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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题 1. 写出以下线性规划问题的对偶问题；maxz5x 16x23x 3m ,m minz2x12x24x 3x 13x24x32x 12x22x350 12x 1x23 x33 2 x15x2x33x 14x23 x354x 17x 23x38x 1,x 20,x3 无约束x 1 无约束,x20 ,x3mnn1 ,m 1minzcjxjminzcijxijj1i1j1nnaijxjb i i3j1x ijaii,1,m 4j1mnm 1,1m 22 ,aijxjb i ix ijbjj,1,ni1j1j
2、,1,n 1,nx ij0i,1,m;j,1,nxj0无约束2. 判定以下说法是否正确,为什么. 1 假如线性规划的原问题存在可行解,就其对偶问题也肯定存在可行解；2 假如线性规划的对偶问题无可行解,就原问题也肯定无可行解； 3 在互为对偶的一对原问题与对偶问题中,不管原问题是求极大或微小,原问题可行解的目标函数值肯定不超过其对偶问题可行解的目标函数值；4 任何线性规划问题具有唯独的对偶问题；3. 已知某求极大化线性规划问题用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单纯形表如下表所示,求表中各括弧内未知数的值； C Bcj基zjB 3 2 2 0 0 0 x1x 2x 3x4x 5x60 x4b 1
3、 1 1 1 0 0 2 x515 a 1 2 0 1 0 1 x620 2 c 1 0 0 1 0 0 2 0 0 0 1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 0 x45/4 0 0 d l -1/4 -1/4 3 cjx1zj25/4 1 0 e 0 3/4 i 2 x25/2 0 1 f 0 h 1/2 -1 k g 0 -5/4 j 4. 给出线性规划问题min z 2 x 1 3 x 2 5 x 3 6 x 4x 1 2 x 2 3 x 3 x 4 22 x 1 x 2 x 3 x 4 3x j 0 j ,1
4、 , 4 1 写出其对偶问题；2 用图解法求解对偶问题；3 利用 2 的结果及依据对偶问题性质写出原问题最优解；5. 给出线性规划问题max z x 1 2 x 2 x 3x 1 2 x 2 x 3 2x 1 x 2 x 3 12 x 1 x 2 x 3 2x 1 0 , x 2 ,0 x 3 无约束1 写出其对偶问题；2 利用对偶问题性质证明原问题目标函数值 z1； 6. 已知线性规划问题max z x 1 x 2x 1 x 2 x 3 22 x 1 x 2 x 3 1x 1 , x 2 , x 3 0试依据对偶问题性质证明上述线性规划问题目标函数值无界； 7. 给出线性规划问题2 名师归纳
5、总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - maxz2x 14x2x3x4x13x2x48X *=2,2,4,0,试依据对2x 1x26x2x3x46x1x2x39xj0j1,4要求：（1）写出其对偶问题； （2）已知原问题最优解为偶理论,直接求出对偶问题的最优解；8. 已知线性规划问题A和 B 如下：问题 B ,对偶变量问题 Annmaxzcjxj对偶变量max zcjxjj1j1nny . 1j15 a 1jxj5 b 1a 1jxjb 1y 1j1jn11a 2jxj1b 2y . 2na2jxjb2y255j1nnb 33 b
6、 1y . 3a3jxjb3y3a 3j3 a 1jx jj1j1nxj0j,1,nxj0j,1试分别写出iy.同yii,123,间的关系式；9. 用对偶单纯形法求解以下线性规划问题；（1）minz4x 1312x 218 x3（2）minz5x 12x 24x3x 123x 253 x 1x222x 442 x2x 36x 13x5 x 310xj0j,1 ,2 3 xj0j,1 2 3, 10. 考虑如下线性规划问题：min z 60 x 1 40 x 2 80 x 33 x 1 2 x 2 x 3 24 x 1 x 2 3 x 3 42 x 1 2 x 2 2 x 3 3x j 0 j
