2022年高一数学圆的方程、直线与圆位置关系典型例题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载高一数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例 1 求过两点A 1,4、B3,2 且圆心在直线y0上的圆的标准方程并判定点P2,4 与圆的关系分析： 欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,只须看点 P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,如距离大于半径,就点在圆上；如距离小于半径,就点在圆内解法一：（待定系数法）而要判定点 P 与圆的位置关系,就点在圆外； 如距离等于半径,x设圆的标准方程为xa2yb2r2圆心在y0上,故b0圆的方程为20a 2y2r2又该圆过A 1,4、B3,2 两点x12y21a 216r2解之得：

2、a1,r220所以所求圆的方程为3a24r2解法二：（直接求出圆心坐标和半径）名师归纳总结 由于圆过A 1,4、B 3,2两点,所以圆心C 必在线段 AB 的垂直平分线 l 上,又由于第 1 页,共 16 页kAB421,故 l 的斜率为 1,又 AB 的中点为2,3 ,故 AB的垂直平分线 l 的方程为：13y3x2即xy10又知圆心在直线y0上,故圆心坐标为C1,0半径rAC 1124220故所求圆的方程为x1 2y220又点P 2,4到圆心C1,0的距离为dPC21 24225r点 P 在圆外例 2 求半径为 4,与圆x2y24x2y40相切,且和直线y0相切的圆的方程解： 就题意,设所

3、求圆的方程为圆C：xa2yb 2r2圆 C 与直线y0相切,且半径为4,就圆心 C 的坐标为C 1a,4或C2a,4又已知圆x2y24x2y40的圆心 A的坐标为2,1 ,半径为3如两圆相切,就CA437或CA4311 当C 1a,4 时,a2 241272,或a2 241 22 1无解 ,故可得a2210所求圆方程为x22102y4242,或x22102y4242- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 当C2a,4 时,a224优秀教案72欢迎下载2241 22 1无解 ,a22612,或a所求圆的方程为x2262y4 242,或x2262y4242又

4、例 3 求经过点A 0,5,且与直线x2y0和2xy0都相切的圆的方程分析：欲确定圆的方程 需确定圆心坐标与半径,由于所求圆过定点A ,故只需确定圆心坐标圆与两已知直线相切,故圆心必在它们的交角的平分线上名师归纳总结 解： 圆和直线x2y0与2xy0相切,圆心C 在这两条直线的交角平分线上,第 2 页,共 16 页又圆心到两直线x2y0和2xy0的距离相等x2yx2y两直线交角的平分线方程是x3y0或3xy055又圆过点A 0,5 ,圆心 C 只能在直线3xy0上设圆心Ct,3 t C 到直线2xy0的距离等于AC ,2t3tt23 t5 2化简整理得t26 t50解得：t1或t55圆心是 1

5、,3,半径为5 或圆心是5,15,半径为55所求圆的方程为x1 2y3 25或x52y152125例 4、 设圆满意： 1截 y 轴所得弦长为2；2被 x 轴分成两段弧,其弧长的比为3:1,在满意条件12 的全部圆中,求圆心到直线l：x2y0的距离最小的圆的方程解法一： 设圆心为Pa,b ,半径为 r 就 P 到 x 轴、 y 轴的距离分别为b 和 a 由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为90,故圆截x轴所得弦长为2rr22b2又圆截 y 轴所得弦长为2r2a21又Pa,b到直线x2y0的距离为da2b55 d2a2 b2a24 b24 aba24 b22 a2b22 b2a21当且仅当

6、ab时取“=” 号,此时dmin55- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 这时有a2ba21a1 1或优秀教案r2欢迎下载y21 22a1又2b22 bbb11 2y1 22或x1 2故所求圆的方程为x解法二： 同解法一,得da2ba2 b5da24 b245 bd5 d22b1知a、 b 同号5将a22b21代入上式得：2b245 bd5d210由a0,d5上述方程有实根,故8 5d21 51将d5代入方程得b1又2 b2a21a5故所求圆的方程为x1 2y1 22或x1 2y1 22类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例 5已知圆O：x2y24,求

