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1、|二次函数【知识清单】一、网络框架 2(0)=00 0yaxyayaxxy 最 小 值 最 大 值概 念 ： 形 如 的 函 数简 单 二 次 函 数 图 像 ： 是 过 （ ,） 的 一 条 抛 物 线对 称 轴 ： 轴性 质 最 值 ： 当 时 ， ； 当 时 ，当 时 ， 在 对 称 轴 左 边 （ 即 ） ,随 的 增 大 而 减 小 。 在 对 称 轴 右 边 （ 即 ） ,随 的 增 大 而 增 大 。增 减 性 当 时 ， 在 对 称 轴 左 边 （ 即 ） 随 的 增 大 而 增 大 。 在 对 称 轴 右 边 （ 即 ） 随 的 增 大 而 减 小 。二 次 函 数 2222
2、()040=0=4xbcacbxaacyy最 小 值 最 大 值概 念 ： 形 如 的 函 数 ， 注 意 还 有 顶 点 式 、 交 点 式 以 及 它 们 之 间 的 转 换 。开 口 方 向 ： ， 开 口 向 上 ； ， 开 口 向 下 。图 像 ： 是 一 条 抛 物 线 顶 点 坐 标 ： （ -,）对 称 轴 ：最 值 ： 当 时 ， ， 当 时 ，一 般 二 次 函 数 性 质 ： 当 时 ， 在 对 称 轴 左增 减 性 ： 22bbxxya 边 （ 即 -） ,随 的 增 大 而 减 小 。 在 对 称 轴 右 边 （ 即 -） ,随 的 增 大 而 增 大 。当 时 ，
3、在 对 称 轴 左 边 （ 即 ） 随 的 增 大 而 增 大 。 在 对 称 轴 右 边 （ 即 ） 随 的 增 大 而 减 小 。待 定 系 数 法 求 解 析 式应 用 与 一 元 二 次 方 程 和 不 等 式 的 关 系建 立 函 数 模 型 解 决 实 际 问 题二、清单梳理1、一般的，形如 2(0,)yaxbcabc是 常 数 的函数叫二次函数。例如22221,6,4,5963yxxyx等都是二次函数。注意：系数 a不能为零， ,bc可以为零。2、二次函数的三种解析式（表达式）一般式： 2(0,)yxabc是 常 数|顶点式： 2()(, 0)yaxhkaa为 常 数 ， 且 ，
4、顶点坐标为 (,)hk交点式： 12120, )xx其 中 是 抛 物 线 与 轴 的 交 点 的 横 坐 标3、二次函数的图像位置与系数 bc之间的关系 a：决定抛物线的开口方向及开口的大小。当 0a时，开口方向向上；当0时，开口方向向下。 |a决定开口大小，当 |越大，则抛物线的开口越小；当 |越小，则抛物线的开口越大。反之，也成立。 c：决定抛物线与 y轴交点的位置。当 0c时，抛物线与 y轴交点在 y轴正半轴（即 x轴上方） ；当 0c时，抛物线与 y轴交点在 轴负半轴（即 x轴下方）；当 0时，抛物线过原点。反之，也成立。 ab和 ：共同决定抛物线对称轴的位置。当 02ba时，对称轴
5、在 y轴右边；当 02时，对称轴在 y轴左边；当 （即当 时）对称轴为 轴。反之，也成立。特别：当 1x时，有 yabc；当 1x时 ，有 yabc。反之也成立。4、二次函数 2()yhk的图像可由抛物线 2x向上（向下） ，向左（向右）平移而得到。具体为：当 0时，抛物线 ya向右平移 h个单位；当0h时，抛物线 2yax向左平移 h个单位，得到 2()x；当 0k时，抛物线 2()yxh再向上平移 k个单位，当 k时，抛物线 2y再向下平移 k个单位，而得到 2()yx的图像。5、抛物线 20yaxbc与一元二次方程 20()axbca的关系：若抛物线 ()xa与 轴有两个交点，则一元二次
6、方程2()xc有两个不相等的实根。若抛物线 2(0)yxbc与 x轴有一个交点，则一元二次方程| 20()axbca有两个相等的实根（即一根） 。若抛物线 2(0)yxbc与 x轴无交点，则一元二次方程2()xc没有实根。6、二次函数 2,)yaxac是 常 数 的图像与性质关系式 (0b2()(0)yaxhka图像形状 抛物线顶点坐标24(,)ac(,)对称轴 bxxh0a在图像对称轴左侧，即 2bxa或 ， y随 的增大而减小；在图像对称轴右侧，即 或 xh，y随 x的增大而增大；增减性 0a在图像对称轴左侧，即 2bxa或 xh， y随 x的增大而增大；在图像对称轴右侧，即 或 ，y随
7、x的增大而减小；0a当 2ba时，4=cy最 小 值 当 xh时， =ky最 小 值最大值最小值 0a当 2bxa时，4=cy最 大 值 当 xh时， =ky最 大 值|【考点解析】考点一：二次函数的概念【例 1】下列函数中是二次函数的是（ ）2.8Ayx.81Byx 8.Cyx 23.4Dyx【解析】根据二次函数的定义即可做出判断， A中 1符合2(0)yaxbc的形式，所以是二次函数， ,B分别是一次函数和反比例函数， D中右边 234x不是整式，显然不是二次函数。【答案】 A【例 2】已知函数 2234()(1)myxx是二次函数，则 m_。【解析】根据二次函数的定义，只需满足两个条件即
