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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 解析几何题型 命题趋向： 解析几何例命题趋势：1. 留意考查直线的基本概念,求在不同条件下的直线方程,直线的位置关系,此类题大多都属中、低档题,以填空题的形式显现,每年必考2. 考查直线与二次曲线的一般方程,属简洁题,对称问题常以填空题显现3. 考查圆锥曲线的基础学问和基本方法的题多以填空题的形式显现,有时会显现有肯定敏捷性和综合性较强的题,如求轨迹,与向量结合,与求最值结合,属中档题考点透视 一直线和圆的方程1懂得直线的斜率的概念,把握过两点的直线的斜率公式,把握直线方程的点斜式、两点式、 一般式,并能依据条件娴熟地求出直线方程2把握两条直线
2、平行与垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式,能够依据直线的方程 判定两条直线的位置关系3明白二元一次不等式表示平面区域4明白线性规划的意义,并会简洁的应用5明白解析几何的基本思想,明白坐标法6把握圆的标准方程和一般方程,明白参数方程的概念,懂得圆的参数方程二圆锥曲线方程1把握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简洁几何性质2把握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简洁几何性质3把握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简洁几何性质4明白圆锥曲线的初步应用考点 1.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之 . 4,例 1假设抛物线2 y2px 的焦点与椭圆2
3、 xy21的右焦点重合,就p的值为62考查意图 : 此题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆x2y21的右焦点为 2,0,所以抛物线2 y2px 的焦点为 2,0,就p62考点 2. 求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标 ,利用距离公式解之. 例 2已知抛物线 y-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点考查意图 : 此题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用A、B,就 |AB|等于 . 解：设直线AB 的方程为 yxb ,由yxx23x2xb30x 1x 21,1,进而可求yb出
4、AB 的中点M1,1b ,又由M1,1b 在直线xy0上可求出b2222第 1 页,共 16 页3 2x2x20,由弦长公式可求出AB2 1 12 14 2例 3如图,把椭圆x2y21的长轴2516AB 分成 8 等份,过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分于P P P P P P P七个点, F 是椭圆的一个焦点,5.35.就PFP FPFP FP FP FP F_. 考查意图 : 此题主要考查椭圆的性质和距离公式的敏捷应用解答过程：由椭圆x22 y1 的方程知a225,a5.2516PFP FPFP
5、 FP FP FP F72a7a72故填 35. 考点 3. 曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一 ,其解法为充分利用 : 1椭圆的 离心率 ec 0,1 e 越大就椭圆越扁 ; a2 双曲线的 离心率 ec 1, e 越大就双曲线开口越大 . a结合有关学问来解题 . 例 4已知双曲线的离心率为 2,焦点是 4,0 , 4,0 ,就双曲线方程为考查意图 :此题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念 . 解答过程：e c2, c 4, 所以 a 2, b 212.a小结 : 对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念,要留意仔细把握 .特殊对双曲线的焦
6、点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要仔细体会 . 例 5已知双曲线 3 x 2y 2 9 ,就双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等于考查意图 : 此题主要考查双曲线的性质和 离心率 ec 1, 的有关学问的应用才能 .a解答过程：依题意可知 a 3 , c a 2 b 2 3 9 2 3考点 4.求最大 小值求最大 小 值, 是高考题中的热点题型之一 .其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大 小值:特殊是 ,一些题目仍需要应用曲线的几何意义来解答 . 例 6已知抛物线 y2=4x,过点 P4,0的直线与抛物线相交于 Ax1,y1,Bx2,y2两点,就 y1
