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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 解三角形学问正弦定理 解三角形 应用举例 余弦定理一公式与结论1角与角关系：A+B+C = ；2边与边关系：（1）大角对大边,大边对大角（2）两边之和大于第三边,两边只差小于第三边 解三角形问题可能显现一解、两解或无解的情形,这时应结合“ 三角形中大边对大角定理 及几何作图来帮忙懂得 3正弦定理：正弦定理：aAcbcC2R（其中 R 是三角形外接圆的半径）sinsinBsin变形：角化边a2RsinAb2RsinBc2RsinC边化角asinBbsinCcsinA2R2R2Ra:b:sinA:sinB:sinC已知两角和一边；解三角形 已知两边
2、和其中一边的对角名师归纳总结 如： ABC 中,acosAbcosB,就 ABC 是等腰三角形或直角三角形第 1 页,共 9 页bcosAacosB,就 ABC 是等腰三角形；4. 余弦定理：a2b2c22bccosAcosAb2c2a22bc2 ba2c22 accosBcosBa2c2b22acc2a2b22 abcosCcosCa2b2c22ab留意整体代入,如：a2c2b2accosB12- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）如 C= 90 ,就 cosC,这时 c2a2b2由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例（2）余弦
3、定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角五 .三角形面积5面积公式1.S ABC1absinC1bcsinA1acsinB. 2222. S ABC1abcr,其中 r 是三角形内切圆半径2注:由面积公式求角时留意解的个数6 相关的结论：1角的变换在 ABC 中, A+B+C= ,所以 sinA+B=sinC ；cosA+B= cosC；tanA+B= tanC；sin A B cos C , cos A B sin C；2 2 2 2. 2. 三角形的外形如 a 2b 2c 2 时,角 C 是锐角2 2 2如 a b c
4、时,角 C 是直角2 2 2如 a b c 时,角 C 是钝角（3）在 ABC 中, A, B, C 成等差数列的充分必要条件是B=60 ；（4）三角学中的射影定理：在ABC 中,b a cos C c cos A,（5）两内角与其正弦值：在ABC 中,A B sin A sin B,二.应用题1.步骤：由已知条件作出图形,在图上标出已知量和要求的量；将实际问题转化为数学问题；答2.留意方位角；俯角；仰角；张角；张角等如：方位角是指北方向顺时针转到目标方向线的角；名师归纳总结 北方位角俯角张角第 2 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 三、
5、思维总结1解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如 A、B、C）,由 A+B+C = 求 C,由正弦定理求 a、b；（2）已知两边和夹角（如 a、b、c）,应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用 A+B+C = ,求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如 a、b、 A）,应用正弦定理求 B,由 A+B+C = 求 C,再由正弦定理或余弦定理求c 边,要留意解可能有多种情形；（4）已知三边 a、b、c,应余弦定理求 A、B,再由 A+B+C = ,求角 C；2三角形内切圆的半径：r 2S,特殊地,r 直 a b c 斜；a b c 23三角学中的射影定
6、理：在ABC 中,b a cos C c cos A,4两内角与其正弦值：在ABC 中,A B sin A sin B,5解三角形问题可能显现一解、两解或无解的情形,这时应结合“ 三角形中大边对大角定理及几何作图来帮忙懂得”；解三角形（一）名师归纳总结 在ABC 中,已知以下条件,解三角形：第 3 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）c10,A45 ,C30, 求 a ；（两角一边）（2）a2 3,b6,A45,求 B ；（两边一对角）（3）a2,b6,A45,求 B ；（两边一对角）（4）a2,b6,A135,求 B ；（两边一对角
7、）（5）a10, b20,A60,求 B ；（两边一对角）（6）a2,b2,A45,求 B ；（两边一对角）（7）a7,b3,c5,求 A ；（三边）（8）b3, c8,A60,求 a ；（两边一夹角）（二）1在ABC 中,已知 c 10,A=45 ,C=30 ,解此三角形 （两角一边）2.在 ABC 中,已知 B 45,C 60,a 12 cm,解三角形 （两角一边）3. 已知 ABC 中, AB6, A30 , B 120 ,解此三角形 （两角一边）4在ABC 中,已知 b3 ,c1, B60,求 a 和 A, C（两边一对角）5.在 ABC 中,c 6, A 45 , a 2, 求 和