8、可“二次项系数不为零，且 x的最高次数为 2”。故有 2034m，解得 021且或 ，综上所述，m取 2。【答案】【针对训练】1、若函数 2()myx是二次函数，则该函数的表达式为_。考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用【例 1】已知点 8,a在二次函数 2axy的图象上，则 a的值是（）2.A .B .C 2.D【解析】因为点 ,在二次函数 2xy的图象上，所以将点 8,代入二次函数 2axy中，可以得出 3a8，则可得 a，|【答案】 .A【例 2】 （ 2011， 泰 安 ） 若 二 次 函 数 cbxay2的 与 y的 部 分 对 应 值如 下 表 ， 则 当 x时 ， y的
9、 值 为 （ ）x76543y21355.A 3.B 13.C 27【解析】设 二 次 函 数 的 解 析 式 为 khxay2， 因 为 当 4x或 2时 ，3y， 由 抛 物 线 的 对 称 性 可 知 ， 5， 所 以 53ay， 把,2代 入 得 ， 2a， 所 以 二 次 函 数 的 解 析 式 为 2x， 当x时 ， 7y。 【 答 案 】 C【针对训练】1、 (2002 年 太 原 )过 0,1, 3,2三 点 的 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 是 （ ）.A,2.(,B 5,1.C 14.(2,)3D2、无论 m为何实数，二次函数 2xymx的图象总是过定点（ ）3,1. 0
10、,1. 3,1. 0,1【例 3】 （ 2010， 石 家 庄 一 模 ） 如 图 所 示 ， 在 平 面 直 角 坐 标系 中 ， 二 次 函 数 cbxay2的 图 象 顶 点 为 2,.A， 且过 点 ,B， 则 与 的 函 数 关 系 式 为 （ ） .A2xy.B2xy .C2xy D【解析】设 这 个 二 次 函 数 的 关 系 式 为 2xay， 将 ,0B代 入 得202，解 得 ： 1a， 故 这 个 二 次 函 数 的 关 系 式 是 2xy，|【 答 案 】 D【针对训练】1、 （ 2002， 太 原 ） 过 0,1， ,3， 2,1三 点 的 抛 物 线 的 顶 点 坐
11、 标 是_。考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数 ,abc的关系）【例 1】 （2012，兰州）已知二次函数 xy2)1()0(有最小值 1，则 a、b的大小关系为（ ）.Aa.Bba .Cba .D不能确定【考点】涉及二次函数顶点坐标和最值【解析】因为二次函数 xy2)1()0(有最小值 1，所以 0a，1b， ，所以 ba。【答案】 .A【针对训练】 1、二次函数 142xy的最小值是 。2、 （2013，兰州）二次函数 3)(2xy的图象的顶点坐标是（ ）.A)3(，.B)3(， .C， .D)31(，3、抛物线 xy的顶点坐标是（ ）.)1(，.)1(， .)1(， .)(，
12、【例 2】 （2012，兰州）抛物线 32xy可以由抛物线 2xy平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）.A先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位B先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位.C先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位D先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位【考点】涉及函数平移问题【解析】抛物线 2xy向左平移 2 个单位可得到抛物线 2)(xy，再向下平|移 3 个单位可得到抛物线 3)2(xy。 【答案】 .B【针对训练】 1、 （2012，南京）已知下列函数：（1） 2xy；（2） 2xy；（3）2)(xy。其中，图象通过平移可以得到函数 的图象
13、的有 （填写所有正确选项的序号） 。2、 （2009，上海）将抛物线 2xy向上平移一个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 。3、将抛物线 2xy向左平移 2 个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）.A2.B)( .C2)(xy .D2xy【例 3】 （2013，长沙）二次函数 cba2的图象如图所示，则下列关系式错误的是（ ） .A0a.B0c .042 .0cba【考点】图像与系数的关系【解析】观察题中图象可知，抛物线的开口方向向上，抛物线与 y轴的交点在y轴的正半轴上，与 x轴有两个交点，所以 0a， c，042acb，且当 1时， cby。显然选项A、B、C 都正确，只有
