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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学重点学问与结论分类解析河南省信阳市 张宜玉一、集合与简易规律1集合的元素具有确定性、无序性和互异性或 B；求集合的子2对集合 A、B, AB时,必需留意到 “极端 ” 情形： A集时是否留意到是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集3对于含有 n 个元素的有限集合M ,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 2 n,2 n1,2 n2 . 2 n 1,4 “ 交 的 补 等 于 补 的 并 , 即 C U A B C A C B ” ； “ 并 的 补 等 于 补 的 交 , 即C U A B C A C B ”5判定命题的真
2、假 关键是 “ 抓住 关联字词 ”；留意： “不 或 即 且 ,不 且 即 或”6“ 或命题 ”的 真假特点是 “ 一真即真,要假全假 全真 ”；“ 非命题 ” 的真假特点是 “一真一假 ” ；“且命题 ”的真假特点是 “ 一假即假,要真7四种命题 中“ 逆 者 交换 也 ”、“ 否 者 否认 也”原命题等价于逆否命题,但原命题与逆命题、否命题都不等价 反证法分为三步： 假设、推矛、得果留意 ：命题的否认是“命题的非命题,也就是 条件不变,仅否认结论 所得命题 ”,但否命题是 “既否认原命题的条件作为条件,又否认原命题的结论作为结论的所得命题” 8充要条件二、函数,1指数式、对数式,amnam
3、,am1 ma n,alog a NNnnb aNlogaNb a0,a1,N0,0 a1, log 10, logaa1, lg 2lg51 , logexlnx ,logablogcblogcalogambnnlogabm2 1映射 是 “ 全部射出 加 一箭一雕 ”；映射中第一个集合A 中的元素必有像,但其次个集合 B 中的元素不肯定有原像A 中元素的像有且仅有下一个,但B 中元素的原像可能没第 1 页 共 18 页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 有,也可任意个 ；函数是 “ 非空数集上的映射” ,其中 “
4、 值域是映射中像集B的子集 ”2函数图像与x 轴垂线至多一个公共点,但与y 轴垂线的公共点可能没有,也可任意个3函数图像肯定是坐标系中的曲线,但坐标系中的曲线不肯定能成为函数图像3单调性和奇偶性1奇函数在关于原点对称的区间上假设有单调性,就其单调性完全相同偶函数在关于原点对称的区间上假设有单调性,就其单调性恰恰相反留意：1确定函数的奇偶性,务必先判定函数定义域是否关于原点对称确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等 对于偶函数而言有：fxf x f|x|2假设奇函数定义域中有0,就必有f00即 0f x 的定义域时,f00是f x为奇函数的必要非充分条件、3确定函数的单调性或单调区间,在
5、解答题中常用：定义法取值、作差、鉴定导数法；在挑选、填空题中仍有：数形结合法图像法、特殊值法等等4既奇又偶函数有无穷多个f 0,定义域是关于原点对称的任意一个数集7复合函数的单调性特点是：“ 同性得增,增必同性；异性得减,减必异性”复合函数的奇偶性特点是：即复合有意义“ 内偶就偶, 内奇同外 ”复合函数要考虑定义域的变化；4对称性与周期性以下结论要消化吸取,不行强记么y1函数yfx与函数yfx的图像关于直线x0 y 轴对称推广一：假如函数yfx对于一切 xR ,都有 faxf bx 成立,那fx的图像关于直线xa2b由 “ x 和的一半xax2 bx 确定 ”对称a推 广 二 ： 函 数yfa
6、x, yf bx的 图 像 关 于 直 线xb2a 由xbx确定对称2函数yfx与函数yfx的图像关于直线y0 x 轴对称3函数yfx与函数 yfx 的图像关于坐标原点中心对称推广： 曲线f x y , 0关于直线 yxb 的对称曲线是fyb xb0；第 2 页 共 18 页名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 曲线f x y0关于直线 yxb 的对称曲线是fyb ,xb05类比 “ 三角函数图像 ” 得：假设 y f x 图像有两条对称轴 x a x b a b ,就 y f x 必是周期函数,且一周期为 T 2|
7、a b 如 果 y f x 是 R 上 的 周 期 函 数 , 且 一 个 周 期 为 T, 那 么f x nT f x n Z 特 别 ： 假 设 f x a f x a 0 恒 成 立 , 就 T 2 a 假 设f x a 1 a 0 恒成立,就 T 2 a 假设 f x a 1 a 0 恒成立,就f x f x T 2 a 三、数 列1数列的通项 、数列项的项数,递推公式与递推数列,数列的通项与数列的前 n 项和公式的关系：a n SS 1n , nS n 11 , n 2必要时请分类争论 留意：a n a n a n 1 a n 1 a n 2 a 2 a 1 a ；a n a n a
