《2022年解三角形应用举例》教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年解三角形应用举例》教案.docx（41页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第八节 解三角形应用举例适用学科数学适用年级高一适用区域新课标课时时长（分钟）60 长度、高度问题知 识 点 方向、角度问题方案设计问题能够运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些与测量和几何计教案目标教案重点教案难点算有关的实际问题.运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决实际问题的才能运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决实际问题的才能1 / 27 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 教案过程一、复习预习老师引导同学复习上节内容,并引入本节课程内容2 / 27 名
2、师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二、学问讲解考点 1 用正弦定理和余弦定懂得三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、运算面积问题、航海问题、物理问题等3 / 27 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 考点 2 实际应用中的常用术语术语名称术语意义图形表示在目标视线与水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的 仰角与俯角 叫做仰角,目标视线在水平视线下方的叫做俯角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹 方位角
3、角叫做方位角方位角的范畴是0 ,360例： 1北偏东 m：正北或正南方向线与目标方向线方向角所成的锐角,通常表达为北南2南偏西 n：偏东 西 度坡角坡面与水平面的夹角设坡角为 ,坡度为i ,就 i坡面的垂直高度h 和水平宽度lh ltan 坡度 的比4 / 27 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三、例题精析【例题 1】【题干】 隔河看两目标A 与 B,但不能到达,在岸边选取相距3 km 的 C、D 两点,同时,测得 ACB 75 , BCD 45 ,ADC 30 , ADB45 A、 B、C、D 在同一平面内 ,
4、求两目标 A、B 之间的距离【解读】 如图,在 ACD 中, ACD120 ,CADADC 30,所以 ACCD3. BC 3 2 在 BCD 中, BCD 45 , BDC 75 , CBD 60 ,由正弦定理知3 sin 7562 . sin 602在 ABC 中 , 由 余 弦 定 理 , 得 AB2 AC2 BC2 2ACBCcos ACB 6222 362cos 75 32335,所以 AB5 km ,22所以 A,B 两目标之间的距离为5 km. 5 / 27 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例题
5、2】【题干】 某人在塔的正东沿着南偏西 60 的方向前进 40 m 后,望见塔在东北方向,如沿途测得塔顶的最大仰角为 30 ,求塔高【解读】 如下列图,某人在 C 处, AB 为塔高,他沿 CD 前进, CD 40,此时 DBF45 .过点 B 作 BECD 于 E,就 AEB 30 . 在 BCD 中, CD40,BCD30,DBC 135,由正弦定理,得CD sinDBCBD sinBCD,就 BD40sin 30 sin 135202. BDE180135 3015. 在 Rt BED 中,BEDB sin 1520262 10314在 Rt ABE 中, AEB30 ,就 AB BEt
6、an 3010 3 33故塔高为10 3 33 m. 6 / 27 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例题 3】【题干】 如图,在海岸 A 处发觉北偏东 45 方向,距 A 处 31海里的 B 处有一艘走私船在 A 处北偏西 75 方向,距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船奉命以 10 3海里 /小时的速度追截走私船,此时走私船正以 10 海里 /小时的速度,从 B 处向北偏东 30 方向逃窜问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间【解读】 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时,才能最快截获
7、在 D 点走私船,就CD 103 t 海里, BD10 t 海里,3 122223在 ABC 中,由余弦定理,有BC2AB 2AC22ABACcos A1 2cos 120 6.解得 BC6. 又BC sin AAC sinABC,sinABCACsin A BC2sin 1202 2,6 ABC45,B 点在 C 点的正东方向上, CBD 9030120,BD CD BDsinCBD在 BCD 中,由正弦定理,得 sin BCDsinCBD, sinBCD CD10tsin 12010 3t1 2. BCD30,缉私船沿北偏东 60的方向行驶又在 BCD 中, CBD120 ,BCD 30,
8、 D30,BDBC,即 10t6.t10小时 15分钟6缉私船应沿北偏东 60的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要 15 分钟7 / 27 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例题 4】【题干】 2022 广州模拟 在一个特定时段内,以点 E 为中心的 7 海里以内的海疆被设为戒备水域点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 的北偏东 45 且与点 A 相距 40 2海里的位置 B,经过 40 分钟又测得该船已行26驶到点 A 的北偏东 45 其中 sin 26
9、,0 90 且与点 A 相距 10 13海里的位置C. 1求该船的行驶速度 单位：海里 /时；2如该船不转变航行方向连续行驶判定它是否会进入戒备水域,并说明理由【解读】 如下列图,AB402, AC 1013, BAC,sin 26 26 .由于0 90,所以 cos 126 26 25 26 . 26BCAB 2AC 22ABACcos 10 5. 10 5所以船的行驶速度为 2 15 5海里 /时32法一：如下列图8 / 27 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 以 A 为原点建立平面直角坐标系,设点B,C 的坐
10、标分别是Bx1,y1, Cx2,y2,BC与 x 轴的交点为 D. 2由题设,得 x1y12 AB 40,x2 ACcosCAD10 13 cos4530,y2 ACsinCAD 10 13 sin4520. 所以过点 B,C 的直线 l 的斜率 k20 102,直线 l 的方程为 y2x 40. 又点 E0, 55到直线 l 的距离 d|055 40|31457,所以船会进入戒备水域法二：如下列图,设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q.在 ABC 中,由余弦定理,AB 2BC 2 AC 240 22 10 2510 213 3 10得 cosABC2ABBC240 210 510 .
