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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第 2 章 学习重点辅导重点：1. 把握求简洁极限的常用方法；求极限的常用方法有 1 利用极限的四就运算法就； 2 利用两个重要极限； 3 利用无穷小量的性质无穷小量乘以有界变量仍是无穷小量 4 利用连续函数的定义；例 1 求以下极限：1limx 0 9 sinx 3 x 32lim x 1 sinx 2 x1 1 3lim x 0 1 2 x 1x4limx x 2 x cossin 2x x 2 15lim x 0 x e xx 11 解 1对分子进行有理化,然后消去零因子,再利用四就运算法就和第一重要极限计算,即lim 9 sin 3 x
2、 3x 0 x = lim 9 sin 3 x 3 9 sin 3 x 3 x 0 x 9 sin 3 x 3 = lim sin 3 xlim 1x 0 x x 0 9 sin 3 x 3 = 3 1 16 22利用第一重要极限和函数的连续性运算,即sin x 1 sin x 1 lim x 1 x 21 lim x 1 x 1 x 1 sin x 1 1lim x 1 x 1 lim x 1 x 11 111 1 23利用其次重要极限运算,即lim x 0 12x1lim x 012x1x2e2；x24利用无穷小量的性质无穷小量乘以有界变量仍是无穷小量运算,即名师归纳总结 - - - -
3、- - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - lim xx2x2 cosx21lim x12 cosx21lim x12 cosx1 = 1x sin22 xsin xsinx 1xlim x 12xx注：其中当 x时,sinx1sinx,cos2x11cos2x1 都是无穷小量乘以有xxx2x2界变量,即它们仍是无穷小量；5 利用函数的连续性运算,即 2. lim x 0xexx110e00111知道一些与极限有关的概念 1 知道数列极限、 函数极限、 左右极限的概念,知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等； 2 明白无穷小量的概念
4、,明白无穷小量与无穷大量的关系,知道无穷小量的性质； 3 明白函数在某点连续的概念,知道左连续和右连续的概念,明白“ 初等函数在定义 区间内连续” 的结论；会判定函数在某点的连续性,会求函数的间断点；例 2 填空、挑选题 1 以下变量中,是无穷小量的为x,ln1 x不是无穷小量；, A. ln1x0B. lnxx1 x C. e1x0 D. x2x2xx24解选项 A 中：由于x0时,1,故ln1xx选项 B中：由于x1时,ln x0,故lnx是无穷小量；0时,1 x选项 C中：由于x0时,1,故e10；但是xx111 4,x2不是无穷小故ex,因此ex当x0时不是无穷小量；选项 D中：由于x
5、2x12,故当x2时,x2x2x2x2444量；名师归纳总结 因此正确的选项是B；0；第 2 页,共 7 页2 以下极限运算正确的选项是 A.lim x 0xsin1lim x 0xlim x 0sin1xxtan2x B. lim x 0tan2xlim x 02 sinx 2x1sin2x2x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C. lim x2 xxxlim xx2xlim xx0 D. lim x xx 11 x 1lim x xx 1 1 xlim x xx 11 1e e1 e 1e解 选项 A 不正确；由于 lim x 0 sin 1x 不
6、存在,故不能直接用乘积的运算法就,即1 1lim x 0 x sinx lim x 0 x lim x 0 sinx选项 B正确；将分子、分母同除以 2x ,再利用第一个重要极限的扩展形式,得到tan 2 xlim tan 2 x lim 2 x 1x 0 sin 2 x x 0 sin 2 x2 x选项 C不正确；由于 x 时,x 2 x,x,故不能直接用极限的减法运算法就,即名师归纳总结 lim xx2xx lim xx2xlim xx第 3 页,共 7 页选项 D不正确；lim xx1x1可以分成两项乘积,即x1lim xx1x1 =lim xx1xlim xx11x1x1x1其中第一项