8、 n 1 a 2 a 1a n 1 a n 2 a 12等差数列 a n 中：1等差数列公差的取值与等差数列的单调性2a nn 1a 11n1 damnm d ；pqmnapaqa ma 3akm 、 ka n也成等差数列4两等差数列对应项和差组成的新数列仍成等差数列A n5a 1a22a m,akak1pakm1,仍成等差数列dn ,a nS 2n1 1,6S nn a 1a n,S nna 1n n1d ,S ndn2 a 12222 nf n a nf2n1aq0；Spq S qp pq Sp qpq ；B nb n7app pqq aq第 3 页 共 18 页名师归纳总结 - - -
9、- - - -第 3 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - S m nS mS nmnd 8“ 首正 ” 的递减等差数列中,前“ 首负 ”的递增等差数列中,前n 项和的最大值是全部非负项之和；n 项和的最小值是全部非正项之和；9有限等差数列中,奇数项和与偶数项和的存在必定联系,由数列的总项数是偶数仍是奇数打算假设总项数为偶数,就“ 偶数项和 ” “ 奇数项和 ” 总项数的一半与其公差的积 ；假设总项数为奇数,就“ 奇数项和 ” “偶数项和 ” 此数列的中项10两数的等差中项惟一存在在遇到三数或四数成等差数列时,常考虑选用“中项关系 ”转化求解11判定数列是否是等差数
10、列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法也就是说数列是等差数列的充要条件主要有这五种形式3等比数列 a n 中：1等比数列的符号 特点 全正或全负或一正一负, 等比数列的首项、公比与等比数列的单调性 2a na na qn1n 1a qnm；pqmnbpab qb mb a bn成等3 |、ak1m、 ka n成等比数列； n 、b n成等比数列比数列4两等比数列对应项积商组成的新数列仍成等比数列5a 1a2a m,akak1akm1,成等比数列na 1 q1na 1 q16S na 1a qa 11qn q11a 1qn1a 1 q11q1qqq2ban3 b2abn2bn1特
11、殊：anbnab an1an7S mnS mm q S nS nn q S 前 n 项积的最大值是全部大于或等于1 的项的8“ 首大于 1” 的正值递减等比数列中,积； “首小于 1” 的正值递增等比数列中,前n 项积的最小值是全部小于或等于1 的项的积；9有限等比数列中,奇数项和与偶数项和的存在必定联系,由数列的总项数是偶数仍是奇数打算假设总项数为偶数,就“ 偶数项和 ” “ 奇数项和 ” 与“ 公比 ” 的积 ；假设总项数为奇数,就 “ 奇数项和 ” “首项 ”加上 “公比 ” 与“偶数项和 ” 积的和第 4 页 共 18 页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 18 页
12、精选学习资料 - - - - - - - - - 10并非任何两数总有等比中项仅当实数a b 同号时,实数a b 存在等比中项对同号两实数 a b的等比中项不仅存在,而且有一对 G ab 也就是说,两实数要么没有等比中项非同号时, 假如有,必有一对同号时在遇到三数或四数成等差数列时,常优先考虑选用“ 中项关系 ” 转化求解11判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法也就是说数列是等比数列的充要条件主要有这四种形式4等差数列与等比数列的联系列 a1假如数列 a n成等差数列,那么数列AanA a n总有意义必成等比数列2假如数列 a n成等比数列,那么数列loga|a
13、n|a0,a1必成等差数列3假如数列 a n既成等差数列又成等比数列,那么数列a n是非零常数数列；但数n 是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件4假如两等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数假如一个等差数列与一个等比数列有公共项顺次组成新数列,那么常选用“由特殊到一般的方法 ” 进行研讨,且以其等比数列的项为主,探求等比数列中那些项是他们的公共项,并构成新的数列留意：1公共项仅是公共的项,其项数不肯定相同,即争论 a n b 但也有少数问题中争论 a n b ,这时既要求项相同,也要求项数相同 2
