劳斯霍尔维茨稳定性判据.ppt

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1、劳斯霍尔维茨稳定性判据 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望综述综述 系统分析的概念。针对系统的稳定性稳定性(Stability)、稳态误差稳态误差(Steady-State Error)和瞬态响应瞬态响应(Transient Response)在时间域内，通过求解系统的微分方程得到间接方法：稳定性判据稳定性判据(Stability Criterion)、根轨迹法(Root Locus Method)和频率法(Frequency Method)发展3.1

2、.3.1.二阶系统的瞬态响应及性能指标二阶系统的瞬态响应及性能指标 基本概念 瞬态响应瞬态响应瞬态响应瞬态响应：系统的输出从输入信号：系统的输出从输入信号：系统的输出从输入信号：系统的输出从输入信号r r(t t)作用时刻作用时刻作用时刻作用时刻起，到稳定状态为止，随时间变化的过程。起，到稳定状态为止，随时间变化的过程。起，到稳定状态为止，随时间变化的过程。起，到稳定状态为止，随时间变化的过程。分析系统的瞬态响应的方法：分析系统的瞬态响应的方法：1、直接求解法直接求解法 2、间接评价法间接评价法 3、计算机仿真法计算机仿真法 3.1.1.3.1.1.典型输入信号典型输入信号 控制系统的瞬态响应

3、与输入信 号的形式有关一个控制系统的实际输入信号往往具有多重形式，并且也常常难于事先确定通常考虑某些典型输入信号对系统的影响（一）阶跃信号（一）阶跃信号(Step Signal)图(3-1)阶跃信号A=1时，称为单位阶跃信号，用1(t)表示（二）斜坡信号（二）斜坡信号(Ramp Signal)图(3-2)斜坡信号当A=1时，则称为单位斜坡信号（三）抛物线信号三）抛物线信号 (Parabolic Signal)图(3-3)抛物线信号当A=1时，则称为单位抛物线信号（四）脉冲信号（四）脉冲信号 (Impulse Signal)图(3-4)脉冲信号当e 趋于零时就得理想的单位脉冲信号(亦称d(t)函

4、数)。（五）正弦信号（五）正弦信号(Sin Signal)图(3-4)脉冲信号A为幅值 T为周期，w=2p/T为角频率 3.1.2.3.1.2.系统的性能指标系统的性能指标 性能指标用来衡量系统性能常由系统在一定的典型输入信号作用下的具体性能指标来表示性能指标有许多形式性能指标5、调整时间ts(settling time)主要包括：1、最大超调量sp(percent overshot)：2、延滞时间td(time delay)：响应曲线到达稳态值50%所需的时间3、上升时间tr(rise time)：三种定义4、峰值时间tp(peak time)：响应曲线到达第一个峰值所需的时间在系统能稳定工

5、作的条件下，系统的瞬态性能通常以系统在初始条件为零的情况下，对单位阶跃输入信号的响应特性来衡量 性能指标图解调整时间ts 峰值时间tp 上升时间tr 最大超调量sp 延滞时间td 其它性能指标n n振荡次数，衰减比等对于恒值控制系统，常以系统对单位扰动输入信号时的响应特性来衡量瞬态性能图(3-7)单位扰动输入3.1.3.3.1.3.瞬态响应瞬态响应 (Transient Response)（一）一阶系统的瞬态响应（一）一阶系统的瞬态响应 图(3-8)一阶控制系统 代表一个电机的速度控制系统，其中t 是电机的时间常数 闭环传递函数 输出响应 输入r(t)=1(t)或R(s)=1/s可用一阶微分方