11、 所以 sinABC1cos 2ABC19 1010 . 1010ABsin ABC 40 210在 ABQ 中,由正弦定理,得 AQ40. sin 45ABC 2 2 10210由于 AE5540AQ,所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间,且 QEAEAQ15. 过点 E 作 EPBC 于点 P,就 EP 为点 E 到直线 BC 的距离在 Rt QPE 中, PEQEsinPQEQEsinAQC QE sin45 ABC15 5 59 / 27 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3 57.所以船会进入戒备水域1
12、0 / 27 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 四、课堂运用【基础】1某人向正东方向走 x km 后,向右转 150,然后朝新方向走 3 km ,结果他离动身点恰好是 3 km,那么 x 的值为 A. 3 B2 3 C. 3或 2 3 D3 解读：选 C 如下列图,设此人从 A 动身,就 ABx,BC3,AC3,ABC30 ,由余弦定理得32x 23 22x3cos 30,整理得x 2 3 3x60,解得 x3或 23. 11 / 27 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 27 页精选学习资
13、料 - - - - - - - - - 2一个大型喷水池的中心有一个强大喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45 ,沿点 A 向北偏东 30 前进 100 m 到达点 B,在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30 ,就水柱的高度是 A50 m B100 m C120 m D150 m 解读：选 A 设水柱高度是 h m,水柱底端为 C,就在 ABC 中, A 60 ,ACh,AB100,BC3h,依据余弦定理得, 3h 2h 2100 22h100 cos 60 ,即 h 250h5 0000,即 h50h 1000,即 h50,故水柱的高度
14、是 50 m. 12 / 27 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,如飞机的高度为海拔 18 km,速度为 1 000 km/h ,飞行员先看到山顶的俯角为 30 ,经过 1 min 后又看到山顶的俯角为 75 ,就山顶的海拨高度为 精确到 0.1 km A11.4 B6.6C6.5 D5.6 解读：选 B AB1 000 1 000 6050 000 m,BCAB sin 45sin 3050 000 m. 11.4 km.32航线离山顶h50 000 3 2 sin 7
15、5山高为 1811.46.6 km. 13 / 27 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【巩固】4.2022 年 10 月 29 日,超级风暴 “桑迪 ” 突击美国东部,如图,在灾区的搜救现场,一条搜救狗从 A 处沿正北方向行进 x m 到达 B 处发觉一个生命迹象,然后向右转 105 ,行进 10 m 到达 C 处发觉另一生命迹象,这时它向右转 135 后连续前行回到动身点,那么 x_. 解读： 由题知, CBA75 ,BCA45 , BAC180 754560,x10.x1036 m. sin 45sin 6
16、0答案：106 m 314 / 27 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 52022 铜川模拟 一船向正北航行,观察正西方向有相距 它在一条直线上,连续航行半小时后,观察一灯塔在船的南偏西 的南偏西 75 方向,就这只船的速度是 _海里 /小时10 海里的两个灯塔恰好与 60 方向,另一灯塔在船解读：如图,依题意有 CD CA10.在直角三角形BAC 60 , BAD75 ,所以 CAD CDA 15 ,从而ABC 中,可得AB5,于是这只船的速度是5 0.510 海里 /小时答案： 10 15 / 27 名师归纳
17、总结 - - - - - - -第 15 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【拔高】6如图,某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段 OSM,该曲线段为函数yAsin xA 0,0,x0,4 的图象,且图象的最高点为 S3,23；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全,限定MNP 120. 1求 A, 的值和 M,P 两点间的距离；2应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长？解： 1如下列图,连接 MP.依题意,有 A2 3,T 43. T2 ,6. y2 3sin 6x. 2当 x4 时, y2 3sin
18、 33,M4,3又 P8,0,MP 4 23 25km. 16 / 27 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2在 MNP 中, MNP 120,MP 5,设PMN,就 060 . 由正弦定理得MPNPsin sinMN,31 2sin 3 2 cos 103sin sin 12060NP10 33sin ,MN10 33sin60,故 NP MN 10 33sin 103sin60 10333600 60, 当 30时, NPMN 最大,即将 PMN 设计为 30时,才能使折线赛道 MNP 最长17 / 27 名
19、师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7为扑灭某着火点,现场支配了两支水枪,如图,D 是着火点, A、B 分别是水枪位置,已知 AB1 52 m,在 A 处看到着火点的仰角为60 ,ABC30 ,BAC105 ,求两支水枪的喷射距离至少是多少？解：在 ABC 中,可知 ACB45 ,由正弦定理得AB sinACBAC sinABC,解得 AC15 m. 又 CAD 60 ,AD30,CD 153,53 m. sin 105 sin456062 . 53 m,4由正弦定理得AB sinACBBC sinBAC,解得 BC
20、1562 m. 2由勾股定理可得BDBC2CD215综上可知,两支水枪的喷射距离至少分别为30 m,1518 / 27 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 课程小结解三角形应用题常有以下两种情形 1实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理 或余弦定理求解2实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需 作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程 组,解方程 组得出所要求的解19 / 27 名师归纳总结
