2022年空间向量与立体几何知识点和习题3.docx-淘文阁

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载空间向量与立体几何【学问要点】1空间向量及其运算：1空间向量的线性运算：空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面对量加、减法的三角形法就和平行四边形法就拓广到空间依旧成立空间向量的线性运算的运算律：加法交换律： abba；加法结合律： a bcabc；安排律： aaa；abab2空间向量的基本定理：共线平行向量定理：对空间两个向量 a,bb 0,a b 的充要条件是存在实数,使得 ab共面对量定理：假如两个向量 a,b 不共线,就向量 c 与向量 a,b 共面的充要条件是存在惟一一对实数,使得 cab空间向量分解定理：假

2、如三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在惟一的有序实数组 1,2,3,使得 p1a2b3c3空间向量的数量积运算：空间向量的数量积的定义：ab|a|bcos a,b；空间向量的数量积的性质：ae|acosa,e； abab0；|a|2aa； |ab|a|b空间向量的数量积的运算律：abab；cbc交换律： abba；安排律： abca4空间向量运算的坐标表示：空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系Oxyz,分别沿 x 轴, y 轴, z 轴的正方向引单位向量 i,j,k,就这三个相互垂直的单位向量构成空间向量的一个基底 i, j,k,由空间向量分解定理,对于空间任一向量 a

3、,存在惟一数组 a1,a2,a3,使 aa1ia2j a3k,那么有序数组 a1,a2,a3就叫做空间向量 a 的坐标,即 aa1, a2, a3空间向量线性运算及数量积的坐标表示：设 aa1,a2,a3,b b1,b2,b3,就aba1 b1,a2b2,a3b3；aba1b1,a2 b2,a3b3；aa1,a2,a3；ab a1b1 a2b2a3b3空间向量平行和垂直的条件：a bb 0aba1b1,a2b2,a3b3 R；abab0a1b1a2b2a3b30向量的夹角与向量长度的坐标运算公式：设 aa1,a2,a3,b b1,b2,b3,就名师归纳总结 |a|aa2 a 12 a 22 a

5、充要条件是存在实数t,使得OPOAa,其中向量 a 叫做直线的方向向量由此可知,空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定假如直线 l平面,取直线 l 的方向向量 a,就向量 a 叫做平面的法向量由此可知,给定一点 A 及一个向量 a,那么经过点 A 以向量 a 为法向量的平面惟一确定2用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：设直线 l ,m 的方向向量分别是a,b,平面,的法向量分别是u,v,就l ma bakb,k R；lma bab0；lauau0；la uaku,kR；u vukv,k R；uvuv03用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：异面直线所成的角：设 a,b 是

6、两条异面直线, 过空间任意一点O 作直线 a a,b b,就 a 与 b 所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与 b 所成的角,明显0,就设异面直线a 与 b 的方向向量分别是v1,v2,a 与 b 的夹角为2|cosv 1,v2|v 1v2|v 1|v2|角直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的设直线 a 的方向向量是 u,平面的法向量是 v,直线 a 与平面的夹角为,明显名师归纳总结 0 ,就|cosu,v|u|v|第 2 页,共 20 页2|uv|- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载二面角及其度

7、量：从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角记作l 在二面角的棱上任取一点O,在两个半平面内分别作射线OAl ,OB l,就 AOB叫做二面角l的平面角利用向量求二面角的平面角有两种方法：方法一：如图,如 AB,CD 分别是二面角l的两个面内与棱l 垂直的异面直线,就二面角l 的大小就是向量AB与CD的夹角的大小方法二：如图, m1,m2 分别是二面角的两个半平面,的法向量,就m1,m2与该二面角的大小相等或互补4依据题目特点,同学们可以敏捷挑选运用向量方法与综合方法,从不同角度解决立体几何问题【复习要求】1明白空间向量的概念,明白空间向量的基本定理及其意义,把握空间向量的正交分解

8、及其坐标表示2把握空间向量的线性运算及其坐标表示3把握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判定向量的共线与垂直4懂得直线的方向向量与平面的法向量5能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系6能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的运算问题【例题分析】例 1如图,在长方体OAEBO1A1E1B1 中, OA3, OB4,OO 12,点 P 在棱 AA1上,且 AP 2PA1,点 S在棱 BB1 上,且 B1S2SB,点 Q,R 分别是 O1B1,AE 的中点,求证： PQ RS名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - -

