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1、备战中考数学一元二次方程组的综合热点考点难点一、一元二次方程1李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由【答案】 (1) 李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段；(2) 李明的说法正确，理由见解析.【解析】试题分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40x）cm就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；（2）
2、设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40m）cm就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确试题解析：设其中一段的长度为cm，两个正方形面积之和为cm2，则，（其中），当时，解这个方程，得，应将之剪成12cm和28cm的两段；（2）两正方形面积之和为48时， 该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm2，李明的说法正确考点：1一元二次方程的应用；2几何图形问题2已知关于x的方程x2（2k+1）x+k2+10（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边
3、的长，且k2，求该矩形的对角线L的长【答案】（1）k；（2）.【解析】【分析】（1）根据关于x的方程x2(2k1)xk210有两个不相等的实数根，得出0，再解不等式即可；（2）当k=2时，原方程x2-5x+5=0，设方程的两根是m、n，则矩形两邻边的长是m、n，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，则矩形的对角线长为，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.【详解】（1）方程x2(2k1)xk210有两个不相等的实数根，(2k1)241(k21)4k30，k；(2)当k2时，原方程为x25x50，设方程的两个根为m，n，mn5，mn5，矩形的对角线长为：.【点睛】本题考查了根的判别式、根与
4、系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0时，方程有两个不相等的实数根；（2）=0时，方程有两个相等的实数根；（3）0时，方程没有实数根3已知关于的方程和，是否存在这样的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0.【解析】【分析】在方程中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程分解因式，建立方程求n，要注意n的值要使方程的根是整数.【详解】若存在n满足题意.设x1，x2是方程的两个根，则x1+x2=2n，x1x2=，所以(x1-x2)2=4
5、n2+3n+2，由方程得，(x+n-1)x-2(n+1)=0，若4n2+3n+2=-n+1，解得n=-，但1-n=不是整数，舍.若4n2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-(舍)，综上所述，n=0.4已知关于x的一元二次方程有两个实数根求k的取值范围；设方程两实数根分别为，且满足，求k的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】根据方程有实数根得出，解之可得利用根与系数的关系可用k表示出和的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍【详解】解：关于x的一元二次方程有两个实数根，即，解得由根与系数的关系可得，解得，或，舍去，【点睛】本题考查了一元二次方程a，b
6、，c为常数根的判别式当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根以及根与系数的关系5图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为ABC和DEF，其中B=90，A=45，BC=，F=90，EDF=30， EF=2将DEF的斜边DE与ABC的斜边AC重合在一起，并将DEF沿AC方向移动在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：FCD的最大度数为 ；当FCAB时，AD= ；当以线段AD、FC、BC的长度为三边
7、长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;FCD的面积s的取值范围是 .【答案】（1）2；（2） 60；.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.（2）当点E与点C重合时，FCD的角度最大，据此求解即可.过点F作FHAC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.过点F作FHAC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.设AD=x，把FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）B=90，A=45，BC=，AC=12.CD=10，A
8、D=2. （2）F=90，EDF=30，DEF=60.当点E与点C重合时，FCD的角度最大，FCD的最大度数=DEF=60. 如图，过点F作FHAC于点H，EDF=30， EF=2，DF=. DH=3，FH=.FCAB，A=45，FCH=45. HC=. DC=DH+HC=.AC=12，AD=.如图，过点F作FHAC于点H，设AD=x，由知DH=3，FH=，则HC=.在RtCFH中，根据勾股定理，得.以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，即，解得.设AD=x，易知，即.而，当时，；当时，.FCD的面积s的取值范围是.考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的
9、判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.6按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出的值.月份用水量（吨）水费（元）四月3559.5五月80151【答案】7已知关于的方程有两个实数根.(1)求的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，且，求的值.【答案】（1） （2）4【解析】试题分析：根据方程的系数结合根的判别式即可得出 ，解之即可得出结论.根据韦达定理可得： ，结合 即可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出值，再由的结论即可确定值.试题
10、解析：因为方程有两个实数根，所以 ，解得.根据韦达定理，因为，所以，将上式代入可得 ，整理得 ，解得 ，又因为，所以.8元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这