7、lim xx1x=lim x1 1x=lim x11xex 1x 1lim x 1xe1x11xx而其次项lim xx11lim x1111e1x 1x11x故原算法错误；正确选项应是B；3当 k时,fxx1kx0在x0处连续；2 xx0 A. 0 B. 1 C. 2 D. 1 解函数在一点连续必需满意既是左连续又是右连续；由于函数已是右连续,且f0011而左连续f0lim x 0x2kkf0 故当 k1 时,fx在x0处连续；正确的选项是D；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 懂得导数定义；懂得导数定义时,要解决下面几个问题：1牢记导数定义的极限
8、表达式；2会求曲线的切线方程；3知道可导与连续的关系 可导的函数肯定连续,连续的函数不肯定可导 ；例 3 填空、挑选题1.设 f x1,就f0；x0在,1范畴x1A不存在B. 1C. 0D. 11 11,是常数函数,而点解由于x1时fxxx内,故f00；正确的选项是C；x；2设 f x lnx,就lim x 1fx11解A1求极限B. e2C.0D. 不存在ln10x ln lim x 1 xx 1lim x 1f x假如单看,很难求出结果； 但是假设联想到1以及导数的定义,即有名师归纳总结 A.lim x 1fx ln lim x 1 xx；f0, x 看成第 4 页,共 7 页x11lim
9、 x 1lnxln1x1lnxx10 故正确的选项是C；3极限lim x0sinx0xsinx0xA. 1 B. cos x0 C. sin x0 D.不存在解这个极限的表达式正是函数sin x 在点 x0 处导数的定义,即有lim x0sinx0xsinx0 cos x0 x故正确的选项是B；4设fx在x0处可导,且f00,就lim x 0fx x不存在B. f0C.0 D. 任意x解因已知fx在x0处可导,且f00,将f x看成fx0,就lim x 0fxlim x 0fxf0就是fx在x0处的导数,故xx0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - lim
10、 x 0fxf0 x正确选项是B；3x在点 1,0处的切线是25曲线yxB. y2x A. y2x2 C. y2x2D. y2x2解 依据导数的几何意义可知,y0 x3xx13x21 x12；是曲线yx3x在点 1,0处的切线斜率,故切线方程是y02x1 ,即y2x2故正确的选项是A；6函数fx x在点 x0=16 处的导数值f 16解因fx x21x,故f 16211；168 4娴熟把握求导数或微分的方法；详细方法有1利用导数或微分的基本公式2利用导数或微分的四就运算法就3利用复合函数微分法4利用隐函数求导法就 例 4 求以下导数或微分：名师归纳总结 1 设yx2e2x,求 y ；2 e2x
11、x2第 5 页,共 7 页x解利用导数乘法法就y 12e2xx2xe2x 12x42sinx xx2x 2sinx2设yex,求 y解yex2sinx2 xsinxxx2xx=ex 2sinx 2xcosx xx2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - =ex 2sinxx2xcosxsinxxx23设函数 y y x 由方程 e xy 2x 1确定,求 y ；解 方程两边对 x 求导,得：xy 2 2e y 2 xyy 1 0整理得 y 2 2 xy y e xy 21 xy 2 2y e y 2 xy4设 y x 1,求 dy ；2 x 1解 由于 y
12、x 1 1 222 x 1 2 x 2 x 1 所以 d y y x 1 22 d x2 x 2 x 1 5知道微分的概念；知道高阶导数概念,会求函数的二阶导数；例 5 填空、挑选题名师归纳总结 1 已知 y =1 x ,就 y =4；第 6 页,共 7 页 A. x3 B. 2 3x C. 6x D. 6 解直接利用导数的公式运算：y1x4 x3,yx33 x24故正确的选项是B；2已知函数y = f x 的微分 dy = 2 xdx, 就 y = ；x C.2 D.x2解由于函数 y = f x 的微分为 dy = 2 xdx,即y2x,于是 y 2；故正确的选项是C；3lncosx； A.tanx B.tanx C.cotx D. cotx解依据复合函数求导法就,得lncosxcosx =sinx=tanxcosxcosx故正确选项应是A；4假设fx可导,且f x0,就以下不等式不正确的选项是 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A. lnfxf1 B. lnfxfxxfx C. flnx flnxD. f1f x 2 x xxf解第一要留意,这里要挑选的是不正确的式子；先看 A：依据复合函数的求导法就可知名师归纳总结 lnfxA；fxf1第 7 页,共 7 页fx x故 A 不正确；因此正确的选项是- - - - - - -