9、 - - - 学习必备欢迎下载k,使得PQkRS .【分析】建立空间直角坐标系,设法证明存在实数解：如图建立空间直角坐标系,就O0,0,0,A3,0,0, B0,4,0,O10,0,2,A13, 0,2,B10, 4,2,E3,4,0AP2PA1,AP2AA 12 0 , ,0 2 ,0 0 ,4,333P3 ,0 ,423同理可得： Q0,2,2,R3,2, 0,S 0 ,43PQ3 ,2 ,2RS ,3PQ /RS,又 RPQ,PQ RS【评述】 1、证明线线平行的步骤：1证明两向量共线；2证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可2、本体仍可采纳综合法证明,连接这

10、个证明PR,QS,证明 PQRS 是平行四边形即可,请完成例 2 已知正方体 ABCD A1B1C1D1 中,M,N,E,F 分别是棱 A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点,求证：平面 AMN 平面 EFBD 【分析】要证明面面平行,可以通过线线平行来证明,也可以证明这两个平面的法向量平行解法一：设正方体的棱长为4,如图建立空间直角坐标系,就D0,0,0,A4,0,0,M2,0,4,N4,2,4,B4,4,0,E0,2,4,F2,4,4取 MN 的中点 K,EF 的中点 G,BD 的中点 O,就 O2,2,0,K3,1,4,G1,3,4MN 2,2,0, EF 2, 2,0, AK

11、 1,1,4, OG 1, 1,4,名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - MN EF ,AKOG学习必备欢迎下载, MN/EF ,AK/OG ,MN 平面 EFBD ,AK 平面 EFBD ,平面 AMN 平面 EFBD 解法二：设平面 AMN 的法向量是 bb1,b2,b3由aAM,0aAN,0aa1,a2,a3,平面 EFBD 的法向量是得b2 a 14a 3,0取 a31,得 a2, 2,12 a 24 a 30 ,由DE0 ,bBF0,得2 b 24 b 3,0取 b31,得 b2, 2,12 b 14 b

12、3,0a b,平面 AMN 平面 EFBD 注：此题仍可以不建立空间直角坐标系,通过综合法加以证明,请试一试例 3 在正方体 ABCD A1B1C1D 1中, M,N 是棱 A1B1,B1B 的中点,求异面直线AM和 CN 所成角的余弦值解法一：设正方体的棱长为2,如图建立空间直角坐标系,就D0,0,0,A2,0,0,M2,1,2,C0,2,0,N2,2,1AM ,1,0 2 , CN ,2 1,0 ,设 AM 和CN所成的角为,就 cos AM CN 2 ,| AM | CN | 5异面直线 AM 和 CN 所成角的余弦值是 25解法二：取 AB 的中点 P,CC1 的中点 Q,连接 B

13、1P,B1Q,PQ,PC易证明： B1P MA,B1Q NC,名师归纳总结 PB1Q 是异面直线AM 和 CN 所成的角,PQPC2QC26 ,第 5 页,共 20 页设正方体的棱长为2,易知B 1PB 1Q5- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - cosPB 1QB 1P2B 1 Q2学习必备,欢迎下载PQ222B 1PB 1Q5异面直线AM 和 CN 所成角的余弦值是25【评述】空间两条直线所成的角是不超过90 的角,因此按向量的夹角公式运算时,分子的数量积假如是负数,就应取其肯定值,使之成为正数, 这样才能得到异面直线所成的角锐角例 4 如图, 正

14、三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长为a,侧棱长为2a,求直线 AC1 与平面 ABB1A1 所成角的大小【分析】利用正三棱柱的性质,适当建立空间直角坐标系,写出有关点的坐标求角时有两种思路：一是由定义找出线面角,再用向量方法运算；二是利用平面 ABB1A1的法向量求解C 1解法一：如图建立空间直角坐标系,就0A0 ,0, 0 , B0 , a, 0 ,A 100,2a,3a,a,2a取 A1B1的中点 D,就D,a,2 a,连接 AD,C1D222就DC3 a,0 ,0,AB0 ,a ,0 ,AA 10,0 ,2a,2DC 1AB,0DC 1AA 10 ,DC1平面 ABB 1A1,