7、过点P2,与圆 O 相切的切线kxx24y4100解： 点P2,不在圆 O 上,切线 PT 的直线方程可设为y依据dr2解得k3所以y3 x 424即32 kk4124由于过圆外一点作圆得切线应当有两条,可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为x2说明： 上述解题过程简单漏解斜率不存在的情形,要留意补回漏掉的解此题仍有其他解法,例如把所设的切线方程代入圆方程,用判别式等于 0 解决（也要留意漏解）仍可以运用 x 0 x y 0 y r 2,求出切点坐标 0x 、y 的值来解决,此时没有漏解2 2 2 2例 6 两圆 C ：x y D 1 x E 1 y F 1 0 与 C ：x y D 2

8、x E 2 y F 2 0 相交于 A 、 B 两点,求它们的公共弦 AB 所在直线的方程分析： 第一求 A 、 B 两点的坐标,再用两点式求直线太繁为了防止求交点,可以采纳“ 设而不求” 的技巧AB的方程,但是求两圆交点坐标的过程名师归纳总结 解： 设两圆C 、C 的任一交点坐标为x0,y 0,就有：x 02E 2y 0F 20第 3 页,共 16 页x 02y 02D 1x 0E 1y 0F 10x 02y 02D 2得：D 1D2x0E 1E 2y 0F 1F20F0 A、 B 的坐标满意方程D 1D2xE 1E2yF 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

9、 - - 方程D 1D2xE 1E2y优秀教案0欢迎下载F 1F2是过 A 、 B 两点的直线方程又过 A 、 B 两点的直线是唯独的两圆C 、C 的公共弦 AB 所在直线的方程为D 1D2xE 1E2yF 1F20练习：2 21求过点 M 3,1,且与圆 x 1 y 4 相切的直线 l 的方程 解：设切线方程为 y 1 k x 3,即 kx y 3 k 1 0,圆心 1,0 到切线 l 的距离等于半径 2,| kk 2 3 k1 1|2 2,解得 k 34,切线方程为 y 1 3 x 3,即 3 x 4 y 13 0,4当过点 M 的直线的斜率不存在时,其方程为 x 3,圆心 1,0 到此直

10、线的距离等于半径 2 ,故直线 x 3 也适合题意；所以,所求的直线 l 的方程是 3 x 4 y 13 0 或 x 32 2 52、过坐标原点且与圆 x y 4 x 2 y 0 相切的直线的方程为2解：设直线方程为 y kx,即 kx y 0 .圆方程可化为 x 2 2 y 1 2 5,圆心为（ 2,2-1）,半径为 102 .依题意有 2k k2 11 102,解得 k 3 或 k 13,直线方程为 y 3 x 或y 1 x . 32 23、已知直线 5 x 12 y a 0 与圆 x 2 x y 0 相切,就 a的值为 . 解：圆 x 1 2y 21 的圆心为（ 1,0）,半径为 1,5

11、2 a2 1,解得 a 8 或 a 18 .5 12类型三：弦长、弧问题例 8、求直线l:3xy60被圆C:x2y22x4y0截得的弦 AB 的长 . 例 9、直线3 xy230截圆x2y24得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得,弦心距d3,故弦长AB2r2d22,从而OAB 是等边三角形,故截得的劣弧所对的圆心角为AOB3. y25的公共弦长例 10、求两圆x2y2xy20和x2类型四：直线与圆的位置关系名师归纳总结 例 11、已知直线3 xy230和圆x2y24,判定此直线与已知圆的位置关系. 第 4 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

