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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载立体几何专题【命题趋向】 高考对空间想象才能的考查集中表达在立体几何试题上,着重考查空间 点、线、面的位置关系的判定及空间角等几何量的运算既有以挑选题、填空题形式显现的 试题,也有以解答题形式显现的试题挑选题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简洁运算求解,考查画图、识图、用图的才能；解答题一般以简洁几何体为载 体,考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,以及空间几何量的求解问题,综合考查空间想象才能、推理论证才能和运算求解才能试题在突出对空间想象才能考查的 同时,关注对平行、 垂直关系的探究,
2、关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简洁组合体的结构特点、三视 图、直观图,表面积体积的运算,空间点、直线、平面的位置关系判定与证明,（理科）空 间向量在平行、垂直关系证明中的应用,空间向量在运算空间角中的应用等【例题解析】题型 1 空间几何体的三视图以及面积和体积运算例 1（2022 高考海南宁夏卷）某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为 6 的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,就 a b 的最大值为A 2 2 B2 3 C 4 D2 5分析 ：想像投影方式,
3、将问题归结到一个详细的空间几何体中解决解析 ：结合长方体的对角线在三个面的投影来懂得运算,如图设长方体的高宽高分别为名师归纳总结 m n k ,由题意得2 mn2k2a27,2 mk266a2nb21,ab4当1k2a ,12 mb ,所以1b212abb282 ab816a2b28,ab2a2第 1 页,共 28 页且仅当ab2时取等号- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载点评 ：此题是课标高考中考查三视图的试题中难度最大的一个,我们通过移动三个试图把问题归结为长方体的一条体对角线在三个面上的射影,使问题获得了圆满的解决例 2 （
4、2022 高考山东卷、 20XX 年福建省理科数学高考样卷第 3 题）下图是一个几何体的三视图,依据图中数据,可得该几何体的表面积是A 9B10C 11D 12分析 ：想像、仍原这个空间几何体的构成,利用有关的运算公式解答解析： 这个空间几何体是由球和圆柱组成的,圆柱的底面半径是 1,母线长是3,球的半径是 1,故其表面积是 2 1 3 2 1 24 1 212,答案 D点评 ：由三视图仍原空间几何体的真实外形时要留意“ 高平齐、 宽相等、 长对正 ” 的规章例 3（江苏省苏州市 20XX 届高三教学调研测试第 12 题）已知一个正三棱锥 P ABC 的主视图如下列图,如 AC BC 3,2P
5、C 6,就此正三棱锥的全面积为 _分析 ：正三棱锥是顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心的三棱锥,依据这个主试图知道,主试图的投影方向是面对着这个正三棱锥的一条侧棱,并且和底面三角形的一条边垂直,这样就知道了这个三棱锥的各个棱长名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载解析 ：这个正三棱锥的底面边长是 3、高是 6 ,故底面正三角形的中心到一个顶点的距离是2 3 3 3,故这个正三棱锥的侧棱长是 3 2 6 2 3 ,由此知道这个 3 2正三棱锥的侧面也是边长为 3的正三角形, 故其全面积是 4 3
6、 3 2 9 3,答案 9 3 4 点评 ：由空间几何体的一个视图再加上其他条件下给出的问题,对给出的这“一个视图 ”要认真辨别投影方向,这是三视图问题的核心题型 2 空间点、线、面位置关系的判定例 4（江苏苏州市20XX 届高三教学调研测试7）已知m,n是两条不同的直线,为两个不同的平面,有以下四个命题：如m/,n, mn ,就；如mn/mn,就/如；m,n/,mn,就/如nm,n/,/,就m其中正确的命题是（填上全部正确命题的序号）_ 分析 ：依据空间线面位置关系的判定定理和性质定理逐个作出判定解析：我们借助于长方体模型解决中过直线 m n 作平面,可以得到平面 , 所成的二面角为直二面角
