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1、勾股定理综合应用 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望a2+b2=c2cba8课前练习：课前练习：（1 1）求出下列直角三角形中未知的边）求出下列直角三角形中未知的边610（2）求）求AB的长的长例例2 2、在在ABCABC中，中，B=45B=45AC=3cm,AB=2cmAC=3cm,AB=2cm，求，求BCBC的长的长.D勾股定理在非直角三角形中的应用：勾股定理在非直角三角形中的应用：作高构造作高构造直角三角形直角三角形.变式变式1 1、在在ABCA
2、BC中，中，B=120B=120，BC=4cmBC=4cm，AB=6cmAB=6cm，求，求ACAC的长的长.D D 已知直角三角形的两边长分别是已知直角三角形的两边长分别是3 3和和4,4,则第则第三边长为三边长为 .5或或 分类思想训练：训练：ABCABC中中,AB=10,AC=17,AB=10,AC=17，BCBC边上的高线边上的高线AD=8,AD=8,求线段求线段BCBC的长和的长和ABCABC的面积的面积.ABC17108D861515621 或或9S ABC=84或或36 当题中没有给出图形时，应考虑图形的形状当题中没有给出图形时，应考虑图形的形状是否确定，如果不确定，就需要分类讨
3、论。是否确定，如果不确定，就需要分类讨论。分类思想分类思想 1.1.直角三角形中，已知两边长直角三角形中，已知两边长,求第三求第三边时边时,应分类讨论。应分类讨论。2.2.当已知条件中没有给出图形时，应认真当已知条件中没有给出图形时，应认真读句画图，避免遗漏另一种情况。读句画图，避免遗漏另一种情况。方程思想方程思想 直角三角形中，当无法已知两边求第三直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中的等量关系，利用勾股定理列方程。的等量关系，利用勾股定理列方程。例例2 2、在在ABCABC中，中，B=45B=45AC=3cm,AB=2cm
4、AC=3cm,AB=2cm，求，求BCBC的长的长.D勾股定理在非直角三角形中的应用：勾股定理在非直角三角形中的应用：设设AD=x 折叠矩形折叠矩形ABCD的一边的一边AD,点点D落在落在BC边上的点边上的点F处处,已知已知AB=8CM,BC=10CM,求求 1.CF 2.EC.ABCDEF810106X8-X48-X 如图，一块直角三角形的纸片，两直如图，一块直角三角形的纸片，两直角边角边AC=6，BC=8。现将直角边。现将直角边AC沿直线沿直线AD折叠，使它落在斜边折叠，使它落在斜边AB上，且上，且与与AE重合，求重合，求CD的长的长 ACDBE第8题图x6x8-x46路边苦李路边苦李 王
5、戎王戎7岁时岁时,与小与小伙伴们外出游玩伙伴们外出游玩,看看到路边的李树上结满到路边的李树上结满了果子了果子.小伙伴们纷小伙伴们纷纷去摘取果子纷去摘取果子,只有只有王戎站在原地不动王戎站在原地不动.王戎回答说王戎回答说:“树在道边而多子树在道边而多子,此必苦李此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的呢王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样他运用了怎样的推理方法的推理方法?小故事小故事这与事实这与事实矛盾。矛盾。说明说明李子是甜的这个假设是错李子是甜的这个假设是错的还是对的的还是对的？假设假设李子不是苦的，即李子是甜的，李子不是苦的
6、，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢过路人摘去解渴呢？那么，树上的李子还会这么多吗那么，树上的李子还会这么多吗？所以，所以，李子是苦的李子是苦的甲：在五一长甲：在五一长假里，我和爸假里，我和爸爸、妈妈去新爸、妈妈去新加坡玩了整整加坡玩了整整6天，真是太高天，真是太高兴了兴了.乙：这不可能，乙：这不可能，5月月4号上午还看见你和丙号上午还看见你和丙在在“步行街步行街”逛街呢！逛街呢！丙：是啊丙：是啊,5月月4号我确实号我确实和甲在和甲在“步步行街行街”逛街！逛街！假设假设甲去新加坡玩了甲去新加坡玩了6天，天，乙：甲没有去
7、新加坡玩了乙：甲没有去新加坡玩了6天天.那么甲从那么甲从5月月1号至号至6号或是号或是2号至号至7号在号在新加坡，新加坡，即即5月月4号甲在新加坡，号甲在新加坡，这与这与“5月月4号甲在桂阳的号甲在桂阳的“步行街步行街”矛矛盾盾,所以所以假设假设“甲去新加坡玩了甲去新加坡玩了6天天”不正确不正确,于是于是“甲没有去新加坡玩了甲没有去新加坡玩了6天天”正确正确.在古希腊时在古希腊时,有三个哲学家，由于争论和有三个哲学家，由于争论和天气的炎热感到疲倦，于是就在花园里的天气的炎热感到疲倦，于是就在花园里的一棵大树下躺下休息睡着了。这时一个爱一棵大树下躺下休息睡着了。这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们