7、 2+y2 2 的最小值是 . 考查意图 : 此题主要考查直线与抛物线的位置关系,以及利用不等式求最大 小值的方法 .解:设过点 P4,0的直线为 y k x 4 , k 2x 28 x 16 4 ,2 2 2 2k x 8 k 4 x 16 k 0,22 2 8 k 4 1y 1 y 2 4 x 1 x 2 4 2 16 2 2 32.k k考点 5 圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线第肯定义中的限制条件、圆锥曲线其次定义的统一性,都是考试的重点内容,要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心. 2 的圆 C 与直线 y=x 相切于坐标原点 10. 例 7在平面直角坐标系xOy 中,已知圆心在其
8、次象 限、半径为 2O.椭圆x2y2=1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为a291求圆 C 的方程；2摸索究圆C 上是否存在异于原点的点Q,使 Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长 .假设存在,恳求出点Q 的坐标；假设不存在,请说明理由. 考查综合运用数学学问进行推理运第 2 页,共 16 页考查目的 本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础学问,名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 算的才能和解决问题的才能解答过程 1 设圆 C 的圆心为 m, n 就 m n , 解得 m 2,n 2 2 2, n 2.所求的圆的方
9、程为 x 2 2 y 2 282 由已知可得 2 a 10,a 52 2椭圆的方程为 x y1 , 右焦点为 F 4, 0 ; 25 9假设存在 Q 点 2 2 2 cos ,2 2 2 sin 使 QF OF, 2 22 2 2 cos 4 2 2 2 sin 4整理得 sin 3cos 2 2, 代入 sin 2cos 21得: 10cos 212 2 cos 7 0 , cos 12 2 8 12 2 2 2110 10因此不存在符合题意的 Q 点. 例 8如图 ,曲线 G 的方程为 y 2 2 x y 0 .以原点为圆心,以 t t 0 为半径的圆分别与曲线 G 和 y 轴的正半轴相交
10、于 A 与点 B. 直线AB 与 x 轴相交于点 C. 求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标 c 的关系式；设曲线 G 上点 D 的横坐标为 a 2 ,求证：直线 CD 的斜率为定值 . 考查目的 本小题综合考查平面解析几何学问,主要涉及平面直角坐标素中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系,考查运算才能与思维才能,综合分析问题的才能. xy. 1.解答过程 I由题意知,A a,2a.由于|OA|t,所以a22 at2.由于t0 ,故有t2 a2 a.1由点 B0,t,Cc,0的坐标知,直线BC 的方程为ct又因点 A 在直线 BC 上,故有a2a,1cta2将
11、 1代入上式,得aa2a2 ,1解得ca22 caII由于Da22 a2,所以直线CD 的斜率为kCD2a2a2a2 a2 a2 2 a21,a2c22 2 a2所以直线 CD 的斜率为定值 . 例 9已知椭圆 为焦点,椭圆 双曲线离心率2 2E : x2 y2 1a b 0,AB 是它的一条弦, M2,1 是弦 AB 的中点,假设以点 M2,1a bE 的右准线为相应准线的双曲线 C 和直线 AB 交于点 N4, 1,假设椭圆离心率 e 和1e 之间满意ee 11 ,求：1椭圆 E 的离心率；2双曲线 C 的方程 . 解答过程：1设 A、B 坐标分别为Ax , y , Bx , y ,第 3
12、 页,共 16 页就x2y21,x2y21,二式相减得：1122a2b2a2b2名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - kABy 1y2x1x b 222b2kMN12 11,2,xy2a24x1y a 221所以a22b22a2c ,a22 2c ,就ec2；a22椭圆 E 的右准线为xa22c22c,双曲线的离心率e 11cce设 Px, y 是双曲线上任一点,就：| PM |x22y122,| x2c | x2c |两端平方且将N4,1代入得： c1或 c3 ,当 c1时,双曲线方程为：x22y120 ,不合题意,舍去；当 c3时,双曲线