7、,如图（1）,故 正确；的反例如图（2）；的反例如图（ 3）；中由 m , 可得 m,过 n 作平面 可得 n 与交线 g 平行,由于m g ,故 m n 答案点评 ：新课标的教材对立体几何处理的基本动身点之一就是使用长方体模型,此题就是通过这个模型中供应的空间线面位置关系解决的,在解答立体几何的挑选题、填空题时名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载合理地使用这个模型是很有帮忙的例 5（浙江省 20XX 年高考省教研室第一次抽样测试理科第 5 题） 设 m n 是两条不同的直线, 是两个不同的平面
8、,以下命题正确选项A 如 m n m , n /,就 / B如 m / , n / , / , 就 m / nC如 m , n / , /,就 m n D如 m / n m / , n / , 就 /分析：借助模型、依据线面位置关系的有关定理逐个进行分析判定解析： 对于 /,结合 m , n / , 就可推得 m n答案 C点评 ：从上面几个例子可以看出,这类空间线面位置关系的判定类试题虽然形式上各异,但本质上都是以空间想象、空间线面位置关系的判定和性质定理为目标设计的,主要是考查考生的空间想象才能和对线面位置关系的判定和性质定理把握的程度题型 3 空间平行与垂直关系的证明、空间几何体的有关运
9、算（文科解答题的主要题型）例 62022 江苏泰州期末16如下列图, 在棱长为 2的正方体ABCDA B C D 中,E 、F 分别为DD 、 DB 的中点（1）求证： EF /平面ABC D ；EFBD ；其次问转化为线面垂直进行证（2）求证：EFB C ；（3）求三棱锥V B1EFC的体积分析 ：第一问就是找平行线,最明显的就是明；第三问采纳三棱锥的等积变换解决解析：（1）连结 BD ,如图,在 DD1 B 中,E 、 F 分别为 D D , DB 的中点,就EF / / D BD B 平面 ABC D 1 EF / / 平面 ABC D EF 平面 ABC D 1（2）名师归纳总结 B
10、CABB C平面ABC D 1B C 1BD 1,EFB C第 4 页,共 28 页B C 1BC 1AB B C平面ABC D 1BD 1平面ABC D 1EF/ /BD 1ABBC 1BCF平面EFB1且CFBF2（3）CF平面BDD B ,EF1BD13,B FBF2BB 12222 26,2B EB D 12D E22 12223EF2B F2B E2即EFB 190,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - VB 1EFCV CB EF 11S优秀学习资料1欢迎下载13621B EF 1CF =1EF B F CF =1 33322点评 ：这个题目也
11、属于文科解答题的传统题型空间线面位置关系证明的基本思想是转 化,依据线面平行、垂直关系的判定和性质,进行相互之间的转化,如此题其次问是证 明线线垂直,但问题不能只局限在线上,要把相关的线归结到某个平面上（或是把与这 些线平行的直线归结到某个平面上,通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的,但 证明线面垂直又得借助于线线垂直,在不断的相互转化中达到最终目的立体几何中的三棱柱类似于平面几何中的三角形,可以通过 距离的基本方法之一“ 换顶点 ”实行等体积变换,这也是求点面例 7（江苏省苏州市 20XX 届高三教学调研测试第 17 题） 在四棱锥 P ABCD 中,ABC ACD 90,BAC CAD
12、 60, PA 平面 ABCD , E 为 PD 的中点,PA 2 AB 2（1）求四棱锥 P ABCD 的体积 V ；（2）如 F 为 PC 的中点,求证 PC 平面 AEF ；（3）求证 CE 平面 PAB 分析 ：第一问只要求出底面积和高即可；其次问的线面垂直通过线线垂直进行证明；第三问的线面平行即可以通过证明线线平行、利用线面平行的判定定懂得决,也可以通过名师归纳总结 证明面面平行解决,即通过证明直线CE所在的一个平面和平面PAB 的平行解决平面解析 ：（1）在RtABC中,AB1,BAC60,BC3,AC2在RtACD中,AC2,ACD60,CD2 3,AD4S ABCD1AB BC