12、 例 12、如直线yxm与曲线y4优秀教案欢迎下载m 的取值范畴 . x2有且只有一个公共点,求实数解：曲线 y 4 x 2表示半圆 x 2 y 2 4 y 0 ,利用数形结合法,可得实数 m 的取值范围是 2 m 2 或 m 2 2 . 例 13 圆 x 3 2 y 3 2 9 上到直线 3 x 4 y 11 0 的距离为 1 的点有几个？分析： 借助图形直观求解或先求出直线 1l 、2l 的方程,从代数运算中查找解答解法一： 圆 x 3 2 y 3 2 9 的圆心为 O 1 3 , 3 ,半径 r 33 3 4 3 11设圆心 O 到直线 3 x 4 y 11 0 的距离为 d ,就 d

13、2 2 2 33 4如图, 在圆心 O 同侧,与直线 3 x 4 y 11 0 平行且距离为 1 的直线 1l 与圆有两个交点,这两个交点符合题意又rd321与直线 3 x 4 y 11 0 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意符合题意的点共有 3 个解法二： 符合题意的点是平行于直线 3 x 4 y 11 0,且与之距离为 1 的直线和圆的交点设m 11所求直线为 3 x 4 y m 0,就 d 2 2 1,3 4m 11 5,即 m 6,或 m 16,也即 l ：x 4 y 6 0,或 l ：x 4 y 16 0设圆 O ：x 3 2 y 3 2 9 的圆心到直线 1l 、2l

14、的距离为 d 、d ,就3 3 4 3 6 3 3 4 3 16d 1 2 2 3,d 2 2 2 13 4 3 41l 与 O 相切,与圆 O 有一个公共点；2l 与圆 O 相交,与圆 O 有两个公共点即符合题意的点共 3 个说明： 对于此题,如不留心,就易发生以下误会：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载33431123设圆心O 到直线3x4y110的距离为 d ,就d3242圆O 到3 x4y110距离为 1 的点有两个的距离,dr,只能说明此直线与圆有明显,上述误会中的d 是圆心到直线3x4y

15、110两个交点,而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1到一条直线的距离等于定值的点,在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上,因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点求直线与圆的公共点个数,一般依据圆与直线的位置关系来判定,即依据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判定练习 1：直线 x y 1 与圆 x 2y 2 2 ay 0 a 0 没有公共点,就 a 的取值范畴是解：依题意有 a 1a,解得 2 1 a 2 1 .a 0,0 a 2 1 . 2练习 2：如直线 y kx 2 与圆 x 2 2 y 3 2 1 有两个不同的交点,就 k 的取值范畴是 . 解：依题意有 2k k2 11

16、1,解得 0 k 43, k 的取值范畴是 ,0 43 .2 23、圆 x y 2 x 4 y 3 0 上到直线 x y 1 0 的距离为 2 的点共有（）（A ）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个分析： 把 x 2y 2 2 x 4 y 3 0 化为 x 1 2y 2 28,圆心为 1,2,半径为r 2 2,圆心到直线的距离为 2 ,所以在圆上共有三个点到直线的距离等于 2 ,所以选 C2 24、过点 P 3,4 作直线 l ,当斜率为何值时,直线 l 与圆 C：x 1 y 2 4 有公共点,如图所示分析： 观看动画演示,分析思路y解： 设直线 l 的方程为3k440P y E x

17、4kx3即kxy依据dr有k23 k2O 1k2整理得3k24k0解得0k43类型五：圆与圆的位置关系名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 14、判定圆C 1:x2y22x6y优秀教案与圆欢迎下载2y24x2y40的位置关系,260C2:x例 15：圆x2y22x0和圆x 2O 1y20 4y0的公切线共有y2条；的圆心为O20,2 ,解：圆x1 2y21的圆心为,1,半径1r1,圆x224半径2r2,O 1O 25,r 1r2,3r 2r 11.r2r 1O 1O 2r 1r 2,两圆相交 .共有 2条公切线；练

