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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高一数学用样本估量总体北师大版【本讲训练信息 】一、教学内容：用样本估量总体二、学习目标1、正确懂得样本数据标准差的意义和作用,学会运算数据的标准差；2、能依据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特点（如平均 数、标准差） ,并做出合理的说明；3、会用样本的基本数字特点估量总体的基本数字特点；4、形成对数据处理过程进行初步评判的意识；5、在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估量总体的思想,懂得数形结合的数学 思想和规律推理的数学方法；6、会用随机抽样的方法和样本估量总体的思想解决一些简洁的实际问题,熟悉统计的作 用,能够
2、辩证地懂得数学学问与现实世界的联系；三、学问要点1、数据的两个特点：集中趋势和波动性；集中趋势指的是数据的“ 一般水平” 或曰“ 平 均水平” ,波动性指的是数据环绕“ 平均值” 的变化情形；2、反映数据“ 大多数水平”（集中趋势）的量众数 众数：即样本数据中频数最大（或频率最高）的数据；特点：可以不存在或不止一个；不受极端数据的影响,求法简洁；牢靠性差, 如 0,0,2,3,5 这组数据中, 众数是 0,它很难真实反映这组数据的“ 平 均水平” （集中趋势） ；众数在难以定义“ 平均数” 或“ 中位数” 经常用,故一般可用于统计非数字型数据,如“ 牛,羊,马,鱼,牛” 这组数据中,众数是“
3、牛”；众数在销售统计中常用3、反映数据“ 中间水平”（集中趋势）的量中位数中位数：把一组数据按从小到大的数序排列,叫做这组数据的中位数；在中间的一个数字 （或两个数字的平均值）特点：中位数把样本数据分为两部分,一部分大于中位数,另一部分小于中位数；中位数不受少数几个极端值的影响；由于当样本数据为偶数个时,中位数等于中间两个数据的平均值,因此有时中位数未必在样本数据中 4、反映数据“ 平均水平”（集中趋势）的量平均数 平均数：全部数据之和再除以数据的个数所得值,又称算术平均数；公式：名师归纳总结 aa 1a 2na n在极差较大的第 1 页,共 8 页特点： 一般情形下能有效地反映数据的集中趋势
4、；但易受极端值的影响,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 情形下,不如众数和中位数精确；5、反映数据“ 波动范畴” 的量 极差 极差（ R）：一组测量数据中,最大值与最小值之差称为极差特点： 极差只指明白测定值的最大离散范畴,而未能利用全部测量值的信息,不能精确反映测量值彼此相符合的程度；但运算简洁6、反映数据“ 波动大小” 的量 方差,随方差：样本中各数据与样本平均数的差的平方的平均数叫做样本方差（或均方差）机变量 X 的方差可记作：S 2（或 D（X）；特点：方差越大,数据的波动性越大；n X i X 2S i i 1n7、反映数据“ 波动大小” 的
5、量 标准差标准差：方差的平方根,记作S；特点：标准差越大,数据的波动性越大；S i nXiX2i 1n8、用样原来估量总体：一般情形下,假如总体的容量较大,不便分析其数据特点,我们可以通过随机抽取肯定的样本,通过样本的数据特点来对总体的数据特点进行估量；但难免有肯定误差；【典型例题】考点一 合理挑选统计量 例 1、有一首打油诗“ 张村有个张千万,隔壁九个穷光蛋,平均起来算一算,人人都是张 百万； ”这首诗反映了什么现象？如何挑选恰当的统计量来反映该村的收入水平？某次数学考试,婷婷得到78 分；全班共30 人,其他同学的成果为1 个 100 分, 4 个 90 分, 22 个 80分,以及 1
6、个 2 分和 1 个 10 分；婷婷运算出全班的平均分为77 分,所以婷婷告知妈妈说,自己这次的成果在班上处于“ 中上水平”；她说得对吗？如何挑选恰当的统计量来反映她的成果在班上的真实位置？【分析】 在极差较大的情形下,用平均数来反映数据的特点往往显现较大的偏差,详细表现为标准差较大,如打油诗中数据的标准差达到了惊人的3000000,而婷婷班上成果数据的标准差也达到了19.93,所以才会显现基本上都是不名一文的村子却“ 人人都是百万富翁”以及排名倒数第三的成果成了“ 中上水平” 的不正常现象；【答】 上述现象说明： 平均数受极端值影响较大,来刻画数据的数字特点,可选用众数或中位数；考点二 从统
7、计图表中提取样本的数字特点在极差较大的情形下,不宜用平均数名师归纳总结 例 2、已知一组数据共有二十个,它的频率分布直方图如下（纵轴表示频率）：第 2 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 试依据上图写出该组数据的中位数,众数,平均数并求其标准差；【分析】 明白频率分布直方图的意义；明白所求各量的意义；x【 解 】 由 图 可 知 ： 该 组 数 据 的 中 位 数 是32435., 众 数 是5 , 平 均 数.0 12010 . 1202.0152030 . 152040 3.2050 2.206204 . 050 1.1.0120 .