13、1AC CD113122 35322222就V153253323（2） PACA, F 为 PC 的中点, AFPC PA平面 ABCD , PACD , ACCD , PAACA, CDPAC , CD PC E 为 PD 中点, F 为 PC 中点, EF CD ,就 EFCD , AFEFF ,第 5 页,共 28 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - PC平面 AEF 优秀学习资料欢迎下载（3）证法一：取 AD 中点 M ,连EM CM 就 EM PA , EM平面 PAB , PA平面PAB, EM 平面 PAB 在RtACD中,CAD60,A
14、CAM2,ACM60而BAC60, MC AB MC平面 PAB , AB平面 PAB, MC 平面 PAB EMMCM ,平面 EMC 平面 PAB EC平面 EMC , EC 平面 PAB证法二：延长DC AB ,设它们交于点N ,连 PN NACDAC60, ACCD , C 为 ND 的中点 E 为 PD 中点, EC PN EC平面 PAB, PN平面 PAB, EC 平面 PAB 点评 ：新课标高考对文科的立体几何与大纲的高考有 了诸多的变化一个方面增加了空间几何体的三视图、表面积和体积运算,拓展了命题空间；另一方面删除了 三垂线定理、删除了凸多面体的概念、正多面体的概念 与性质、
15、球的性质与球面距离,删除了空间向量,这就给立体几何的试题加了诸多的枷 锁,由于这个缘由课标高考文科的立体几何解答题一般就是空间几何体的体积和表面积 的运算、空间线面位置关系的证明（主要是平行与垂直）题型 4 空间向量在立体几何中的应用（理科立体几何解答题的主要题型）例 8（ 20XX 年福建省理科数学高考样卷第 18 题） 如图,在棱长为 2 的正方体ABCD A B C D 中, E、F 分别为 A D 和 1 1 CC 的中点（1）求证： EF 平面 ACD ；（2）求异面直线 EF 与 AB 所成的角的余弦值；（3）在棱 BB 上是否存在一点 P ,使得二面角 P AC P 的大小为 3
16、0 .如存在, 求出BP 的长；如不存在,请说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【解析】 解法一：如图分别以优秀学习资料欢迎下载x轴、 y 轴、 z 轴建立空间DA DC DD 所在的直线为直角坐标系Dxyz ,、B2,2,0、C0,2,0、B 12,2,2、由 已 知 得D0 , 0 , 0、A2,0,0D 10,0,2E1,0,2、F02,1（1）取AD 中点 G ,就G1,0,1,CG1, 2,1,又EF1,2, 1,由 EFCG , EF 与 CG 共线从而 EF CG ,名师归纳总结 CG平面ACD
17、 , EF平面ACD , EF 平面ACD （2）AB0,2,0,cosEF AB|EF AB|46,EF| |AB2 632）,平面 ACP 的一个法向异面直线 EF 与 AB 所成角的余弦值为6 3（3）假设满意条件的点P存在,可设点P2,2,t （ 0t第 7 页,共 28 页量为nx y z ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载2x2 y0,ACB 的就n AC0,AP0,2,tAC2,2,0,n AP0.2ytz0,取n1,1,2 t,解得t6 . 3易知平面 ABC 的一个法向量BB 10,0,2,依题意知,BB n30
18、或150 ,cosBB1,N2|4|3,即4324t42t24t22t26 3时,二面角 P60, 2,在棱BB 上存在一点 P ,当 BP 的长为3大小为 30 解法二：（ 1 ） 同 解 法 一 知EF1 , 2 ,1,AD 12,0,2,AC2,2,0,EFAC1AD , EF 、 AC 、AD 共面又 EF平面ACD , EF 2平面ACD 1（2）、（3）同解法一解法三：易知平面ACD 的一个法向量是DB 12,2,2又EF1,2, 1,由EF DB 10,EFDB ,而 EF平面ACD , EF 平面ACD （2）、（3）同解法一点评 ：此题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系
