；故zx2y 222在y1x 下的微小值点为1 1 , 2 2 ,微小值为32 ；六、10 分求有抛物面z1x22 y 与平面z0所围立体的表面积；解：z1x2y2 z0的面积为S 1dS142 x4y dxdy 2.4 分x 2y 212d1r12 4 r dr.2 分005 5 61.1 分5 51平面z0部分的面积为；故立体的表面积为6；xn1七、10 分求幂级数n1nn 3的收敛区间与和函数；解：收敛区间为 3,3；设n1xn1s x ,xs x n1n xn1n x131n n 3n n 3n 3x ；故s x ln31 lnx13x x0；xx03- - - - - - -