14、三四个数成等差 比的中项转化和通项转化法5数列求和的常用方法：11公式法 ：等差数列求和公式三种形式2,32n2 12 n1 6n n12n1,等比数列求和公式三种形式,123n1 2n n1,2 12352n12 n ,1352n12分组求和法 ：在直接运用公式法求和有困难时,常将 一起,再运用公式法求和“ 和式 ”中 “同类项 ”先合并在3倒序相加法 ：在数列求和中,假设和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数 第 5 页 共 18 页名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 列的通项与组合数相关联,就常可考虑选用倒序
15、相加法,发挥其共性的作用求和这也是等差数列前 n 和公式的推导方法 4错位相减法 ：假如数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法,将其和转化为“ 一个新的的等比数列的和” 求解留意：一般错位相减后, 其中 “ 新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！这也是等比数列前 n和公式的推导方法之一5裂项相消法 ：假如数列的通项可“ 分裂成两项差 ”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和常用裂项形式有：1 n n11 nn11,1 的关系,必要时分类讨1 n nk1 1 k nn1k,特殊声明：运用等比数列求和公式,务必检查其公比与论6通项转换
16、法；四、三角函数1终边与 终边相同的终边在 终边所在射线上2 k k Z 终边与 终边共线的终边在 终边所在直线上终边与 终边关于 x 轴对称 2 k k Z 终边与 终边关于 y 轴对称 2 k k Z 终边与 终边关于原点对称 2 k k Z 一般地：终边与 终边关于角 的终边对称 2 2 k k Z 与 2 的终边关系由 “ 两等分各象限、一二三四”确定2弧长公式：l | | R ,扇形面积公式：S 12 lR 1 |2 | R ,1 弧度 1rad257.3 3三角函数符号特点是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正留意：sin15 cos75 6 2 ,sin75 cos15 6
17、2,4 4tan15 cot 75 2 3, tan75 cot15 2 3 ,sin18 5 144三角函数线的特点 是：正弦线 “站在 x 轴上起点在 x 轴上 ” 、余弦线 “ 躺在 x 轴上起第 6 页 共 18 页名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 点是原点 ” 、正切线 “ 站在点A 1,0处起点是A ” 务必重视 “三角函数值的大小与单位圆上相应点的坐标之间的关系, 正弦 纵坐标 、 余弦 横坐标 、 正切 纵坐标除以横坐标之商”；务必记住 ：单位圆中角终边的变化与 sin cos 值的大小变化的关系为
18、锐角 sin tan5三角函数同角关系中,平方关系的运用中,务必重视 “ 依据已知角的范畴和三角函数的取值,精确确定角的范畴,并进行定号”；6三角函数诱导公式的本质是：奇变偶不变,符号看象限7三角函数变换主要是：角、函数名、次数、系数常值的变换,其核心是 “角的变换 ”.角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换如 ,2 ,2 ,22,2 2 2 等常值变换主要指“ 1”的变换：2 2 2 21 sin x cos x sec x tan x tan x cot x tan sin cos0 等4 2三角式变换主要有：三角函数名互化 切割
19、化弦 、三角函数次数的降升降次、 升次、运算结构的转化和式与积式的互化解题时本着 “ 三看 ” 的基本原就来进行 : “看角、看函数、看特点 ” ,基本的技巧有 :巧变角 ,公式变形使用 ,化切割为弦 ,用倍角公式将高次降次留意 ：和差 角的函数结构与符号特点；余弦倍角公式的三种形式选用；降次升次公式中的符号特点“正余弦 三兄妹 sin x cos sin cos x 的联系 ”常和三角换元法联系在一起 t sin x cos x 2, 2,sin x cos x2 2帮助角公式中帮助角的确定：a sin x b cos x a b sin x其中 角所在的象限由 a, b 的符号确定,角的值
20、由 tan b确定在求最值、 化简时起着重要作用尤a其 是 两 者 系 数 绝 对 值 之 比 为 1 或 3 的 情 形 A sin x B cos x C 有 实 数 解2 2 2A B C8三角函数性质、图像及其变换：1三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、有界性和周期性留意：正切函数、 余切函数的定义域；肯定值对三角函数周期性的影响：一般说来,第 7 页 共 18 页名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 某一周期函数解析式加肯定值或平方,其周期性是：弦减半、切不变 既为周期函数又是偶函数的函数自变量加肯定值,