19、、二面角的概念等基础学问；考查空间想像才能、推理论证才能和探究问题、解决问题的才能利用空间向量证明线 面平行的方法基本上就是此题给出的三种,一是证明直线的方向向量和平面内的一条直 线的方向向量共线,二是证明直线的方向向量和平面内的两个不共线的向量共面、依据 共面对量定理作出结论；三是证明直线的方向向量与平面的一个法向量垂直例 9（浙江宁波市2022 学年度第一学期期末理科第20 题） 已知几何体 ABCED 的三视图如下列图,其中俯视图和侧视图都是腰长为4 的等腰直角三角形,正视图为直角梯名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - -
20、- - 优秀学习资料 欢迎下载形（1）求异面直线DE 与 AB 所成角的余弦值；DE ,FBA或其补角即为异（2）求二面角 AEDB的正弦值；（3）求此几何体的体积V 的大小【解析】（1）取 EC 的中点是 F ,连结 BF ,就 BF名师归纳总结 面直线DE与AB所成的角在BAF中,AB42,BFAF2 5cosABF105异面直线 DE 与 AB所成的角的余弦值为105（2） AC平面 BCE ,过 C 作 CGDE 交 DE 于 G ,连结 AG 可得 DE平面 ACG ,从而 AGDE , AGC 为二面角 AEDB 的平面角在RtACG中,ACG90,AC4,CG8 5,tanAGC
21、552第 9 页,共 28 页sinAGC53- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载二面角 A ED B的的正弦值为 53（3）V 1 S BCED AC 16,几何体的体积 V 为163方法二：（坐标法）（1）以 C 为原点,以 CA CB CE 所在直线为 x y z轴建立空间直角坐标系就 A 4,0,0,B 0,4,0,D 0,4,2,E 0,0,4,DE 0, 4,2, AB 4,4,0,cos DE AB 105异面直线 DE 与 AB所成的角的余弦值为 105（2）平面 BDE 的一个法向量为 CA 4,0,0,设平面 A
22、DE 的一个法向量为 n , , x y z ,n AD n DE , AD 4,4, 2, DE 0, 4,2n AD 0, n DE 0从而 4 x 4 y 2 z 0, 4 y 2 z 0 , 令 y 1,就 n 2,1,2 , cos CA n 23二面角 A ED B的的正弦值为 53（3）V 1 S BCED AC 16,几何体的体积 V 为 163点评： 此题考查异面直线所成角的求法、考查二面角的求法和多面体体积的求法空间向量对解决三类角（异面直线角、线面角、面面角）的运算有肯定的优势对理科考生来说除了要在空间向量解决立体几何问题上达到特别娴熟的程度外,不要忽视了传统的方法,有些
23、试题开头部分的证明就没有方法使用空间向量【专题训练与高考猜测】说明：文科以挑选题、填空题和解答题前三题为主理科以挑选题、填空题和解答题后名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载三题为主一、挑选题1如图为一个几何体的三视图,尺寸如下列图,就该几何体的表面积为（不考虑接触点）A 63B 1834C 182 3D32（）2某几何体的三视图如下列图,依据图中数据,可得该几何体的体积是（）A 3 2 3 B2 3 3 C 2 2 3 3 D 3 2 2 33已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为 2 的正
24、三角形, 俯视图是直径为 2 的圆, 就名师归纳总结 此几何体的外接球的表面积为B8（）A 4 3第 11 页,共 28 页3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载16 32CD3 34一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45 ,腰和上底长均为 1的等腰梯形,就这个平面图形的面积是（）A 1 2 B1 2 C1 2 D2 22 2 25 一个盛满水的三棱锥容器 S ABC ,不久发觉三条侧棱上各有一个小洞 D E F ,且知SD DA SE EB CF FS 2:1,如仍用这个容器盛水,就最多可盛原先水的（）23 19
