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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学立体几何基础学问 一、 三视图1、中心投影和平行投影（1）中心投影：投射线均通过投影中心的投影；（2）平行投影：投射线相互平行的投影；（3）三视图的位置关系与投影规律2、一个空间几何体的三视图包括: 主视图、左视图、俯视图. 三视图的位置关系为：俯视图在主视图的下方、左视图在主视图的右方三视图之间的投影规律为：主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等3、直观图画法 斜二测画法的规章：且（1）在空间图形中取相互垂直的x 轴和 y 轴,两轴交于 O 点,再取 z 轴,使xOz90,yOz90O ,并使（ 2）画直观图时把它们画成
2、对应的x 轴、y轴和 z 轴,它们相交于x 轴、yx O y45,x O z90；（3）已知图形中平行于x 轴、y 轴或 z 轴的线段, 在直观图中分别画成平行于轴和z轴的线段（4）已知图形中平行于x 轴和 z 轴的线段,在直观图中长度相等；平行于y 轴的线段,长度取一半二、多面体与旋转体1、空间几何体的结构特点（1）棱柱、棱锥、棱台和多面体棱柱是由满意以下三个条件的面围成的几何体：有两个面相互平行；其余各面都是四边形；每相邻两个四边形的公共边都相互平行；棱柱按底面边数可分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱等棱柱性质：棱柱的各个侧面都是平行四边形,全部的侧棱都相等；棱柱的 两个底面与平行于底面的截面是
3、对应边相互平行的全等多边形 . 过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形 . 其余各面是有一个公共顶点的三角形所围成的几何体棱锥具 棱锥是由一个底面是多边形,有以下性质： 底面是多边形；侧面是以棱锥的顶点为公共点的三角形；平行于底面的 截面和底面是相像多边形,相像比等于从顶点到截面和从顶点究竟面距离的比截面面积和 底面面积的比等于上述相像比的平方棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后,截面和底面之间的部分由棱台定义可知,所有侧棱的延长线交于一点,继而将棱台仍原成棱锥多面体是由如干个多边形围成的几何体多面体有几个面就称为几面体,如三棱锥是四周体（ 2）圆柱、圆锥、圆台、球 分别以矩形的一边,直
4、角三角形的始终角边,直角梯形垂直于底边的腰所在的直线,半 圆以它的直径所在直线为旋转轴,旋转一周而形成的几何体叫做圆柱、圆锥、圆台、球名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 圆柱、圆锥和圆台的性质主要有：平行于底面的截面都是圆；过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形；圆台的上底变大到与下底相同时,可以得到圆柱；圆台的上底变小为一点时,可以得到圆锥2、旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球上、S 侧2 rl rl r1+r 2l S 全2 rl+r rl+r r 1+r 2l+ r2 1+r22 2 4
5、 RV r2h 1 r 32h 1 hr 32 1+r 1r 2+r2 2 4 R 33表中 l、h 分别表示母线、 高,r 表示圆柱、 圆锥与球冠的底半径,r1、r2 分别表示圆台下底面半径, R 表示半径；三、八大定理1、线面平行的判定定理：假如不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行；推理模式：a,b,a/ba/a2、线面平行的性质定理：假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行；推理模式：ba / , a , b a / b 3、面面平行的判定定理：假如一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面,那么这两个平面平
6、行；推理模式：aa/A/b/bab4、面面平行的性质定理：（1）假如两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；推理模式：a/a/（2）假如两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行；/推理模式：ba/ba5、直线与平面垂直的判定定理：假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - l a推理模式：albbAlab6、直线和平面垂直的性质定理：假如两条直线同垂直于一个平面 , 那么这两条直线平行；a 推理模式：a / b b7、两平面垂
7、直的判定定理：（线面垂直 面面垂直）假如一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直；推理模式：a a（面面垂直线面垂直）8、两平面垂直的性质定理：如两个平面相互垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面；推理模式：allaa四、空间问题的证明方法1、平行关系证明（1）线线平行/b（2）线面平行n（3）面面平行naba先求面的法向量先求面的法向量再求面的法向量man0ana/bmnm/ na/2、垂直关系证明名师归纳总结 （1）线线垂直（2）线面垂直（3）面面垂直第 3 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ab
8、0ab先求面的法向量n先求面的法向量nana/n再求面的法向量mab. amn0mn说明：证线面垂直也可用判定定理五、空间向量与立体几何.空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标）,y 轴是纵轴（对应为纵轴）,z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. b 1a2b2a3b3,令a =a1,a2,a3,b b 1,b 2,b3,就ab a1b 1, a2b2, a3b3,aa1,a2,a3R ,aba 1a1a2a3a ba 1b1, a2b2, a3b3R b1b2b3；aba1b1a2b2a3b30；aaaa12a22a32用到常用的向量模与向量之间的转化：a2aaaaa （一）空间
9、角的求解方法1、线线成角cosa,babx 12x 1x2z 1y 1y22z 1z 222z 22aby 122x2y2、线面成角（1）求面的法向量n ；. n（2）求出cosAB,n；（3）设直线 AB 和平面所成的角,就sincosAB,n,从而求得线面成角AB,也即直线 AB 和平面所成的角等于23、面面成角名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）分别求出面和面的法向量 n 、 m ；（2）求出cosn,m；并得出角n,m；l中平面,的法向量,（3）设平面和平面所成的角,就利用法向量求二面角的平面角定理：设n
10、 、 m 分别是二面角就 n 与 m 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小 m 反方,就为其夹角）. （ n 、m 方向相同, 就为补角, n 、二面角l的平面角arccos|m narccos|m n,m n 或m n （ m ,n 为平面的法向量） . （二）空间距离的求解方法1、点到点的距离ABx2y2z22、点到面的距离（1）求向量 AB 的坐标；（2）求面 的法向量 n ；（3）求出向量 AB 在法向量 n 上的投影名师归纳总结 ABcosAB,n的一条射线,其中第 5 页,共 5 页（4）点 A 到面的距离：如图,设n 是平面的法向量, AB 是平面n , C、D分别是A,就点 B 到平面的距离为d|AB n|. |n|3、求线到面的距离和面到面的距离,转化为求点到面的距离. 4、异面直线间的距离d|CD n|1 l l 是两异面直线,其公垂向量为|n|l l 上任一点, d 为 1 l l 间的距离 . - - - - - - -