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1、专题三三角函数与解三角形征询题三：三角形中的不等征询题来源:ZXXK一、考情分析按照条件判定三角形中角、边、周长或面积的取值范围是解三角形中较难的一类征询题,常作为客不雅观题中的压轴题或解答题中的第二征询.二、阅历分享(1)求角的范围或三角函数值的范围要留心三角形内角跟为这一限制条件(2)求边的范围可使用正弦定理把边转化为三角函数,使用三角函数的有界性求范围或按照角的范围使用余弦定理求边的范围,同时要留心单方之跟大年夜于第三边.(3)求周长或面积的范围与最值可转化为边与角的范围,也可使用全然不等式求范围三、知识拓展(1)假设ABC是锐角三角形,那么,、(2)假设ABC中,假设A是锐角,那么；假
2、设A是钝角,那么(3)ABC中,假设,那么,=.(4)假设成等差数列,那么.学￥科网四、题型分析(一)角或角的三角函数的范围或最值【例1】的面积为,那么的取值范围是【分析】把用一个角的三角函数表示,然后按照角的范围用函数单调性求的范围.【分析】由,得,即,又,因此由于,因此,因此事前,当或时,因此,即的取值范围是【答案】【点评】求三角函数式的范围一般是先判定角的范围,使用使用三角函数的单调性及有界性求范围与最值,偶尔也使用全然不等式求最值.【小试牛刀】【2018届湖南省长郡高三月考】锐角中,为角所对的边,点为的重心,假设,那么的取值范围为A.B.C.D.【答案】B【分析】如图,连接CG,延伸交
3、AB于D,由于G为重心,故D为中点,AGBG,c=1,DG=,由重心的性质得,CD=3DG,即CD=,由余弦定理得,AC2=AD2+CD2-2ADCDcosADC,BC2=BD2+CD2-2BDCDcosBDCADC+BDC=,AD=BD,AC2+BC2=a2+b2=2AD2+2CD2=,那么又由于为锐角三角形,那么该当称心将代入可得那么由对勾函数性质可得的取值范围为应选B(二)边的范围或最值【例2】【2017河南省天一大年夜联考】在中,假设,点,分不是,的中点,那么的取值范围为【分析】先得出,设,转化为函数求值域.【点评】此题要紧调查三角形中位线定理、正弦定理及求范围征询题,属于艰苦.求范围
4、征询题的稀有办法有配办法；换元法；不等式法；图象法；函数单调性法：将征询题转化为关于某一参变量的函数后,起首判定函数的定义域,然后精确地寻出其单调区间,最后再按照其单调性求凼数的值域；此题的确是先将表示为关于的函数,再按照办法解答的.【小试牛刀】【2017湖北襄阳市四校高三上学期期中联考】在中,分不为内角所对的边,假设,那么的最大年夜值为()A4BCD2【答案】C【分析】由余弦定理,知,拾掇,得,那么有,即,因此,当且仅事前等号成破,因此的最大年夜值为,应选C(三)周长的范围或最值【例3】【2018届江西省K12联盟高三教诲质量检测】在锐角中,.1假设的面积等于,求、；2求的周长的取值范围.【
5、分析】1使用已经清楚条件通过正弦定理聚拢三角形的面积,余弦定理转化求解即可；2使用正弦定理表示三角形的周长,使用三角函数的有界性求解即可2由正弦定理得,记周长为,那么,又,为锐角三角形,.【点评】周长征询题也可看做是边长征询题的延伸,因此在处理周长相关征询题时,着眼于边长之间的关系,结合边长求最值(范围)的处理办法,素日都能寻到精确的解题路途.【小试牛刀】中,角、所对的边为、,且1求角；2假设,求的周长的最大年夜值【答案】1；26【分析】1来源:,解得(四)面积的范围与最值来源:Zxxk.Com【例4】如图,在等腰直角三角形OPQ中,POQ90,OP2,点M在线段PQ上(1)假设,求PM的长；