13、方程为：x102y1232 ,即为所求 . 小结： 1“ 点差法” 是处理弦的中点与斜率问题的常用方法； 2求解圆锥曲线时,假设有焦点、准线,就通常会用到其次定义 . 考点 6 利用向量求曲线方程和解决相关问题利用向量给出题设条件,可以将复杂的题设简洁化,便于懂得和运算 . 典型例题：2 2例 10双曲线 C 与椭圆 x y 1 有相同的焦点,直线 y= 3 x 为 C 的一条渐近线 . 8 41求双曲线 C 的方程；2过点 P0,4的直线 l ,交双曲线 C 于 A,B 两点,交 x 轴于 Q 点 Q 点与 C 的顶点不重合.当PQ 1 QA 2 QB,且 1 2 8 时,求 Q 点的坐标
14、. 3考查意图 : 此题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面对量等学问综合解题的才能 ,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的才能 . 2 2解答过程：设双曲线方程为 x2 y2 1 , a b2 2由椭圆 x y 1 ,求得两焦点为 2,0,2,0 ,8 4对于双曲线 C c 2,又 y 3 x为双曲线 C 的一条渐近线b3 解得 a 21, b 23,a2双曲线 C 的方程为 x 2 y13解法一：由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于零 . 设 l 的方程：y kx 4, A x y 1 1 ,B x 2 , y 2 ,就 Q 4,0 . kPQ 1 QA, 4, 4 1 x
15、1 4, y 1 . k k4 441 x 1 4 x 1k 1 kk k4 1 y 1 y 1 41名师归纳总结 第 4 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A x 1,y 1在双曲线 C 上,1611121610. 16k20.k211632116 1 2 16 k 2 k 2 2 0. 16 32 2 16 2 k 2 32 2 16 k 0.30, 就直线 l 过顶点,不合题意k22 1321163同理有：16.16k20,假设162 k1,2是二次方程16k22 x32x1616k20.的两根 . 312k328,k24,此时0
16、,k2. 2163所求 Q 的坐标为 2,0 . 解法二：由题意知直线l 的斜率 k 存在且不等于零设 l 的方程,ykx4,A x y 1,B x 2,y 2,就Q4,0. kPQ1QA,Q分 PA 的比为1. 由定比分点坐标公式得411x 1x 14 1 k 11ykx4,A x y 1,B x 2,y2,就Q4,0k1041y 1y 14111下同解法一解法三：由题意知直线l 的斜率 k 存在且不等于零设 l 的方程：ykx4,A x y 1 1,B x 2,y 2,就Q4,0. kPQ1QA2QB,4, 41x 14,y 12x24,y 2. kkk41y 12y ,214,24,y
17、1y2又128,112,即3y 1y22y y . 3y 1y 23将ykx4代入x22 y1得3k2y224y483 k20. 33k220,否就 l 与渐近线平行 . 2242 , y y 2 48 3 k2 . 3 k 3 ky 1y332422483 k2.k2k3k2Q 2,0. 解法四： 由题意知直线l 得斜率 k 存在且不等于零, 设 l 的方程：kPQ1QA,4, 41x 14,y 1. kk第 5 页,共 16 页1x 14444.同理144. kkx 2kx 1k名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1244448. 3k
18、20. kx 1kx 23即22 k x x25 k x 1x280. *又ykx4x22 y13消去 y 得3k22 x8kx190. 当3k20时,就直线l 与双曲线得渐近线平行,不合题意,由韦达定理有：x 1x 238 k2kx x 23192k代入 *式得k24,k2. 所求 Q 点的坐标为 2,0 . 例 11设动点 P 到点 Al,0和 B1,0的距离分别为d1 和 d2, APB2 ,且存在常数0 1,使得 d1d2 sin 2 1证明：动点P 的轨迹 C 为双曲线,并求出C 的方程；2过点 B 作直线交双曲线C 的右支于 M、N 两点 ,试确定 的范畴使 OM ON0,其中点
19、O 为坐标原点考查目的 本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础学问,考查综合 运用数学学问进行推理运算的才能和解决问题的才能解答过程 解法 1：1在PAB中,AB2,即22d2 1d2 22d d2cos 2,第 6 页,共 16 页4d 1d224d d2sin2,即d 1d244d d2sin22 12常数,点 P 的轨迹 C 是以 A,B为焦点,实轴长2a2 1的双曲线方程为：1x2y212设M x 1,y 1,N x 2,y 2当 MN 垂直于 x 轴时, MN 的方程为x1,M11, ,N ,1在双曲线上即 1 1 1 21 0 1 5,由于 01 2当 MN 不垂直于 x