8、B C（两边一对角）6. 在 ABC 中,已知 a 3,b 2,B 45,求 A C 和 c （两边一对角）三 2 2 21.在 ABC 中,如 a b c bc ,求角 A2. 在 ABC 中,已知三边长 a 3,b 4,c 37,求三角形的最大内角3. 在 ABC 中,A 60,b 1,c 2,求 a b c 的值sin A sin B sin C4、在ABC 中, A、B、C 相对应的边分别是 a、b、c,就 acosBbcosA_. 5. 在 ABC 中, sinAsinB sinC234,就 ABC 的余弦值为 _. 题型 6：正、余弦定理判定三角形外形1.在ABC 中,如 2cos
9、BsinAsinC,就 ABC 的外形肯定是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D. 等边三角形2. 已知 ABC中,acosB=bcosA, 就 ABC为 名师归纳总结 13. 判定C 的外形：（1）acosAbcosB ；（2）AB5,BC6,AC8；第 4 页,共 9 页解三角形基础训练1 1. 在 ABC中,a=1,b=3 ,A=30 , 就 B 等于 A.60 B.60 或 120C.30 或 150D.120- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 在 ABC中,A=60 ,C=45 ,b=2, 就此三角形的最小边长为 名
10、师归纳总结 - - - - - - -A.2 B.23 -2 C.3 -1 D.22 -1 3. 在C 中,A B C1: 2: 3,就a b c等于（）A . 1: 2 :3B. 3: 2 :1C. 1:3 : 2D. 2:3:14已知在C 中,sin A sin Bsin C 357,那么这个三角形的最大角是 A 135B90C120D1505. 在C 中,A30 ,a3,就C 的外接圆半径为 A .3 2B. 3 C. 3 3D. 6 6. 在C 中,a2b2c2bc ,就 A 等于 A . 60sinB. 45 A cos = bBC. 120D. 307. 在 ABC中, 如, 就
11、B 的值为 aA.30 B.45 C.60 D.908. ABC 中,如3 a2 bsinA,就 B 为（）9. A. B. 3 6ABC 的三边满意aC. 3或2 3bcD. 6或5C 等于（）6bca3 ab,就A. 15B. 30C. 45D. 6010. ABC 中,“sinAsinB” 是“A=B ” 的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要11. ABC 中,sin2Asin2BsinBsinCsin2C,就 A 等于（）A. 30B. 60C. 120D. 15012. ABC 中,B30,b503,c150,就这个三角形是（）A. 等边三角形B
12、. Rt 三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形13. 在ABC 中,aAbBcCk,就 k =（）sinsinsinA. 2R B. R C. 4R D. 1R 214、在 ABC 中,如 B=30 0,AB23,AC=2,就 ABC 的面积为 _；解三角形基础训练2 1己知三角形三边之比为578,就最大角与最小角的和为 A 90B120C135D150第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2在 ABC 中,以下等式正确选项 A a b A BBa bsin Asin B名师归纳总结 Ca bsin Bsin ADasin Absin B第 6 页,共
13、 9 页3如三角形的三个内角之比为123,就它们所对的边长之比为 A 1 23 B13 2 C1 49 D12 34在 ABC 中,如sinAsinB,就 A 与 B 的大小关系为 A. ABB. ABC. ABD.大小关系不定5. 在ABC 中,a2,b3,C60,就SABC（）. A. 2 3B. 3C. 3D. 3 226在 ABC 中,如 a2b2c20,就 ABC 是 A 锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D外形不能确定7在 ABC 中,如 b3 ,c 3, B30,就 aA 3B23C3 或 23D2 8 已知 ABC 中, AB6, A30 , B120 ,就ABC 的面积为A
14、9 B18C93D1839某人朝正东方向走了x km 后,向左转150,然后朝此方向走了3 km,结果他离动身点恰好3 km,那么 x 的值是 A 3B23C3 或 23D3 10有一电视塔,在其东南方A 处看塔顶时仰角为45,在其西南方B 处看塔顶时仰角为 60,如 AB120 米,就电视塔的高度为 A 603 米B60 米C603 米或 60 米D30 米解三角形基础训练3 1. 在ABC 中,肯定成立的等式是（）A. asinAbsinBB. acosAbcosBC. asinBbsinAD. acosBbcosA2在ABC 中,以下式子不正确选项- - - - - - -精选学习资料
15、- - - - - - - - - Aa2b2c22bccosABa b csinA: sinB: sinCCSABC1AB BCsinADb2RsinB23. 在ABC 中,如cosAb,就ABC 是（）cosBaA. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰或直角三角形4已知ABC中, a4, b43 , A30 ,就 B等于 A30B 30 或 150C60D60 或 1205. 在 ABC 中,a3 2,b23,cos C1,就SABC_ 36在ABC 中,A150,就3sinAcosBC的值为7. 在ABC 中,sinA2cosBsinC,就三角形为；8. 如S413b2