7、,1 2 , 3 要求： 1 写出其对偶问题；2 用对偶单纯形法求解原问题；3 用单纯形法求解其对偶问题；4 对比 2 与3 中每步运算得到的结果；3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 11. 已知线性规划问题：maxz2x 1x 2x3x 1x 2x 36x22 x 24xj0j,2,1 3 先用单纯形法求出最优解,再分析在以下条件单独变化的情形下最优解的变化；1 目标函数变为max z2x1+3x2+x3；x32 约束右端项由6变为3；443 增加一个新的约束条件-x 1+2x32；12. 给出线性规划问题max
8、z2x 13x21x11x21x31 33331x14x27x2333xj0j,1,23 用单纯形法求解得最终单纯形表见下表；2 3 1 0 0 C B 基 B x1 x2 x3 x 4 x 52 x1 1 1 0 -1 4 -1 3 x2 2 0 1 2 -1 1 c j z j 0 0 -3 -5 -1 试分析以下各种条件下最优解 基 的变化： 1 目标函数中变量 x3的系数变为 6； 2 分别确定目标函数中变量 xl 和 x2 的系数 c1、c2 在什么范畴内变动时最优解不变；（3）约束条件右端项由1变为2；7；33（4）增加一个新的变量x 6,P 61,c 614 名师归纳总结 - -
9、 - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5 增加一个新的约束 x1+2x2+x34；13. 分析以下线性规划问题中,当且变化时最优解的变化,并画出 z 对 的变化关系图；31minzx 1x2x 32x42maxz3x 12x 2x 1x 32x 422 x 15x2106x 1x 2122 x 1x23 x 45x 1x 21xj0j,14xj0j,12minzx 1x 22x 3x 44maxz3 x 12 x 25 x 3x 12x 3x 424x 12x 2x 3403 x 12 x 3602x 2x 3x41x 14 x 2307x
10、j0j,1xj0j,1 3,214. 某厂生产A, B,C 三种产品,其所需劳动力、材料等有关数据见下表；要求： 1 确定获利最大的产品生产方案；2 产品 A 的利润在什么范畴内变动时,上述最优方案不变； 3 假如设计一种新产品 D,单件劳动力消耗为 8 单位,材料消耗为 2单位,每件可获利 3 元,问该种产品是否值得生产 .4 假如劳动力数量不增,材料不足时可从市场购买,每单位 宜；0.4 元；问该厂要不要购进原材料扩大生产,以购多少为A B C 可用量 15.劳动力6 3 5 45 材料3 4 5 30 产品利润（元 / 件）3 1 4 已知线性规划问题maxzc 1t 1x 1c 2x2
11、c3x 30x 40x 5a 11x 1a 12x 2a 13x 3x 4b 13 t2a21x 1a 22x2a23x3x 5b 2t2xj0j1 ,., 5 当t1t20时求得解最终单纯形表进见下表；5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 项目1xx23xx4x50 0.5 1 0.5 0 3x 5/2 1 -0.5 0 -1/6 1/3 1x 5/2 c j z j 0 -4 0 -4 -2 （1）确定 c 1 , c 2 , c 3 , a 11 , a 12 , a 13 , a 21 , a 22 , a
12、23 和 b 1,b 2 的值；（2） 当 2t 0 时,1t 在什么范畴内变化上述最优解不变；（3）当 1t 0 时,2t 在什么范畴内变化上述最优基不变； 16某文教用品厂利用原材料白坯纸生产原稿纸、日记本和练习本三种产品；该厂有工人 100 人,每天白坯纸的供应量为30000kg；如单独生产各种产品时,每个工人每天可生产原稿纸 30 捆,或日记纸 30 打,或练习本 30 箱；已知原材料消耗为：每捆原稿纸用白坯纸 3 1kg, 每打日记本用白坯纸 13 1kg, 每箱练习本用白坯纸3 3226 kg； 已知生产各种产品的赢利为：每捆原稿纸 1 元,每打日记本 2 元,每箱练3习本 3 元；试打算：（1）在现有生产条件下使该厂赢利最大的方案；（2）如白坯纸供应量不变, 而工人数量不足时可从市场上招收暂时工,暂时工费用为每人每天 15 元；问该厂应否招暂时工及招收多少人为宜；6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页