21、x其周期性不变； 其他不定 如ysin2x,ysinx的周期都是, 但ysinxcosxysinxcosx的 周 期 为2,y=|tanx| 的 周 期 不 变 , 问 函 数y=cos|x|,ysinx2,ysin,ycosx,y=cos|x|是周期函数吗？2三角函数图像及其几何性质：3三角函数图像的变换：两轴方向的平移、伸缩及其向量的平移变换4三角函数图像的作法：三角函数线法、五点法 五点横坐标成等差数列和变换法9三角形中的三角函数：1内角和定理 ：三角形三角和为,任意两角和 与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余锐角三角形 三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是
22、钝角 任意两边的平方和大于第三边的平方2正弦定理 ：a b c 2 RR 为三角形外接圆的半径sin A sin B sin C留意：已知三角形两边一对角,求解三角形时,假设运用正弦定理,就务必留意可能有两解3余弦定理 ：a2b2c22 bccos ,cosA2 b2 c2 bca2 bc2 a21等,2 bc常选用余弦定理鉴定三角形的类型4面积公式：S1 2ah a1 2absinCabc 4 R五、向量1向量运算的几何形式和坐标形式,请留意 ：向量运算中向量起点、终点及其坐标的特点2 几 个 概 念 ： 零 向 量 、 单 位 向 量 与 AB 共 线 的 单 位 向 量 是|AB, 特
23、别 ：AB|ABACABAC、平行共线向量无传递性,是由于有0 、相等向量a 在 b 上的ABACABAC有传递性 、相反向量 、 向量垂直 、以及 一个向量在另一向量方向上的投影投影是acosa ba bR b第 8 页 共 18 页名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3两非零向量平行共线的充要条件a/baba b2|a| |2x x 2y y 20两个非零向量垂直的充要条件a b a b 0 | a b | | a b | x x 1 2 y y 1 2 0特殊：零向量和任何向量共线a b 是向量平行的充分不必要
24、条件 . 4平面对量的基本定理：假如 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量 a,有且只有一对实数 1、2,使 a= 1e12e25三点 A、 、C 共线 AB、AC 共线；向量 PA PB PC 中三终点 A、 、C 共线 存在实数、使得：PA PB PC且 1 2 26向量的数量积：| a | a a ,a b | a | b |cos x x 2 y y ,cos| a a b| b | x 1 2 x xy 21 2 y yx 2 2 2y 2 2,a 在 上的投影 b | a |cos a b a b| b | x xx 22 2 y yy 2 2 2
25、留意 ：a b 为锐角 a b 0 且 a b、 不同向；a b 为直角 a b 0 且 a b 0；a b 为钝角 a b 0 且 a b、 不反向；a b 0 是 a b 为钝角的必要非充分条件向量运算和实数运算有类似的地方也有区分：一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量, 这是题目中的自然条件,要留意运用；对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两 边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量；向量的“ 乘法 ” 不满意结合律,即a b.c a.b c,切记两向量不能相除相约 7 |a|b| |ab| |a|b|第 9 页 共 18
26、 页名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 留意 ： a b、 同向或有 0|ab| |a|b|a|b| |ab ；a b、 反向或有 0|ab| |a|b|a|b| |ab ；ABC 的重|b 这些和实数集中类似a b、 不共线|a|b| |ab| |a|P为P P 的中点8.中点坐标公式xx 12x 2,MPMP 12MP 2yy 12y 2ABC 中, ABAC过 BC 边中点； |AB|AC | |AB|AC|；ABACABAC与AB 共线的单位向量是|AB|PG1 3PAPBPCG 为AB心；特殊PAPBPC0
27、P 为ABC 的重心BAC 的角平分线所在直PA PBPB PCPC PAP 为ABC 的垂心；|AB|AC |0所在直线过ABC 的内心 是ABAC线；|AB PC|BC PA|CA PB0ACPABC 的内心SABC1AB ACsinA1AB22AB AC222六、不等式1 1解不等式是求不等式的解集,最终务必有集合的形式表示；往是不等式对应方程的根或不等式有意义范畴的端点值不等式解集的端点值往2解分式不等式fxaa0的一般解题思路是什么？移项通分,分子分母分解gx因式, x 的系数变为正值,标根及奇穿过偶弹回；3含有两个肯定值的不等式如何去肯定值？一般是依据定义分类争论、平方转化或换元转