16、c2a2,就 A= ；9在ABC 中, A60,a3,就sinAabBcsinCsin10在 ABC 中,如 a2b 2 c 2,且 sin C3 ,就 C211在 ABC 中,如 sin Asin Bsin C234,就最大角的余弦值12、在 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ,如三角形的面积S 1 a 2b 2c 2,就 C 的度数是 _；42 2 213、已知 a、b、c 分别是ABC中角 A、B、C的对边,且 a c b ac （）求角 B 的大小；（）如 c 3 a ,求 tan A 的值解三角形基础训练 4 名师归纳总结 1. 在ABC 中,A45,B
17、60,a10, 就 b（）第 7 页,共 9 页5 610 6A. 5 2 B.10 2 C. D.3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 在ABC 中, a1,b2,A30 , 就 B（）A 45 B 45 或 135 C 135 D 无解3. 在 ABC 中,如 a 2b 2c 23bc,就 A 为（）A 75 B 120 C 150 D 304在 ABC 中,a 6,B 30,C 120,就 ABC 的面积是（）A 9 B 18 C 9 3 D18 35在 ABC 中,如 b 2 a sin B,就角 A 等于（）A 30 , 或 60 B 4
18、5 , 或 60 C 120 , 或 60 D 30 , 或 1506在ABC中,如 sin A 2 cos B cos C , 就 tan B tan C _；7在ABC中,如 a 9 , b 10 , c 12 , 就 ABC的外形是 _；8. 在 C 中,已知 B 45,C 60 , c 1 ,就最长边的长度为 .9. 在 C 中,如 a b,就 sin A sin B 填不等号 10某船开头观察灯塔在南偏东 30 方向,后来船沿南偏东 60 的方向航行 30 nmile 后观察灯塔在正西方向,就这时船与灯塔的距离是 . 11在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为 ,由此点向塔沿直线行走
19、30 米,测得塔顶的仰角为 2 ,再向塔前进 10 3 米,又测得塔顶的仰角为 4 ,就塔高是 米. 12. 在 ABC中, 已知 tanA= 1 ,tanB= 1 , 且最长边为 1, 求: 2 31 角 C的大小 ; 2 ABC最短边的长 . 作业名师归纳总结 1. 在ABC 中,如cos cosAb,就ABC 是（）. 第 8 页,共 9 页BaA 等腰三角形B等腰三角形或直角三角形C直角三角形D等边三角形- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 已知 ABC 中, ABC114,就 ab c 等于（）. A 114 B1 12 C113D2233
20、. 在 ABC 中,如 sin A sin B ,就 A 与 B 的大小关系为（）. A. A B B. A BC. A B D. A 、 B 的大小关系不能确定4. 已知 ABC 中, sin A : sin B :sin C 1: 2 :3,就 a b c = 2. 已知三角形的三边长分别为 3、5、7,就最大角为（） . A 60 B 75 C 120 D 1503. 已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x,就 x 的取值范畴是（）. A 5 x 13 B13 x5C 2x5 D5 x5 2. 已知在ABC 中, sinA sinBsinC357,那么这个三角形的最大角是（） . A 1
21、35B90C120D1504. 在 ABC 中, sinA:sinB:sinC4:5:6,就 cosB5. 已知 ABC 中,b cos C c cos B ,试判定ABC 的外形2. 台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动,离台风中心 30 千米内的地区为危急区,城市 B 在 A 的正东 40 千米处, B 城市处于危急区内的时间为（）. A 0.5 小时 B 1 小时C1.5 小时 D 2 小时4.在 ABC 中,已知 a 4,b 6,C 120,就 sin A 的值是5. 一船以每小时 15km 的速度向东航行, 船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60 ,行驶 h后,船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15 ,这时船与灯塔的距离为 km2. 某船在海面 A 处测得灯塔 C 与 A 相距 10 3 海里,且在北偏东 30 方向；测得灯塔 B 与A 相距 15 6 海里, 且在北偏西 75 方向 . 船由 A 向正北方向航行到 D 处,测得灯塔 B 在南偏西 60 方向 . 这时灯塔 C 与 D 相距多少海里？名师归纳总结 14. 在C 中,已知C2 ,C3,cos24第 9 页,共 9 页5求sin的值；求 sin6的值- - - - - - -