21、 - - - - - - -第 19 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 课后作业【基础】1.如下列图,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观看站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观看站 C 的北偏东 20 ,灯塔 B 在观看站 C 的南偏东 40 ,就灯塔 A 与 灯塔 B 的距离为 Aa km B. 3a km C. 2a km D2a km 解读：选 B 利用余弦定懂得 ABC.易知 ACB120 ,在 ABC 中,由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 1202a22a 2 1 23a2,故 AB3a. 20 / 27 名师归纳总结 - - -
22、 - - - -第 20 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 22022 永州模拟 张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的大路行驶,在点 A 处望见电视塔 S在电动车的北偏东 30 方向上, 15 min 后到点 B 处望见电视塔在电动车的北偏东 75 方向上,就电动车在点 B 时与电视塔 S的距离是 A2 2 km B3 2 km C3 3 km D2 3 km 15解读：选 B 如图,由条件知 AB 24 60 6.在 ABS 中, BAS30,AB6,ABS 18075 105,所以 ASB45 .由正弦定理知BSAB,sin 30si
23、n 45所以 BSABsin 3032. sin 4521 / 27 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3.如图,在湖面上高为10 m 处测得天空中一朵云的仰角为30,测得湖中之影的俯角为 45 ,就云距湖面的高度为 精确到 0.1 m A2.7 m B17.3 m C37.3 m D373 m 解读：选 C 在 ACE 中,CE CM 10tan 30AEAE . CM 10AEtan 30 m. 在 AED 中, tan 45 DE AECM 10AE,CM 10 CM 10 CM 10AEtan 45 m,
24、 tan 30tan 45,10 31CM1023 37.3 m.3122 / 27 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【巩固】4 某路边一树干被台风吹断后,折成与地面成 45角,树干也倾斜为与地面成 75角,树干底部与树尖着地处相距 20 m,就折断点与树干底部的距离是 _ m. 解读：如图,设树干底部为 O,树尖着地处为 B,折断点为 A,就ABO 45,AOB75,所以 OAB 60. 由正弦定理知,AO20,解得 AO2036 m. sin 45sin 60答案：206323 / 27 名师归纳总结 -
25、- - - - - -第 23 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5.如图,为明白某海疆海底构造,在海平面内一条直线上的 A、B、C 三点进行测量已知AB50 m,BC120 m,于 A 处测得水深AD80 m,于 B 处测得水深BE200 m,于 C 处测得水深CF110 m,求 DEF 的余弦值解：作 DM AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M,DFMF2 DM22302 170 210298,DEDN2 EN2502 120 2130,EFBEFC2BC902 120 2150. 在 DEF 中,由余弦定理得,cosDEF DE2EF2DF2130 2
26、15021022982DEEF213015016 65. 24 / 27 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【拔高】6.如图,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105 方向的 B1处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 A2处时,乙船航行到甲船的北偏西 120 方向的 B2 处,此时两船相距 10 2海里问：乙船每小时航行多少海里？解：如图,连接A1B2由已知 A2B2102,A1A230220 60102,A1
27、A2A2B2. 又A1A2B2180 120 60 , A1A2B2是等边三角形,A1B2A1A210 2. 由已知, A1B1 20,B1A1B2105 60 45 ,在 A1B2B1中,由余弦定理得2 2 2B1B 2A1B 1A1B 2 2A1B1A1A2cos 45 20 210 2 2220 10 22200,210 2B1B210 2.因此,乙船的速度为 206030 2海里 /时25 / 27 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7.如图,渔船甲位于岛屿A 的南偏西60方向的B 处,且与岛屿A 相距
28、12 海里,渔船乙以 10 海里 /小时的速度从岛屿 A 动身沿正北方向航行,如渔船甲同时从 B 处动身沿北偏东 的方向追逐渔船乙,刚好用 2 小时追上1求渔船甲的速度；2求 sin 的值解： 1依题意, BAC120 , AB12,AC10 2 20,BCA. 在 ABC 中,由余弦定理,得BC 2 AB 2 AC 2 2ABACcos BAC12 220 2212 20 cos 120784. 解得 BC28. 所以渔船甲的速度为BC 2 14 海里 /小时2法一：在 ABC 中,由于 AB12,BAC120,26 / 27 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - BC28, BCA,AB BC由正弦定理,得 sin sin 120 . 3即 sin ABsin 120 BC1228 23 3 14 . 法二：在 ABC 中,由于 AB12,AC20,BC28,BCA,由余弦定理,得cos AC2BC2AB211323 3 14 . ,2ACBC即 cos 20 228 212213 14. 22028由于 为锐角,所以sin 1cos 2 1427 / 27 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页,共 27 页