8、的前额开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额,当他当他们醒过来后，彼此相看时都笑了。一会儿们醒过来后，彼此相看时都笑了。一会儿其中有一个人却突然不笑了，他是觉察到其中有一个人却突然不笑了，他是觉察到什么了？什么了？他运用了怎样的推理方法？他运用了怎样的推理方法？各抒己见各抒己见假设假设自己的前额没有被涂黑自己的前额没有被涂黑,那么另一个哲学家也不会有异常行为那么另一个哲学家也不会有异常行为,自己的前额也被涂黑了自己的前额也被涂黑了.这与另一个哲学家笑个不停这与另一个哲学家笑个不停矛盾矛盾,所以所以假设假设“自己的前额没有涂黑自己的前额没有涂黑”不正不正确确,于是自己的前额也被涂黑了于是自己的前额也被涂
9、黑了.14.1.314.1.3反证法反证法一、问题情境一、问题情境小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对婷婷说：了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。昨天晚上下雨了。”你能对小华的判断说出理由吗？你能对小华的判断说出理由吗？假设假设昨天晚上没有下雨，昨天晚上没有下雨，那么那么地上应是干的，这与地上应是干的，这与早晨地上全湿了早晨地上全湿了相矛盾相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。，所以说昨晚下雨是正确的。小华的理由：我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。解析：解析：由由C=90C=90可知是直角
10、三角可知是直角三角形，根据勾股定理可知形，根据勾股定理可知a a2 2+b+b2 2 c c2.2.如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=cAB=c，BC=aBC=a，AC=b,AC=b,如果如果C=90C=90，a a、b b、c c三边有何关系？为三边有何关系？为什么？什么？A AC CC Ca ab bc c一、复习引入一、复习引入探究：探究：假设假设a a2 2+b+b2 2 c c2 2，由勾股定理，由勾股定理可知三角形可知三角形ABCABC是直角三角形，且是直角三角形，且C=90C=90，这与已知条件，这与已知条件C90C90矛盾。假设不成立，从矛盾。假设不成立，从而说明原结论
11、而说明原结论a a2 2+b+b2 2 c c2 2成立。成立。A AC CC C 若将上面的条件改为若将上面的条件改为“在在ABCABC中，中，AB=cAB=c，BC=aBC=a，AC=b,C90AC=b,C90”，请问结论，请问结论a a2 2+b+b2 2 c c2 2成立吗？成立吗？请说明理由。请说明理由。a ab bc c 这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法公
12、理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做叫做反证法反证法。问题问题：发现知识：发现知识：二、探究二、探究三、应用新知三、应用新知在在ABCABC中，中，ABAC,ABAC,求证：求证：B B C CA AB BC C证明：假设证明：假设，则则（）这与这与矛盾矛盾假设不成立假设不成立B B C CABABACAC等角对等边等角对等边已知已知ABACABACB B C C小结：小结：反证法的步骤：假设结论的反面不成立反证法的步骤：假设结论的反面不成立逻辑推理逻辑推理得出矛盾得出矛盾肯定原结论正确肯定原结论正确例例尝试解决问题尝试解决问题感感受受反反证证法法:证明证明：假设假设a a
13、与与b b不止一个交点，不不止一个交点，不妨假设有两个交点妨假设有两个交点A A和和A A。因为两点确定一条直线，即经因为两点确定一条直线，即经过点过点A A和和A的直线有且只有一条的直线有且只有一条，这与与已知两条直线矛盾这与与已知两条直线矛盾,假设不假设不成立。成立。所以两条直线相交只有一个交点所以两条直线相交只有一个交点。小结小结：根据假设推出结论除了可以与已知根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾公理矛盾例例2 2求证：两条直线相交只有一个交点。求证：两条直线相交只有一个交点。已知：如图已知：如图两条相交直线两