25、30 23A BCD29 27 31 276 点 P 在直径为 2 的球面上,过 P 作两两垂直的三条弦,如其中一条弦长是另一条弦长的2 倍,就这三条弦长之和为最大值是（）A 2 70 B3 70 C4 15 D6 155 5 5 57正方体 ABCD A B C D 中,AB 的中点为 M ,DD 的中点为 N ,异面直线 B M 与 CN所成的角是（）A 30 B 90 C 45 D 608已知异面直线 a 和 b 所成的角为 50 ,P 为空间肯定点, 就过点 P 且与 a b 所成角都是 30的直线有且仅有（）A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条9如下列图,四边形 ABCD
26、中,AD / / BC AD AB , BCD 45 , BAD 90,将 ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD 平面 BCD ,构成三棱锥 A BCD,就在三棱锥A BCD 中,以下命题正确选项（）A 平面 ABD 平面 ABC B平面 ADC 平面 BDCC平面 ABC 平面 BDC D平面 ADC 平面 ABC10设 x 、 y 、 z 是空间不同的直线或平面,对以下四种情形： x 、 y 、 z 均为直线； x 、 y 是直线, z 是平面； z 是直线, x 、 y 是平面； x 、 y 、 z 均为平面其中使 “ x z 且 y z x y ”为真命题的是（）名师归纳总结 A B
27、 C D 第 12 页,共 28 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载11已知三条不重合的直线 m 、 n 、 l 两个不重合的平面、,有以下命题如 m / / , n n,就 m / /；如 l, m 且 l m ,就；如 m , m,m , n,就；如,m , n, n m ,就 n中正确的命题个数是（）A 1 B 2 C 3 D 412直线 AB 与直二面角 l 的两个面分别交于 A B 两点,且 A B 都不在棱上,设直线 AB与平面 , 所成的角分别为 ,就 的取值范畴是（）A 0, B 0, C , D 2 2 2 2
28、二、填空题13 在三棱锥 P ABC 中,PA PB PC 2,APB BPC CPA 30,一只蚂蚁从 A 点动身沿三棱锥的侧面绕一周,再回到 A 点,就蚂蚁经过的最短路程是14四周体的一条棱长为 x ,其它各棱长为 1,如把四周体的体积 V 表示成 x 的函数 f x ,就 f x 的增区间为,减区间为15 如图,是正方体平面绽开图,在这个正方体中：BE 是异面直线； CN 与 BM 成 60 角； DM 与 BN 垂直依次是BM 与 ED 平行； CN 与以上四个说法中,正确说法的序号名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - -
29、- - - 16 已知棱长为 1的正方体优秀学习资料欢迎下载A B 的中点,就直线AE 与平面ABCDA B C D 中, E 是ABC D 所成的角的正弦值是三、解答题17已知,如图是一个空间几何体的三视图（1）该空间几何体是如何构成的；（2）画出该几何体的直观图；（3）求该几何体的表面积和体积18如图,已知等腰直角三角形RBC ,其中RBC90,RBBC2点A D 分别是名师归纳总结 RB , RC 的中点, 现将RAD 沿着边 AD 折起到PAD 位置, 使 PAAB ,连结 PB 、第 14 页,共 28 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优
30、秀学习资料 欢迎下载PC （1）求证： BCPB ；AA 11AB ,点E M 分别为A B CC 的（2）求二面角ACDP的平面角的余弦值19如下图,在正四棱柱ABCDA B C D 中,2中点,过点 A B M 三点的平面 1A BMN 交 C D 于点 N （1）求证： EM 平面 A B C D ；（2）求二面角BA NB 的正切值；,V V （V 1V ）,求（3）设截面A BMN 把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为V 1:V 的值BAD90, PA 垂20 如图,在四棱锥PABCD中,底面为直角梯形,AD/BC直于底面 ABCD ,PA AD AB 2 BC 2 , M ,