15、C1AD 是直线 AC1 与平面 ABB1A1 所或的角名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - AC13 a,a,2a,AD学习必备,欢迎下载0,a2 a,222C 1cosC 1AD|AC 1|AD|3,AC 1AD2直线 AC1 与平面 ABB1A1 所成角的大小是30 解法二：如图建立空间直角坐标系,就A0,0,0,B0,a,0,A10,0,2a3a,a,2 a,从而AB0 ,a ,0 ,AA 10,0 ,2a ,AC13a,a,2 a2222设平面 ABB1A1 的法向量是ap,q, r,由aAB0 ,aAA

16、1,0得aqar0,0 ,取 p1,得 a1,0,02设直线 AC1 与平面 ABB1A1 所成的角为,0 , ,2sin|cosAC1,a|AC1|a|1,30.|AC1a|2解【评述】充分利用几何体的特点建立适当的坐标系,再利用向量的学问求解线面角；法二给出了一般的方法,即先求平面的法向量与斜线的夹角,再利用两角互余转换例 5如图,三棱锥PABC 中, PA底面 ABC,ACBC,PAAC1,BC2,求二面角 APB C 的平面角的余弦值解法一：取 PB 的中点 D,连接 CD,作 AEPB 于 EPAAC1,PAAC,PCBC2 , CDPBEAPB,名师归纳总结向量 EA 和 D

17、C 夹角的大小就是二面角APBC 的大小第 7 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如图建立空间直角坐标系,就学习必备欢迎下载2 ,0,P1,0,1,C0,0,0,A1,0,0,B0,由 D 是 PB 的中点,得D1,2,1,3 421, 0, C0,1,0,P0,222由PEAP21,得 E 是 PD 的中点,从而E3,2AB24EB34EA1,2,3,DC1,2,1444222BcosEA,DC|EA|DC|33EADC即二面角 APBC 的平面角的余弦值是3 3解法二：如图建立空间直角坐标系,就A0,0,0,0,1,AP,0 1,

18、0 ,AB2,1,0 ,CB2 , ,0 0 ,CP,01,1 .设平面 PAB 的法向量是aa1,a2,a3,2,0 .平面 PBC 的法向量是bb1,b2,b3由aAP,0aAB0 ,得a 30,a20,取 a11,得a ,12a 1由bCB0 ,bCP0得2b 10 ,0 ,取 b31,得 b0,1,1b2b 3cosa ,b|ab|3 3a|b二面角 APBC 为锐二面角,名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载二面角 APBC 的平面角的余弦值是 | 3 3 | 3 3【评述】 1、求二面角的

19、大小,可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量,转化为这两个向量的夹角；应留意两个向量的始点应在二面角的棱上2、当用法向量的方法求二面角时,有时不易判定两个平面法向量的夹角是二面角的平面角仍是其补角, 但我们可以借助观看图形而得到结论,二面角一般是明显的这是由于二面角是锐二面角仍是钝例 6 如图,三棱锥PABC 中, PA底面 ABC,PAAB, ABC60 , BCA90 ,点 D,E 分别在棱 PB, PC 上,且 DE BC求证： BC平面 PAC；当 D 为 PB 的中点时,求AD 与平面 PAC 所成角的余弦值；试问在棱PC 上是否存在点E,使得二面角ADEP 为直二面角 .如存在,

20、求出PEEC 的值；如不存在,说明理由解：如图建立空间直角坐标系设 PAa,由已知可得A0,0,0,B1a,3a,0,C0,3a0,P0 ,0,a.222AP 0 , ,0a,BC1a , ,0 0 ,2APBC0 ,BCAP又 BCA 90 , BCACBC平面 PAC D 为 PB 的中点, DE BC, E 为 PC 的中点D1a,3a,1a,E0 ,3a,1a44422由知, BC平面 PAC, DE平面 PAC, DAE 是直线 AD 与平面 PAC 所成的角名师归纳总结 AD1 4a ,|3a ,1a,AE0 ,3a,1a,第 9 页,共 20 页4242cosDAEADAE14