18、习1：如圆x2y22 mxm240与圆x2y22x4my4 m280相切,就实数 m 的取值集合是. y2m 29的圆心为解：圆xm2y24的圆心为O 1m 0,半径1r2,圆x1 2O2,12m,半径2r3,且两圆相切,O 1O2r 1r 2或O 1O 2r 2r 1,m1 22m 25或m1 22m 21,解得m12或m2,或m0或m5,52实数 m 的取值集合是12,5,0,2 . 5220.两圆外切于点P ,2：求与圆x2y25外切于点P ,12 ,且半径为25的圆的方程 . 解：设所求圆的圆心为O 1a,b,就所求圆的方程为xa2yb 2OP1 OO 31,12 1a ,b ,a3

19、b6,所求圆的方程为x3 2y6 220. 3类型六：圆中的对称问题名师归纳总结 例 16、圆x2y22x6y90关于直线 2xy50对称的圆的方程是y B M C N x 例 17自点A3,发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,反射G O 光线所在的直线与圆C：x2y24x4y70相切（ 1）求光线 l 和反射光线所在的直线方程A （ 2）光线自 A 到切点所经过的路程分析、略解： 观看动画演示,分析思路依据对称关系,第一求出点 A的对称点 A 的坐标为3,3,其次设过 A 的圆 C 的切线方程为ykx33依据dr,即求出圆 C 的切线的斜率为Ak4或k334图第 7 页,共 16

20、 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案4x3欢迎下载0或3x4y30进一步求出反射光线所在的直线的方程为y3最终依据入射光与反射光关于x 轴对称,求出入射光所在直线方程为4x3y30或3x4y302AC2CM27光路的距离为AM,可由勾股定理求得AM说明： 此题亦可把圆对称到x 轴下方,再求解类型七：圆中的最值问题例 18：圆 x 2y 2 4 x 4 y 10 0 上的点到直线 x y 14 0 的最大距离与最小距离的差是解：圆 x 2 2 y 2 2 18 的圆心为（ 2,2）,半径 r 3 2,圆心到直线的距离d 10 5 2 r,直线与

21、圆相离,圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2 d r d r 2 r 6 2 . 例 19 1已知圆 O ：x 3 2 y 4 2 1,P x , y 为圆 O 上的动点,求 d x 2y 2的最大、最小值2 已知圆O ：x22y21,Px,y为圆上任一点 求y2的最大、 最小值, 求x2y的x1最大、最小值分析： 1、2 两小题都涉及到圆上点的坐标,可考虑用圆的参数方程或数形结合解决名师归纳总结 解： 1 法 1由圆的标准方程x3 2y4 214 3）第 8 页,共 16 页可设圆的参数方程为x3cos,（是参数）y4sin,就dx2y296coscos2168sinsin2266co

22、s8sin2610cos（其中tan所以dmax261036,dmin261016加上半径 1,圆上点到原点距离法 2圆上点到原点距离的最大值d 等于圆心到原点的距离d 136dmin16的最小值d 等于圆心到原点的距离d 1减去半径 1所以d 13 24 216d2324214所以dmax2 法 1由x2 2y21得圆的参数方程：x2cos,是参数ysin,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就y2优秀教案欢迎下载3 tsin2令sin2t,得sintcos23 t,1t2sin2x1cos3cos323 tsin1343t343所以tmax343,t

23、min34312t即y2的最大值为343,最小值为343x12 y2cos2sin25cos此时x所以x2y的最大值为25,最小值为25法 2设y2k,就kxyk20由于Px,y是圆上点,当直线与圆有交点时,如x1图所示,两条切线的斜率分别是最大、最小值由 d 2 k1 kk 2 21,得 k 34 3所以 yx 1 2 的最大值为 34 3,最小值为 34 3令 x 2 y t,同理两条切线在 x 轴上的截距分别是最大、最小值2 m由 d 1,得 m 2 5所以 x 2 y 的最大值为 2 5,最小值为 2 55例 20：已知 A 2 0, ,B ,2 0 ,点 P 在圆 x 3 2 y 4