31、N 分别为 PC , PB 的中点（1）求证：PB DM；（2）求 BD 与平面 ADMN 所成的角； （3）求截面 ADMN 的面积名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载ACBC,21如图,正方形 ACDE 所在的平面与平面 且 AC BCABC 垂直,M 是 CE 和 AD 的交点,（1）求证： AM平面 EBC ；（2）求直线 AB 与平面 EBC 所成的角的大小；（3）求二面角 A EB C 的大小22已知斜三棱柱ABCA B C ,BCA90,ACBC2,A 在底面 ABC 上的射影恰为
32、 AC 的中点 D ,又知 BA 1 AC （1）求证：AC 1 平面 A BC ；（2）求 CC 到平面 1A AB 的距离；（3）求二面角 A A B C 的一个三角函数值【参考答案】1解析： C 该几何体是正三棱柱上叠放一个球故其表面积为名师归纳总结 32 3232 2412182 33 的正方形、高为3 的四棱柱,上半422解析： B 这个空间几何体的是一个底面边长为第 16 页,共 28 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载部 分 是 一 个 底 面 边 长 为 3 的 正 方 形 、 高 为 2 的 四 棱 锥 , 故
33、 其 体 积 为3 3 3 1 3 3 2 3 3 233解析：C 由三视图知该几何体是底面半径为 1,高为 3 的圆锥, 其外接球的直径为 4 334解析： D 如图设直观图为 O A B C ,建立如下列图的坐标系,依据斜二测画法的规章,在原先的平面图形中 OC OA,且 OC 2,BC 1,OA 1 2 21 2,故2其面积为1 1 2 2 2 2 225解析： D 当平面 EFD 处于水平位置时,容器盛水最多1 1V F SDE 3 S SDE h 13 SD SE sin DSE h 1 SD SE h 1 2 2 1 4V C SAB 1 S SAB h 2 1 SA SB sin
34、 ASB h 2 SA SB h 2 3 3 3 273 3最多可盛原先水得1x4235x2y24,27276解析： A 设三边长为,2 , x y ,就名师归纳总结 令x4cos ,y2sin,3xy34cos2sin270第 17 页,共 28 页555- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载7解析： B 如图,取 AA 的中点 P ,连结 BP,在正方形 ABB A 中易证 BP B M 8解析： B 过点 P 作 a a , b b ,如 P a ,就取 a 为 a ,如 P b,就取 b 为 b 这时a ,b 相交于 P 点,
35、它们的两组对顶角分别为 50 和 130 记 a ,b 所确定的平面为,那么在平面 内,不存在与 a , b 都成 30 的直线过点 P 与 a , b 都成 30 角的直线必在平面 外,这直线在平面 的射影是 a ,b 所成对顶角的平分线 其中射影是 50对顶角平分线的直线有两条 Bl 和 l ,射影是 130 对顶角平分线的直线不存在故答案选9解析：D 如图,在平面图形中 CD BD ,折起后仍旧这样, 由于平面 ABD 平面 BCD ,故 CD 平面 ABD ,CD AB ,又 AB AD,故 AB 平面 ADC ,所以平面 ADC平面 ABC 10解析： C x 、 y 、 z 均为直
36、线,明显不行；由于垂直于同一个平面的两条直线平行,故,可以使 “ x z 且 y z x y ” 为真命题； 又由于垂直于同一条直线的两个平面平行,故可以使“ x z 且 y zx y ”为真命题；当x 、 y 、 z 均为平面时,也,不能使 “ x z 且 y zx y ”为真命题11解析： B 中有 m的可能； lm 且 l,可得 m,又 m,故正确；中当mn 时,结论不成立；就是面面垂直的性质定理,正确故两个正确的名师归纳总结 12解析： B 如图,在 Rt ADC 中,ADABcos ,ACABsin,而 ADAC ,即第 18 页,共 28 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - cossin优秀学习资料欢迎下载2cos2,故2,即2,而当 ABl 时,13解析： 2 2将如图三棱锥PABC ,沿棱 PA 绽开得图,蚂蚁经过的最短路程应是A A,又APBBPCxCPA330,APA90,A A=2214解析：0,6 2,6,2xf2 x ,利用不等式或导数即可判定415解析：如图,逐个判定即可ABC D 于 O ,连 AO 由已知正方体,16解析：10 5取 CD 的中点 F ,连接 EF 交平面名师归纳总结 易知 EO平面ABC D ,所以