21、,4AD|AE|- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备即直线 AD 与平面 PAC 所成角的余弦值是欢迎下载144由知, DE平面 PAC, DEAE, DEPE, AEP 是二面角 ADEP 的平面角PA底面 ABC, PAAC, PAC 90 在棱 PC 上存在一点E,使得 AEPC,PEEC 43这时, AEP90 ,且PEPA24ECAC23故存在点 E 使得二面角ADEP 是直二面角,此时注：此题仍可以不建立空间直角坐标系,通过综合法加以证明,请试一试练习 1-3 一、挑选题：1在正方体 ABCD A1B1C1D1中, E 是 BB1的

22、中点,就二面角 EA1D1D 的平面角的正切值是 A 2 B2 C 5 D 2 22正方体 ABCD A1B1C1D1中,直线 AD1与平面 A1ACC 1所成角的大小是 A30 B45 C60 D90 3已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1 在底面 ABC 内的射影为ABC的中心,就 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于 1 2 3 2A3 B 3 C 3 D34如图,l,A,B,A,B 到 l 的距离分别是 a 和 b,AB 与,所成的角分别是和,AB 在,内的射影分别是 m 和 n,如 ab,就以下结论正确的是 A,mn B,mnC,mnD,mn二、填空题：

23、名师归纳总结 5在正方体ABCD A1B1C1D1中, E,F,G,H 分别为AA1,AB, BB1,B1C1 的中点,就第 10 页,共 20 页异面直线 EF 与 GH 所成角的大小是_6已知正四棱柱的对角线的长为6 ,且对角线与底面所成角的余弦值为3 ,就该正四 3棱柱的体积等于_- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7如图,正四棱柱学习必备欢迎下载A1B 与 AD1 所成角的余弦ABCD A1B1C1D1中,AA12AB,就异面直线值为 _8四棱锥 P ABCD 的底面是直角梯形,BAD90 , AD BC,ABBC1AD,2PA底面 ABCD ,

24、PD 与底面 ABCD 所成的角是30 设 AE 与 CD 所成的角为,就 cos_三、解答题：9如图,正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中, AA12AB 4,点 E 在 CC1上,且 C1E3EC证明： A1C平面 BED；求二面角A1 DEB 平面角的余弦值ABC,OA底10如图,在四棱锥OABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,4面 ABCD ,OA2, M 为 OA 的中点, N 为 BC 的中点证明：直线 MN 平面 OCD；名师归纳总结求异面直线AB 与 MD 所成角的大小第 11 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

25、 - - 11如图,已知直二面角PQ学习必备欢迎下载, C, CACB, BAP45 ,APQ,B直线 CA 和平面所成的角为30 证明： BCPQ；求二面角 BACP 平面角的余弦值习题 1 一、挑选题：1关于空间两条直线a、b 和平面,以下命题正确选项 ,就 a b,就 a bA 如 a b,b,就 aB 如 a,bC如 a,b,就 a bD 如 a,b2正四棱锥的侧棱长为23 ,底面边长为2,就该棱锥的体积为 D2 AB1 与侧面 ACC1A1所成A8 B8C6 33已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等,就直线角的正弦值等于 D3 2A6B10C24424已知某个几何体的

26、三视图如下,依据图中标出的尺寸体的体积是单位： cm,可得这个几何名师归纳总结 4000 A cm 33 C2000cm328000 B cm 33 D4000cm3260第 12 页,共 20 页5如三棱柱的一个侧面是边长为2 的正方形,另外两个侧面都是有一个内角为的菱形,就该棱柱的体积等于 A2B2C32D4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结学习必备欢迎下载第 13 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载二、填空题：6已知正方体的内切球的体积是 4 3 ,就这

27、个正方体的体积是 _7如正四棱柱 ABCD A1B1C1D 1的底面边长为 1,AB1 与底面 ABCD 成 60 角,就直线 AB1和 BC1 所成角的余弦值是 _8如三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为 3 ,就其外接球的表面积是 _9连结球面上两点的线段称为球的弦半径为 4 的球的两条弦 AB、CD 的长度分别等于2 7、4 3,每条弦的两端都在球面上运动,就两弦中点之间距离的最大值为 _10已知 AABC 是等腰直角三角形,ABACa,AD 是斜边 BC 上的高,以 AD 为折痕使BDC 成直角在折起后形成的三棱锥直线 AD平面 BCD；侧面 ABC 是等边三角形；三棱锥 ABCD