24、 2 4 上运动,就 PA 2PB 2的最小值是 . 解：设 P x , y ,就 PA 2PB 2 x 2 2y 2 x 2 2y 2 2 x 2y 2 8 2 OP 28 .设圆心为 C ,3 4 ,就 OP min OC r 5 2 3,PA 2PB 2的最小值为 2 328 26 . 练习：名师归纳总结 1：已知点Px,y在圆x2y1 21上运动 . k 取得第 9 页,共 16 页（1）求y1的最大值与最小值； （2）求2xy的最大值与最小值. x2解：（1）设y1k,就 k 表示点Px ,y 与点（ 2,1）连线的斜率 .当该直线与圆相切时,x2- - - - - - -精选学习资

25、料 - - - - - - - - - 最大值与最小值.由2k11,解得优秀教案3欢迎下载1的最大值为3 ,最小值为 33. k,y xk2323（2）设2xym,就 m 表示直线2xy5m在 y 轴上的截距 . 当该直线与圆相切时,m 取得最大值与最小值 .由11,2xy的最大值为15,最小值为m1,解得m15. 52 设点Px,y是圆x2y21是任一点,求分析一： 利用圆上任一点的参数坐标代替y 2u 的取值范畴x 1x 、 y ,转化为三角问题来解决解法一： 设圆 x 2y 2 1 上任一点 P cos , sin 就有 x cos,y sin 0 , 2 u sin 2,u cos u

26、 sin 2cos 1u cos sin u 2 即 u 2 1 sin u 2（tan u）sin uu 2 2 1又sin 1uu 2 21 1 解之得：u 34y 2 2 2分析二：u 的几何意义是过圆 x y 1 上一动点和定点 1 , 2 的连线的斜率,利用x 1此直线与圆 x 2y 2 1 有公共点,可确定出 u 的取值范畴解法二： 由 u y 2得：y 2 u x 1 ,此直线与圆 x 2y 21 有公共点,故点 0 , 0 到x 1直线的距离 d 1uu 2 21 1 解得：u 34另外,直线 y 2 u x 1 与圆 x 2y 2 1 的公共点仍可以这样来处理：由 y2 22

27、 u x 1消去 y 后得： u 2 1 x 2 2 u 2 4 u x u 2 4 u 3 0,x y 1此方程有实根,故 2 u 2 4 u 2 4 u 2 1 u 2 4 u 3 0,解之得：u 34说明： 这里将圆上的点用它的参数式表示出来,从而将求变量 u 的范畴问题转化成三角函数的有关学问来求解或者是利用其几何意义转化成斜率来求解,使问题变得简捷便利3、已知点A2,2 ,B ,2 6,C4,2,点 P 在圆x2y24上运动,求PA2PB2PC2的最大值和最小值.类型八：轨迹问题名师归纳总结 例 21、基础训练：已知点M 与两个定点O0 ,0,A3 0,的距离的比为1 ,求点 M 的

28、轨迹方程 . 2第 10 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载x1 2y24上运动,求线段AB例 22、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 （4,3）,端点 A 在圆的中点 M 的轨迹方程 . 例 23 如下列图, 已知圆O：x2y24与 y 轴的正方向交于A点,点 B 在直线y2上运动,过 B做圆 O 的切线,切点为C ,求ABC 垂心 H 的轨迹y的关系特别难由于H 点随 B , C 点运动分析： 按常规求轨迹的方法,设Hx,y,找x ,而运动,可考虑H , B , C 三点坐标之间的关系,解： 设Hx,y,C x,

29、y,连结 AH , CH ,就AHBC,CHAB, BC 是切线OCBC所以OC /AH,CH /OA,OAOC,所以四边形AOCH 是菱形所以CHOA2,得yy2,xx .又Cx,y满意x2y24,所以x2y2 24 x0即是所求轨迹方程说明： 题目奇妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关学问实行代入法求轨迹方程做题时 应留意分析图形的几何性质,求轨迹时应留意分析与动点相关联的点,如相关联点轨迹方程已知,可考虑代入法例 24 已知圆的方程为x2y2r2,圆内有定点Pa,b ,圆周上有两个动点A、B ,使PAPB,求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程分析： 利用几何法求解,或利用转移法求解,或利用参数法求解名师归纳总结 解