6、(2)假设点N在线段MQ上,且MON30,征询：当POM取何值时,OMN的面积最小？并求出面积的最小值【分析】第(1)题使用余弦定理求MP的长,难度不大年夜；第(2)题求OMN的面积最小值,前面的恳求也特不清楚：以POM为自变量,因此,此题的中点的确是怎么样将OMN的面积表示为POM的函数关系式,进而使用函数最值求解.其中,使用正弦定理将OM跟ON的长表示为POM的函数是关键.学科￥网【分析】(1)在中,由余弦定理得,得,解得或(2)设,在中,由正弦定理,得,因此,同理故由于,因此事前,的最大年夜值为,现在的面积取到最小值即时,OMN的面积的最小值为【点评】面积征询题是边长与角征询题的综合,解
7、题中既要考虑边的变卦,也要考虑相关角的变卦,素日是使用面积公式,将其转化为一致类元素,然后使用三角函数范围或者实数的不等关系求解.【小试牛刀】【2017河南新乡高三上学期第一次调研测试】在中,角的对边分不为,已经清楚1求；2假设,求面积的最大年夜值【答案】1；2.(五)与不的知识点的综合征询题【例5】已经清楚O为ABC的外心,假设,那么xy的最大年夜值为()ABCD【分析】如以下列图,以BC边所在直线为x轴,BC边的垂直平分线为y轴树破直角坐标系(D为BC边的中点)由外接圆的性质可得BODCODBAC由,不妨设外接圆的半径R3那么OAOBOC3cosCOD,OD1,DC2B(2,0),C(2,
8、0),O(0,1),A(m,n)那么ABC外接圆的方程为：x2(y1)29(*),(m,1n)x(2m,n)y(2m,n),时,否那么,由图可知是不可以的.可化为,代入(*)可得,化为18(xy)932xy,使用要紧不等式可得18(xy),化为,解得.又xy1,故应舍去,故xy的最大年夜值为.【答案】D【点评】三角函数值也是一个实数,因此,它也可以与其他实数停顿代数运算,也可以与不的知识点停顿交汇,如向量、数列、不等式等等,解题中要综合这些知识跟相关办法,敏锐处理,才能既快又准的处理征询题.【小试牛刀】【2017河北省冀州中学高三上学期第二次阶段检验】如图,已经清楚破体上直线,分不是,上的动点
9、,是,之间的肯定点,到的距离,到的距离,三内角、所对边分不为,且.揣摸的形状；记,求的最大年夜值.【答案】是直角三角形；的最大年夜值为.【分析】I由正弦定理得：,聚拢,得,又,因此,且,因此,因此是直角三角形；II,由I得,那么,因现在,的最大年夜值为.学！科网五、迁移使用1【2018届江西省K12联盟高三教诲质量检测】已经清楚的内角、的对边分不是、,且,假设,那么的取值范围为A.B.C.D.【答案】B【分析】,又的取值范围为,应选B.2【2018届重庆市九校联盟高三上学期第一次结合检验】已经清楚分不是内角的对边,事前,面积的最大年夜值为A.B.C.D.【答案】C【分析】由,故当且仅事前取等号
10、,应选：C3【2018届四川省绵阳市高三二诊】在中,分不为所对的边,假设函数有极值点,那么的最小值是A.0B.C.D.-1【答案】D4【2018届河南省郑州市高中毕业班第一次质量检测】在中,角的对边分不为,且,假设的面积为,那么的最小值为A.28B.36C.48D.56【答案】C【分析】由条件及余弦定理的推理得,拾掇得,可得又,可得,当且仅事前等号成破,解得故的最小值为48选C5【2018四川省成都市高三上学期12月月考】锐角中,内角,的对边分不为,且称心,假设,那么的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【分析】,由正弦定理可得,化为,由余弦定理可得,为锐角,可得,由正弦定理可得,可得,可得,