28、的体积是2a3.24ABCD 中,有如下三个结论：其中正确结论的序号是_写出全部正确结论的序号三、解答题：11如图,正三棱柱 ABCA1B1C1中, D 是 BC 的中点, ABAA1求证： ADB1D；求证： A1C 平面 A1BD；求二面角 BAB1D 平面角的余弦值12如图,三棱锥 PABC 中, PAAB,PAAC,ABAC,PAAC2,AB1,M 为 PC 的中点求证：平面 PCB平面 MAB ；名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 求三棱锥PABC 的表面积学习必备欢迎下载13如图,在直三棱柱 ABC

29、A1B1C1中, ABC90 , ABBCAA12,M、N 分别是A1C1、BC1的中点求证： BC1平面 A1B1C；求证： MN 平面 A1ABB 1；求三棱锥MBC1B1的体积AD2, DCSD14在四棱锥SABCD 中,底面ABCD 为矩形, SD底面 ABCD ,2点 M 在侧棱 SC 上, ABM60 证明： M 是侧棱 SC 的中点；求二面角 SAM B 的平面角的余弦值练习 1-3 一、挑选题：1B 2A 3 B 4D 二、填空题：56062 748245三、解答题：名师归纳总结 9以 D 为坐标原点,射线DA 为 x 轴的正半轴,建立如下列图直角坐标系Dxyz第 15 页,共

30、 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载依题设, B2,2,0,C0,2,0,E0,2,1,A12,0,4DE 0 , 2 1, ,DB 2 , ,2 0 ,A1CBD,A1CDEA 1 C2 2, ,4 ,DA 12 0, , 4 .A 1 CDB,0A 1 CDE,0又 DBDED, A1C平面 DBE设向量 nx,y,z是平面 DA 1E 的法向量,就 n DE n DA 1 .2 y z 0 ,令 y1,得 n4,1, 22 x 4 z .0cos n , A 1 C | n n| AA 11 CC | 42 14二面角

31、A1DEB 平面角的余弦值为 42 1410作 AP CD 于点 P如图,分别以 AB, AP,AO 所在直线为 x,y,z 轴建立坐标系就 A0,0,0,B1,0,0,P 0 , 2 2, 0 , D 2 2, 2 2 0, ,O0,0,2,M0,0,1,名师归纳总结 N12,2, 0 0 ,2 2,2 2,2 第 16 页,共 20 页44MN 12 4,2 4,1 ,OP,02 2,2 ,OD设平面 OCD 的法向量为n x,y,z,就nOPnOD,0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即2 2yx2z20 ,2z0 .学习必备欢迎下载n0 ,4

32、,2.取z2,得2y22MNn,0MN 平面 OCD |1,设 AB 与 MD 所成的角为,AB ,10 ,0 ,MD2,2,1 ,cos|ABMD223|AB|MD|2即直线 AB 与 MD 所成角的大小为 311 证明：在平面内过点 C 作 COPQ 于点 O,连结 OB,PQ, CO又 CACB, OAOB BAO45 , ABO45 , AOB90 , BOPQ,又 COPQ,PQ 平面 OBC, PQBC由知, OCOA,OCOB,OAOB,故以 O 为原点,分别以直线 OB,OA,OC 为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系如图 CO, CAO 是 CA 和平面所成

33、的角,就CAO30 不妨设 AC2,就AO3,CO1BOAO3.在 Rt OAB 中, ABO BAO 45 ,O0,0 ,0,B 3,0 ,0 ,A0 ,3 ,0 ,C0 ,01, .AB3 ,3 , 0 ,AC,031, .设 n1x,y, z是平面 ABC 的一个法向量,名师归纳总结由nAB,0得3xy3y0 ,取 x1,得n 1 ,1,13第 17 页,共 20 页nAC0 ,3z0,易知 n21,0,0是平面的一个法向量- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载n 1n 25,设二面角 BAC P 的平面角为,cos| n 1 | n 2|5即二面角 BAC P 平面角的余弦值是 55习题 1 一、挑选题：1D

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