14、条相交直线a、b。求证：求证：a与与b只有一个交点。只有一个交点。abAA A，A A证明：假设证明：假设a a与与b b不平行，则不平行，则可设它们相交于点可设它们相交于点A A。那么过点那么过点A A 就有两条直就有两条直线线a a、b b与直线与直线c c平行，这与平行，这与“过直线外一点有且只有一条过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾直线与已知直线平行矛盾,假假设不成立。设不成立。a/b.a/b.小结小结：根据假设推出结论除了可以与已知根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾公理矛盾 已知：如图有已知：
15、如图有a a、b b、c c三条直线，三条直线，且且a/c,b/c.a/c,b/c.求证：求证：a/ba/babc例例3 3 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于或等于6060。已知：已知：ABCABC求证：求证：ABCABC中至少有一个内角小于或等于中至少有一个内角小于或等于6060.证明：假设证明：假设，则则。，即即。这与这与矛盾假设不成立矛盾假设不成立ABCABC中没有一个内角小于或等于中没有一个内角小于或等于6060A60A60,B60,B60,C60,C60A+B+C180A+B+C180三角形的内角和为三角形的内角和为180180度
16、度ABCABC中至少有一个内角小于或等于中至少有一个内角小于或等于6060.点拨：至少的反面是没有！点拨：至少的反面是没有！例例4 4A+B+C60+60+60=180A+B+C60+60+60=180求证求证:在同一平面内在同一平面内,如果一条直线和两条平行如果一条直线和两条平行线中的一条相交线中的一条相交,那么和另一条也相交那么和另一条也相交.已知已知:直线直线l1,l2,l3在同一平面内在同一平面内,且且l1 l2,l3与与l1相相交于点交于点P.求证求证:l3与与l2相交相交.证明证明:假设假设_,那么那么_.因为已知因为已知_,这与这与“_ _”矛盾矛盾.所以所以假设不成立假设不成立
17、,即求证的命题正确即求证的命题正确.l1l2l3Pl3与与l2 不相交不相交.l3l2l1l2 经过直线外一点经过直线外一点,有且只有一条直有且只有一条直线平行于已知直线线平行于已知直线所以过直线所以过直线l2外一点外一点P,有有两条直线两条直线和和l2平行平行,例5例例6、用反证法证明：等腰三角形的底、用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角角必定是锐角分析分析：解题的关键是反证法的第一步否定结：解题的关键是反证法的第一步否定结论，需要分类讨论论，需要分类讨论.已知：在已知：在ABC中，中，AB=AC.求证：求证：B、C为锐角为锐角.证明：证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那假设等腰三角形
18、的底角不是锐角，那么只有两种情况：么只有两种情况：(1)两个底角都是直角；两个底角都是直角；(2)两个底角都是钝角；两个底角都是钝角；（1)由由A=B=90则则A+B+C=A+90+90180，这与三角形内角和定理矛盾，这与三角形内角和定理矛盾，A=B=90这个假设不成立这个假设不成立.(2)由由90B180，90C180，则则A+B+C180，这与三角形内角和定理矛盾，这与三角形内角和定理矛盾.两个底角都是钝角这个假设也不成立两个底角都是钝角这个假设也不成立故原命题正确故原命题正确等腰三角形的底角必定是锐角等腰三角形的底角必定是锐角.说明说明：本例中：本例中“是锐角是锐角(小于小于90)”的
19、反面有的反面有两种情况两种情况，这，这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成立，最后才能肯定命题的结论一定正确立，最后才能肯定命题的结论一定正确.此题是对反证法此题是对反证法的进一步理解的进一步理解.假假设设结结论论的的反反面面正正确确推理论证推理论证得出结论得出结论回顾与归纳回顾与归纳反设反设归谬归谬结论结论 得得出出矛矛盾盾（已已知知、公公理理、定定理理等等）假假设设不不成成立立，原原命命题题成成立立.反证法的一般步骤反证法的一般步骤:假设命题结假设命题结论不成立论不成立假设不假设不成立成立假设命题结假设命题结论反面成立论反面成
20、立与已知条与已知条件件矛盾矛盾假设假设推理得出推理得出的结论的结论与与定理，定义，定理，定义，公理公理矛盾矛盾所证命题所证命题成立成立什么时候运用反证法呢？什么时候运用反证法呢？证明真命题证明真命题 的方法的方法 直接证法直接证法 间接证法间接证法 反证法反证法万事开头难，让我们走好第一步！万事开头难，让我们走好第一步！写出下列各结论的反面：写出下列各结论的反面：（1）a/b；（2）a0；（3）b是正数；是正数；（4）aba0b是0或负数a不垂直于bab已知：如图已知：如图ABC中，中，D、E两两 点分别点分别在在AB和和AC上上 求证：求证：CD、BE不能互相平分不能互相平分（平行四边形对边