8、1530 . 1540 . 350 2.6标准差 S=1.64 【说明】 假如已知各数据的频率,就求平均值时对频率与对应数据的积求和即可,即xnx ip i；i1反映数据集中趋势的常用量平均值考点三例 3、在一次射击训练中,甲乙两位选手分别进行了10 次射击测试,中靶成果如下：甲10 10 9 9 8 10 10 7 9 8 乙9 6 10 10 9 10 7 9 10 8 依据上表数据运算,谁的成果更好？【分析】 此题是依据10 次测试的成果来对选手的竞技状态进行评判,属于依据样本来对总体进行估量；两组数据的极差均不大,因此可选用平均数来进行估量；【解】x 甲 9,乙 8 . 8,由于 x
9、甲 x 乙,因此甲的成果好于乙的成果；考点四 反映数据波动性的常用量方差或标准差例 4、甲乙两位选手在射击训练中的测试成果如下：甲10 10 9 9 9 9 8 9 9 8 乙9 6 10 10 9 10 9 9 10 8 依据上表回答：哪位选手的状态更好？依据历次竞赛的数据统计,获奖选手平均中靶的环数至少为 手参赛较好？9.5,那么应当派哪位选【分析】 以这 10 次测试的平均成果来进行估量；经过运算可知,两位选手的平均成果都不超过 9.5,可结合稳固性来考虑；明显,稳固性越好,获奖的可能性越小；【解】 x 甲 x 乙 9,因此两位选手的平均成果是相同的；但是, S甲=0.67,S乙=1.2
10、5,由于 S甲S乙,所以甲发挥得更稳固；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由于x 甲x 乙995.,且 S甲S乙,因此可派出乙选手参与竞赛；说明： 对其次个问题的处理,也可结合众数进行；甲的数据的众数是 9,乙的数据的众数是 10 和 9,反映出大多数情形下,甲能打出 9 环,而乙能打出 9 环或 10 环；五、数学思想方法本讲主要内容是依据样本的数字特点对总体的数字特点进行估量,基本做法是挑选合适的样本估量量作为总体的数字特点；通过对这些内容的学习,我们要学会如何合理地整理和分析数据,如何从数据中提取信息,并依据实
11、际问题的需要,从样本数据的数字特点动身,对总体的数字特点进行估量,体会用样本估量总体的思想；从而进一步熟悉到抽样调查对于解决一些实际问题的庞大作用；体会到统计学问与生产和生活实践的紧密联系,从而感受到“ 数学是有用的” 这样一种课程理念；【模拟试题】（答题时间： 60 分钟）一、挑选题1. 某校为了明白同学的课外阅读情形,随机调查了50 名同学,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据,结果用下面的条形图表示.依据条形图可得这50 名同学这一天平均每人的课外阅读时间为（）D.1.5 h A. 0.6 h B.0.9 h C.1.0 h 2. 在用样本估量总体数字特点的过程中,以下说法中正确选
12、项（）A. 总体容量越大,估量越精确 C. 样本容量越大,估量越精确B. 总体容量越小,估量越精确 D. 样本容量越小,估量越精确3. 假如把一组数据中的每一个数据都加上同一个常数,就加后数据的标准差和以前相比A. 变大B. 变小C. 不变D. 不确定4. 假如把一组数据中的每一个数据都乘以同一个正数 况是K ,就其平均值和标准差的变化情A. 都变为原先的K 倍K2 倍B. 平均值为原先的K 倍,标准差为原先的C. 平均值变为原先的K ,标准差为原先的 nK 倍D. 都不变名师归纳总结 *5. 设有 n 个样本x x 2,x ,其标准差为xs ,另有 n 个样本y y 2,y ,且第 4 页,
13、共 8 页y k3x k5k1, 2,n ,其标准差为ys,就以下关系正确选项A. s y3 s x5B. s y3s xC. s y3 s xD. s y3 s x5- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6. x 是x x2,x 100的平均数, 2 是x x 2,x 40的平均数, 3 是x 41,x 42,x 100的平均数,就 x的值为A. 2.5 B. 2.6 C. 2.7 D. 2.8 *7. 假如数据 x1、x2、 、 xn 的平均值为 x,方差为 S 2 ,就 3x1+5、3x2+5、 、 3xn+5 的平均值和方差分别为（）. A. x和
14、 S 2B. 3 x +5 和 9S 2C. 3 x +5 和 S 2D. 3 x +5 和 9S 2+30S+25 二、填空题8. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000 人,并依据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）；为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从 这 10000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查,就在 2500,3000 （元）月收入段应抽出 _人；9. 已知样本方差由s2110xi52,求得,就x 1x 2x 1010i1三、解答题 10. 在篮球竞赛的某个赛季中,甲、乙两名篮球运动员每场竞赛得分的原始记录如下 甲运动员得分1
15、2,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50；乙运动员得分8,13, 14,16,23, 26,28,38,39,51,31,29, 33 请问从上面的数据中你能否看出甲,乙两名运动员哪一位发挥比较稳固？11. 相关规定说明：蛋糕存放不能超过一天；已知某蛋糕店试营业一周内日销售数量经统 计为： 14,15,15,15,15,17, 21（单位：盒） ；问：该店正式营业时,以日生产多少盒 蛋糕为最好？*12. 设有 10 个数的平均数是3,且这 10 个数的平方和是100,求这个数组的标准差；13. 有甲乙两个单位都情愿聘用你,而你能获得如下信息：名师归纳总结 -
16、- - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 依据工资待遇的差异情形,你情愿挑选哪家单位？名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【试题答案】一、挑选题题号1 2 3 4 5 6 7 答案B C C A B B B 二、填空题8. 25；9. 50三、解答题10. 经运算, 甲的成果数据的平均值和标准差分别为32.69 和 12.04,乙的成果数据的平均值和标准差分别为 26.85 和 12.11,因此甲平均每场得分高而且发挥稳固；11. 平均数是 16,众数是 15；如日生
17、产 所以日生产 15 盒为宜；12. 16 盒,就铺张太多, 也不能满意全部顾客的要求；10x ix210x i22 x ixx22 乙10x i2610x i90Si110i110i1i11010063090140000,S112000；在两个单位工资的平均值1013. 解：x 甲1400,S2 甲x 乙相等的情形下,假如认为自己才能很强,应挑选工资方差大的单位,即乙单位；假如认为自名师归纳总结 己才能不强,就应挑选工资方差小的单位,即甲单位. 第 7 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页