20、轴时,设 MN 的方程为 y k x1,所以5121由1x22 y1得：1k2x2212 k x1k20,yk x1由题意知：1k20,所以x 1x 22k21,x x 21k2k21k21于是：y y 2k2x 11x 21k22k21由于OMON0,且 M,N在双曲线右支上,所以x x2x2y y 20k2111 2151221x 10123x x20k2210由知,51223名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解法 2：1同解法 1 2设 M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 , MN 的中点为 E x 0,y 0 当 x 1 x
21、 2 1 时,MB 21 21 0,1由于 0 1,所以 5 1；22 2x 1 y 1当 x 1 x 时,1x 2 2y 2 2 1k MN1 xy 0011又 k MN k BE y 0所以 1 y 0 2x 0 2 x；0x 0 1由MON 得 x 0 2y 0 2 MN 2,由其次定义得 MN 2e x 1 x 2 2 a 22 2 2 221x 0 1 1x 0 21 2 x1 1所以 1 y 0 2x 0 221 x 0 1 2于是由 11 yy 00 22 xx 00 2221 x 0 , x 0 1 , 2 得 x 0 12 3 . 22由于 x 0 1,所以 1 1,又 0
22、1,2 3解得：5 1 2由知 5 122 3 2 3考点 7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题利用向量的数量积构造出等式或函数关系,再利用函数求最值的方法求最值,要比只利用解析几何学问建立等量关系简洁 . 例 12设椭圆 E 的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 3,过点 C 1,0 的直线交椭圆 E 于3A、B 两点,且 CA 2BC ,求当 AOB 的面积到达最大值时直线和椭圆 E 的方程 .解答过程：由于椭圆的离心率为 3,故可设椭圆方程为 2x 23y 2tt 0 ,直线方程为 my x 1,32 2由 2x 3y t 得：2m 23y 24my 2 t 0 ,设 Ax
23、, y , Bx ,y ,my x 1就 y 1 y 2 4m2 yA2m 3又 CA 2BC ,故 x 1 1,y 1 2 1 x , y ,即 2 2 y 1 2y 2 C由得：就 S AOB 1| y y 11 2my | 2 8m26 | 3,m2 y 2| 2m4m23,6 6,B ox2 2m 32 | m | 3 2| m |当 m 2 3,即 m 6 时,AOB 面积取最大值,2 22此时 y y 2 22 t 32m2 2,即 t 10 ,2m 3 2m 3名师归纳总结 第 7 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以,
24、直线方程为x6y10,椭圆方程为2x23y210 . 3y. . 2小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系简洁例 13已知 PAx5, y,PBx5, y,且| PA | PB |6 ,求 |2x12 | 的最大值和最小值解答过程：设Px, y , A5,0 , B5,0 ,由于 | PA |PB |6,且 | AB |2 56 ,所以,动点P 的轨迹是以A、B 为焦点,长轴长为6 的椭圆,椭圆方程为x22 y1,令 x3cos , y2sin,94就 | 2x3y12 | | 62 cos412 |,当 cos41时, | 2x3y12 |取最大值126 2 ,
25、当 cos41时, |2x3y12 |取最小值126 2 . 小结：利用椭圆的参数方程,可以将复杂的代数运算化为简洁的三角运算. 考点 8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范畴问题解析几何中求变量的范畴,一般情形下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题2 例 14已知椭圆 x y 2 1 的左焦点为 F, O 为坐标原点 . 2I求过点 O、F,并且与椭圆的左准线 l 相切的圆的方程；. x 轴交于点 G,II设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B 两点,线段 AB 的垂直平分线与求点 G 横坐标的取值范畴. 考查意图 :本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本学问,考查平面