11、可得,应选A.6.【2017河北省冀州中学上学期第二次阶段检验】在锐角中,假设,那么的范围是,分不为角,的对边长ABC.D【答案】A【分析】由于,为锐角,因此,因此,那么7.【2018届江西省临川二中、新余四中高三1月结合检验】如以下列图,在破体四边形中,为正三角形,那么面积的最大年夜值为_来源:【答案】【分析】在ABC中,设ACB=,ACB=,由余弦定理得：AC2=12+22212cos=54cos,ACD为正三角形,CD2=54cos,由正弦定理得：,ACsin=sin,CDsin=sin,(CDcos)2=CD2(1sin2)=CD2sin2=54cossin2=(2cos)2BAC,为
12、锐角,CDcos=2cos,事前,.8【2018届四川省绵阳市南山中学高三二诊】在中,角所对的边分不为,且,是的中点,且,那么的最短边的边长为_【答案】【分析】由于,因此sinB=又正弦定理化简可得：sinAcosCsinA+sinAsinCcosA=sinC即sinAcosCsinA+sinCcosA=sinCsinAsinB=sinCA+B+C=,C=-A+BsinAsinB=sinA+B,sinA=sinAcosB+cosAsinB,sinA=cosA即tanA=1,0A,D是AC的中点,且cosB=A=,按照余弦定理得c2+b2-bc=26,sinA=sinC,且sinB=sinC,的
13、最短边的边长为故答案为9.【2017广西梧州高三上学期摸底联考】已经清楚中,角成等差数列,且的面积为,那么边的最小值是_【答案】.10.【2017河北省沧州市第一中学10月月考】已经清楚的三个内角的对边依次为,外接圆半径为1,且称心,那么面积的最大年夜值为_.【答案】【分析】由可得,即,也即,故,也即,那么,由正弦定理可得,再由余弦定理可得,即,因此,故,应填.11【2017届甘肃天水一中高三12月月考】在中,角,的对边分不为,已经清楚向量,且1求角的大小；2假设,求面积的最大年夜值【答案】1；2【分析】1,因此,由正弦定理得,由,由于,因此,因此,由于,2由余弦定理得,因此,当且仅事前,等号
14、成破；因此面积,因此面积的最大年夜值12【2017届甘肃天水一中高三理12月月考】在中,1求的大小；2求的最大年夜值【答案】1；2【分析】1由余弦定理及题设得,又,；2由1知,来源:,由于,因此事前,取得最大年夜值13.【2017届云南曲靖一中高三理上学期月考】的内角,的对边分不为,已经清楚1求；2假设,求面积的最大年夜值【答案】1；22,由已经清楚及余弦定理得,即,代入,拾掇得,当且仅事前,等号成破,那么面积的最大年夜值为14【2017届山西晋中榆社中学高三11月月考】在中,角所对边分不为,已经清楚向量,且1求角的大小；2假设,求的周长的最大年夜值【答案】1；2【分析】1由于,因此,即,故又
15、,因此2由1及,得,因此,因此,故的周长的最大年夜值15【2017届山东菏泽一中宏志部高三上学期月考】在中,角的对边分不为,且角成等差数列.假设,求边的值；设,求的最大年夜值.【答案】I；II【分析】由于角成等差数列,因此,由于,因此.由于,因此,因此或舍去.16.【2017届河北武邑中学高三】如图,海上有、两个小岛相距,船将保持观望岛跟岛所成的视角为,现从船上派下一只小艇沿倾向驶至处停顿作业,且设1用分不表示跟,并求出的取值范围；20晚上小艇在处发出一道剧烈的光辉照射岛,岛至光辉的距离为,求的最大年夜值【答案】(1),；(2).【分析】在中,由余弦定理得,又,因此在中,由余弦定理得,得,得,即,又,因此,即,又,即,因此易知,故又,设,因此,又,那么在上是增函数,因此的最大年夜值为,即的最大年夜值为17.【2017届湖南师大年夜附中高三上学期月考】在中,角,所对的边分不为,且称心1求角的值；2假设,求的取值范围【答案】(1)或；(2).18【2017河北冀州中学上学期月考】已经清楚在中,内角,的对边分不为,且,成等差数列1求角的大小；2假设,求的最大年夜值【答案】(1)；(2).【分析】1由题意知,由正弦定理知,又,故,2由,得,又由余弦定理得,故,由,当且仅事前取等号,故,的最大年夜值为