11、两种苹果共获利960元，求x的值.【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）的值为2或7.【解析】【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为元/千克, 元/千克. 由题得： 解之得： 答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克 （2）由题意得： 解之得：，经检验，均符合题意答：的值为2或7.【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.9观察下列一组方程：；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为
12、“连根一元二次方程”若也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；请写出第n个方程和它的根【答案】（1）x17，x28.（2）x1n1，x2n.【解析】【分析】（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k值即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解.【详解】解：(1)由题意可得k15，则原方程为x215x560，则(x7)(x8)0，解得x17，x28.(2)第n个方程为x2(2n1)xn(n1)0，(xn)(xn1)0，解得x1n1，x2n.【点睛】本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊
13、的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.10如图，在中，现有两点、的分别从点和点B同时出发，沿边，BC向终点C移动已知点，的速度分别为，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设，两点移动时间为问是否存在这样的，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由【答案】假设不成立，四边形面积的面积不能等于，理由见解析【解析】【分析】根据题意，列出BQ、PB的表达式，再列出方程，判断根的情况.【详解】解：，；假设存在的值，使得四边形的面积等于，则，整理得：，假设不成立，四边形面积的面积不能等于【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程
14、的意义是本题的解题关键.11某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元【解析】【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本（1下降率），即可得出结论【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为
15、x，根据题意得：400（1x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）答：每个月生产成本的下降率为5%；（2）361（15%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算12山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多
16、少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）4元或6元；（2）九折.【解析】【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x元.根据题意，得（60x40）（100+20）=2240，化简，得 x210x+24=0，解得x1=4，x2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元. 要尽可能让利于顾客，每千克核桃应降价6元.此时，售价为：606=54（元），.答：该店应按原售价的九折出售.13已知：关于x的一元二次方程.（1）若此方程有两个实数根，求没的最小整数值；（2）若此方程的两个实数根为，且满足，求
17、的值.【答案】（1）-4；（2）m=3【解析】【分析】（1）利用根的判别式的意义得到0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到，然后解关于m的一元二次方程，即可确定m的值【详解】解：（1）有两个实数根，；m的最小整数值为：；（2）由根与系数的关系得：，由得： ，解得：或；，.【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根时，则，也考查了根的判别式解题的关键是熟练掌握根与系数的关系和根的判别式.14若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点”（1）一
18、次函数yx1与x轴的交点坐标为 ；一次函数yax+2与一次函数yx1为一对“x牵手函数”，则a ；（2）已知一对“x牵手函数”：yax+1与ybx1，其中a，b为一元二次方程x2kx+k40的两根，求它们的“x牵手点”【答案】（1）（1，0），a2；（2）“x牵手点”为（，0）或（，0）.【解析】【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值；（2）根据“x牵手函数”的定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x2-4=0，解得x1=2，x2=-2，再分两种情况：若a=2，b=-
19、2，若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x牵手点”【详解】解：（1）当y0时，即x10，所以x1，即一次函数yx1与x轴的交点坐标为（1，0），由于一次函数yax+2与一次函数yx1为一对“x牵手函数”，所以0a+2，解得a2；（2）yax+1与ybx1为一对“x牵手函数”，a+b0a，b为x2kx+k40的两根a+bk0，x240，x12，x22若a2，b2则y2x+1与y2x1的“x牵手点”为；若a2，b2则y2x+1与y2x1的“x牵手点”为（，0 ）综上所述，“x牵手点”为或（，0）【点睛】本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用15已知关于x的方程x2(k+3)x+3k0(1)若该方程的一个根为1，求k的值；(2)求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根【答案】(1)k1；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）把x1代入方程，即可求得k的值；（2）求出根的判别式是非负数即可.【详解】(1)把x1代入方程x2(k+3)x+3k0得1(k3)+3k0，1k3+3k0解得k1；(2)证明： (k+3)243k (k3)20，所以不论k取何实数，该方程总有两个实数根【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键.