26、解析几何的基本方法,考查运算才能和综合解题才能. l. AFByOx第 8 页,共 16 页解答过程：Ia22,b21,c1,F 1,0, :x2.圆过点 O、F,圆心 M 在直线x1上. 2设M1, ,就圆半径r1 23.222由OMr得12t23,G22解得t2.所求圆的方程为 x 1 22II设直线 AB 的方程为y229.0,4yk x1 k代入x2y21,整理得12k2x242 k x2k220.2直线 AB 过椭圆的左焦点F,方程有两个不等实根记A x 1,y 1,B x 2,y2,AB 中点N x 0,y 0,就x 1x 224 k21,k2AB 的垂直平分线NG 的方程为yy
27、01 kxx 0.令y0,得名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 2 2x G x 0 ky 0 22 k k2 k2 12 1 .2 k 1 2 k 1 2 k 1 2 4 k 2k 0, 1 x G 0,2点 G 横坐标的取值范畴为 1,0.22 2例 15已知双曲线 C：x2 y2 1a 0,b 0,B 是右顶点, F 是右焦点,点 A 在 x 轴正半轴上,且满a b足 | OA |,| OB |,| OF | 成等比数列,过 F 作双曲线 C 在第一、三象限的渐近线的垂线 l ,垂足为 P,1求证： PA OP PA FP；2假设
28、 l 与双曲线 C 的左、右两支分别相交于点 D,E,求双曲线 C 的离心率 e 的取值范畴 . 2解答过程：1因 | OA |,| OB |,| OF | 成等比数列,故 |OA | |OB |2a2,即 A a,0,| OF| c c直线 l ：y a x c,b yy a x c 2由 b P a, ab,Dy ba x c c PE Fab a 2ab b 2ab O A B x故：PA 0, ,OP , , FP , ,c c c c c2 2就：PA OP a b2 PA FP,即 PA OP PA FP；c或 PA OP FP PA PF PO PA OF 0 ,即 PA OP
29、PA FP2由 y ab x cb 2 a 42 x 22 a 42 cx a c 42 2a b 2 20,2 2 2 2 2 2 b b bb x a y a b4 2 a c2 a b 2 2由 x x 2 b4 0 得：b 4a 4b 2c 2a 2a 2e 22 e 2.b 2 a2b或由 k DF k DO a b b 2c 2a 2a 2e 22 e 2 b a小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重,而要运用数量积,必需先恰当地求出各个点的坐标 . 例 16已知 ax,0 , b1,y , a3ba3b ,1求点 Px, y 的轨迹 C 的方程；2假设直线 ykxmm0
30、 与曲线 C 交于 A 、B 两点, D0,1 ,且 | AD | | BD | ,试求 m 的取值范畴 . 解答过程：1 a3b x,031,yx3,3y ,0 ,第 9 页,共 16 页a3b x,031,yx3,3y ,3b a3b因 a3ba3b ,故 a名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即x3,3y x3,3yx23y230,2,故 P点的轨迹方程为x2y21. 32由y2kx2m得：12 3k x26kmx3m230 ,x3y3设Ax ,y , Bx , y , A、 B 的中点为Mx0, y 就6km2412 3k 3m23
31、12m212 3k 0 ,x1x216km2,x0x12x213km2,y0kx0m1m3k3k3k即 A 、B 的中点为13km2,1m2,3k3k就线段 AB 的垂直平分线为：y1m23k1 kx3km2,3k13k2将 D0,1 的坐标代入,化简得：4m1 ,就由m213k20得：m24m0,解之得 m0 或 m4,4m3k21又4m3k211,所以m1,. 4故 m 的取值范畴是1,0. 4,4小结：求变量的范畴,要留意式子的隐含条件,否就会产生增根现象考点 9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题存在性问题,其一般解法是先假设命题存在,用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标,再根O,且据合理的推理,假设能推出题设中的系数,就存在性成立,否就,不成立. 例 17已知 A,B,C 是长轴长为4 的椭圆上的三点,点A 是长轴的一个顶点,BC 过椭圆的中心AC BC0 , | BC | 2 | AC |,1求椭圆的方程；2假如椭圆上的两点P,Q使PCQ 的平分线垂直于OA ,是否总存在实数,使得PQAB ？请说明理由；解答过程：1以 O 为原点, OA 所在直线为x 轴建立ByPCAx第 10 页,共 16 页平面直角坐标系,就A2,0 ,设椭圆方程为x2y21,不妨设 C 在 x 轴上方,2O4b由椭