28、化 ；4解含参不等式常分类等价转化 ,必要时需分类争论留意：按参数争论,最终按参数取值分别说明其解集,但假设按未知数争论,最终应求并集第 10 页 共 18 页名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2利用重要不等式ab2ab以及变式aba2b2等求函数的最值时,务必留意 a,bR或 a , b 非负,且 “等号成立 ”时的条件是积ab 或和 ab 其中之一应是定值一依据目标不等式左右的运算结构选正二定三等四同时3常用不等式有：a222 ba2bab1 a21 b用a、b、cR,a2b2c2abbcca 当且仅当 ab
29、c 时,取等号4比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：法、分析法5含肯定值不等式的性质：差比较法 、商比较法、函数性质法、综合a、b 同号或有 0 | a b | | a | | | | a | | b | | a b ；a、b 异号或有 0 | a b | | a | | b | | a | | b | | a b 留意：不等式恒成立问题的常规处理方式？常应用方程函数思想和“ 别离变量法 ” 转化为最值问题 6不等式的恒成立 ,能成立 ,恰成立等问题1恒成立问题假设不等式fxA在区间 D 上恒成立 ,就等价于在区间D 上fxminA假设不等式fxB在区间 D 上恒成立 ,就等价于在区间D
30、上fxmaxB2能成立问题假设在区间 D 上存在实数 x 使不等式fxA成立 ,即fxA在区间 D 上能成fxB成立 ,即fxB立, ,就等价于在区间D上fxmaxA在区间 D 上能成假设在区间 D 上存在实数x使不等式立, ,就等价于在区间D 上的fxminB 3恰成立问题假设不等式fxA在区间 D 上恰成立 , 就等价于不等式fxA的解集为 D 第 11 页 共 18 页名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 假设不等式fxB在区间 D 上恰成立 , 就等价于不等式fxB的解集为 D , 七、直线和圆1 直线倾斜角
31、与斜率的存在性及其取值范畴xx 0,；直线方向向量的意义a1, 或0,10 及其直线方程的向量式yy 0a a 为直线的方向向量 应用直线方程的点斜式、斜截式设直线方程时,一般可设直线的斜率为 线垂直于 x 轴时,即斜率 k 不存在的情形？k,但你是否留意到直2知直线纵截距b ,常设其方程为ykxb 或x0；知直线横截距x ,常设其方程为x 0,y0,常设其xmyx 直线斜率k 存在时,m为 k 的倒数或y0知直线过点方程为yk xx 0y 或xx 留意 ：1直线方程的几种形式：点斜式、 斜截式、 两点式、 截矩式、 一般式、向量式 以及各种形式的局限性 如点斜式不适用于斜率不存在的直线,仍有
32、截矩式呢？与直线 l : Ax By C 0 平行 的直线可表示为 Ax By C 1 0；与直线 l : Ax By C 0 垂直 的直线可表示为 Bx Ay C 1 0；过点 P x 0 , y 0 与直线 l : Ax By C 0 平行 的直线可表示为：A x x 0 B y y 0 0；过点 P x 0 , y 0 与直线 l : Ax By C 0 垂直 的直线可表示为：B x x 0 A y y 0 02直线在坐标轴上的截距 可正、可负、也可为 0直线两截距相等 直线的斜率为-1 或直线过原点；直线两截距互为相反数 直线的斜率为 1 或直线过原点；直线两截距绝对值相等 直线的斜率
33、为 1或直线过原点3在解析几何中,争论两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体几何中一般提到的两条直线可以懂得为它们不重合3相交两直线的夹角和两直线间的到角是两个不同的概念：夹角特指相交两直线所成的较小角,范畴是0,2,而其到角是带有方向的角,范畴是0, 注：点到直线的距离公式第 12 页 共 18 页名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - d|Ax0ABy02C|B2特殊 ： 1l2k k21 k1、k2 都存在时A A 2B B 20；B C 1l1/l2k 1b 1k 2b 2k 1、k 2都存在时A B 2AC 2A B 1A C 1；B C 2A B 1A C 1 或l1、 重合k 1b 1=k b 22k 1、k 2都存在时A B 2AC 24线性规划中几个概念：约束条件、可行解、可行域、目标函数、最优解5圆的方程：最简方程x2y22 R ；标准方程xa2yb22 R ；一般式方程x2y2DxEyF0D2E24F0；y20参数方程x yR R cos sin为参数；直径式方程xx 1xx 2yy 1y留意：1在圆的一般式方程中, 圆心坐标和半径分别是D 2,E 2,R1 2D2E24F 2圆的参数方程为“三角