14、选项 D 错误。 【答案】 .D【例 4】 （2011，山西）已知二次函数 cxa2的图象如图所示，对称轴为直线 1x，则下列结论正确的是（ ） .A0acB方程 02cbx的两根是 1x， 32.CD当 时， y随 的增大而减小【考点】图像与性质的综合应用【解析】由图象可知 0a， c，故 A 错误；因对称轴为直线 1x，所以| 12ab，故 C 错误；由图象可知当 01x时， y随 x的增大而增大，故 D 错误；由二次函数的对称性可知 B 选项正确，【答案】 .B【针对训练】 1、 （2013，呼和浩特）在同一平面直角坐标系中，函数 mxy和函数22xmy（ 是常数，且 0m）的图象可能是
15、（ ）.A.B .C .D2、 （2011，重庆）已知抛物线 cbxay2)0(a在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）.0a.0bCcDca3、在反比例函数中 xy)(，当 0x时， y随 x的增大而减小，则二次函数 2的图象大致是（ ）.A.B .C .D考点四：二次函数的实际应用|【例 1】 （2011，重庆）某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年 1 至 9 月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格 1y（元） x与月份（ x，且 取整数）之间的函数关系如下表：月份 x1 2 3 4 5 6 7 8 9价格 1（元/ 件）
16、560 580 600 620 640 660 680 700 720随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10 至 12 月每件配件的原材料价格 2y（元）与月份 x（10 12，且 x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出 1y与 x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出 2y与 x之间满足的一次函数关系式；（2）若去年该配件每件的售价为 1000 元，生产每件配件的人力成本为 50 元，其它成本 30 元，该配件在 1 至 9 月的销售量 1p（万件）与月份 x满足函数关系式 .101x
17、p（1 x9，且 取整数）10 至 12 月的销售量 2p（万件）与月份 满足函数关系式 9.2102p（10 x12，且 取整数） 求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；（3）今年 1 至 5 月，每件配件的原材料价格均比去年 12 月上涨 60 元，人力成本比去年增加 20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高 %a，与此同时每月销售量均在去年 12 月的基础上减少 %1.0a这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了 1 至 5 月的总利润 1700 万元的任|务，请你参考以下数据，估算出 a的整数值（参考数据：99 2=9901，98 2=9
18、604，97 2=9409，96 2=9216，95 2=9025）【考点】涉及函数模型，把实际问题转化为函数，用函数的观点来解决问题，综合性比较强，一般还涉及不等式，最值问题。【解析】 （1）把表格（1）中任意 2 点的坐标代入直线解析式可得 1y的解析式把（10，730） （12，750）代入直线解析式可得 2y的解析式， ；（2）分情况探讨得：1 x9 时，利润= 1p（售价各种成本） ；10 x12 时，利润= 2p（售价各种成本） ；并求得相应的最大利润即可；（3）根据 1 至 5 月的总利润 1700 万元得到关系式求值即可。解：（1）设 bkxy，则58026bk，解得 5420
19、bk， 41xy（1 x9，且 取整数） ；设 baxy2，则 751230ba，解得 630ba， 63012y（10 x12，且 取整数） ；（2）设去年第 x月的利润为 W元1 9，且 取整数时 450)(24182)50( 211 xxypW x=4 时，最大=450 元；10 12，且 取整数时， 222 )9()3( x=10 时， 最大=361 元；（3）去年 12 月的销售量为0.112+2.9=1.7（万件） ，今年原材料价格为：750+60=810（元）今年人力成本为：50（1+20%）=60 元51000（1+ %a）81060301.7（1 0.1 %a）=1700，设 at，整理得 09102t，解得 49t