21、平行）做一做做一做学习是件很愉快的事学习是件很愉快的事证明：假设CD、BE互相平分互相平分连结DE，故四边形BCED是平行四边形BDCE这与BD、CE交于点A矛盾假设错误，CD、BE不能互相平分不能互相平分四、巩固新知四、巩固新知1 1、试说出下列命题的反面：、试说出下列命题的反面：（1 1）a a是实数。是实数。（2)a2)a大于大于2 2。（3 3）a a小于小于2 2。（4 4）至少有）至少有2 2个个（5 5）最多有一个）最多有一个 （6 6）两条直线平行。）两条直线平行。2 2、用反证法证明、用反证法证明“若若a a2 2 b b2 2,则则a a b b”的第一步的第一步是是。3
22、3、用反证法证明、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第的第一步一步。a a不是实数不是实数a a小于或等于小于或等于a a大于或等于大于或等于没有两个没有两个一个也没有一个也没有两直线相交两直线相交假设假设a=ba=b假设这个三角形是等腰三角形假设这个三角形是等腰三角形五、拓展应用五、拓展应用1 1、已知：如图，在、已知：如图，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，APBAPCAPBAPC。求证：求证：PBPCPBPCA AB BC CP P证明：假设证明：假设PB=PCPB=PC。在
23、在ABPABP与与ACPACP中中 AB=AC(AB=AC(已知）已知）AP=APAP=AP（公共边）（公共边）PB=PCPB=PC（已知）（已知）ABPACPABPACP（S.S.S)S.S.S)APB=APC(APB=APC(全等三角形对应边全等三角形对应边相等）相等）这与已知条件这与已知条件APBAPCAPBAPC矛盾，矛盾，假设不成立假设不成立.PBPC PBPC 美国总统华盛顿从小非常聪明美国总统华盛顿从小非常聪明,小偷翻进小偷翻进鲍克家偷走了许多东西鲍克家偷走了许多东西,根据迹象表明小偷就根据迹象表明小偷就是本村人是本村人,华盛顿灵机一动华盛顿灵机一动,对全村人讲起了对全村人讲起了
24、故事故事:“黄蜂是上帝的使者黄蜂是上帝的使者,能辨别人间的真假能辨别人间的真假.”忽然华盛顿大声喊道忽然华盛顿大声喊道:“小偷就是他，黄蜂小偷就是他，黄蜂正在他的帽子上兜圈子，要落下来了！正在他的帽子上兜圈子，要落下来了！”大大家回头张望，看着那个想把帽子上的黄蜂赶家回头张望，看着那个想把帽子上的黄蜂赶走的人，其实哪有什么黄蜂？华盛顿大喝一走的人，其实哪有什么黄蜂？华盛顿大喝一声：声：“小偷就是他！小偷就是他！”你知道华盛顿是如何推理的吗？你知道华盛顿是如何推理的吗？华盛顿抓小偷华盛顿抓小偷警察局里有名嫌疑犯，他们分别做了如下口供：警察局里有名嫌疑犯，他们分别做了如下口供：说：这里有个人说谎说
25、：这里有个人说谎说：这里有个人说谎说：这里有个人说谎说：这里有个人说谎说：这里有个人说谎说：这里有个人说谎说：这里有个人说谎说：这里有个人说谎说：这里有个人说谎聪明的同学们，假如你是警察，你觉得谁说了真话？聪明的同学们，假如你是警察，你觉得谁说了真话？你会释放谁？你会释放谁？请与大家分享你的判断！请与大家分享你的判断！课外延伸课外延伸 古希腊哲学家亚里士多德有一个著名古希腊哲学家亚里士多德有一个著名论点论点:轻重不同的两个物体从同一高度自轻重不同的两个物体从同一高度自由下落时由下落时,一定是重的物体先落地一定是重的物体先落地.在意大在意大利物理学家伽利略提出反对观点以前的利物理学家伽利略提出反
26、对观点以前的一千多年里人们对亚里士多德的说法深一千多年里人们对亚里士多德的说法深信不疑信不疑.伽利略为了证明自己的观点是正伽利略为了证明自己的观点是正确的确的,在意大利的比萨斜塔上在意大利的比萨斜塔上,让一个中让一个中1 1磅和重磅和重100100磅的两个铁球同时从高空自由磅的两个铁球同时从高空自由下落下落,果然是同时着地果然是同时着地.这是科学史上一个这是科学史上一个极其有名的实验极其有名的实验,它否定了亚里士多德的它否定了亚里士多德的错误观点错误观点.你能用今天所学的知识来否定你能用今天所学的知识来否定亚里士多德的错误观点吗亚里士多德的错误观点吗?试一试试一试.六、全课总结六、全课总结1
27、1、知识小结：、知识小结：反证法证明的思路：假设命题不成立反证法证明的思路：假设命题不成立正确的推理正确的推理,得出矛盾得出矛盾肯定待定命题的肯定待定命题的结论结论2 2、难点提示、难点提示:利用反证法证明命题时利用反证法证明命题时,一定要准确而一定要准确而全面的找出命题结论的反面。至少的反面是全面的找出命题结论的反面。至少的反面是没有，最多的反面是不止。没有，最多的反面是不止。课时作业设计课时作业设计用反证法证明下列命题：1.求证：三角形内角中至多有一个内角是钝角。2.已知：如图，ABCD，AB EF。求证：CD EF。3.求证：圆内两条不是直径的弦不能互相平分。4.证明证明“在同一平面内在同一平面内,垂直于同一条直线的两条垂直于同一条直线的两条直线互相平行直线互相平行.”ABCDEF第第2题图题图