6、程描述其动态过程的系统，称为一阶系统 一阶系统响应曲线一阶系统的单位阶跃响应 图(3-9)一阶系统的单位阶跃响应系统时间常数 定义为系统响应达到稳态值的63.2%所需要的时间 响应的稳态值 系统输出值与时间常数T的对应关系：t=T，c(1T)=0.632 c()t=2T，c(2T)=0.865c()t=3T，c(3T)=0.950c()t=4T，c(4T)=0.982c()(一)一阶系统的稳态误差由于放大器的内部噪声随增益的增加而增大，K 不可能为无穷大。而且，线性模型也仅在工作点附近的一定范围内成立。所以，系统的稳态误差 不能为0系统的稳态误差（二）二阶系统的阶跃响应（二）二阶系统的阶跃响应

7、在分析和设计自动控制系统时，常常把二阶系统的响应特性视为一种基准。闭环传递函数 图(3-10)典型二阶系统结构 z为阻尼比，wn为无阻尼自然振荡频率 以图(2-2)中R-L-C电路为例传递函数 无阻尼自然振荡频率 当R=0时的谐振频率 阻尼比 电枢控制的直流电动机输出w 与电枢电压ua之间传递函数为 典型二阶系统的阶跃响应特性特征方程解方程阻尼比z不同，特征根的性质就不同，系统的响应特性也就不同 0z1，欠阻尼情况 z=，临界阻尼情况 z，过阻尼情况 0z1，欠阻尼情况 系统传递函数有阻尼振荡频率 输入r(t)=1(t)0z1，欠阻尼情况（续）(a)根分布 (b)单位阶跃响应 图(3-11)欠

8、阻尼情况(0z 1)无超调，过程拖得比 z=时长 不同z值下的二阶系统单位阶跃响应曲线族 在一定z 值下，欠阻尼系统比临界阻尼系统更快地达到稳态值，过阻尼系统反应迟钝，动作很缓慢，所以一般系统大多设计成欠阻尼系统 二阶系统的脉冲响应特性输入单位脉冲信号d(t)，即R(s)=二阶系统单位脉冲响应的拉氏变换为 系统的单位脉冲响应 欠阻尼情况(0z 1)不同z 值时的单位脉冲响应曲线（四）二阶系统的瞬态响应性能指标（四）二阶系统的瞬态响应性能指标工程实际中往往习惯把二阶系统调整为欠阻尼过程，主要的性能指标：上升时间、峰值时间、最大超调量、调节时间 上升时间上升时间tr (rise time)c(tr

9、)为1峰值时间tp(peak time)一阶求导到达第一个峰值时wd tp=p 最大超调量sp(percent overshot)(percent overshot)代入t=tp 图(3-16)sp与z 的关系 调节时间调节时间t ts s(settling time)(settling time)T=1/zwn 图(3-17)ts与z 的关系 图(3-18)z 稍微突变引起的ts突变 在z=0.69(或0.77)，ts有最小值，以后ts随z 的增大而近乎线性地上升 曲线的不连续性是由于z 在虚线附近稍微变化会引起ts突变造成调节时间调节时间t ts s（近似方法）（近似方法）令e(t)的幅值

10、 或小结当当w wn一定，要减小一定，要减小tr和和tp，必须减少必须减少z z 值，值，要减少要减少ts则应增大则应增大zwzwn值，而且值，而且z z 值有一定值有一定范围，不能过大范围，不能过大增大增大w wn n，能使，能使t tr r，t tp p和和t ts s都减少都减少最大超调量最大超调量s sp p只由只由z z 决定，决定，z z 越小，越小，s sp p越越大。大。3.1.4.线性定常系统的重要特性线性定常系统的重要特性 初始条件为零的线性定常系统 当系统输入信号为原来输入信号的导数时，系统的输出为原来输出的导数 线性定常系统的重要特性线性定常系统的重要特性(2)(2)初

11、始条件为零的线性定常系统 在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号对时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分 结论单位脉冲响应是单位阶跃响应对时间的单位脉冲响应是单位阶跃响应对时间的一阶导数。单位阶跃响应可以由单位斜一阶导数。单位阶跃响应可以由单位斜坡响应和单位抛物线响应对时间的一阶坡响应和单位抛物线响应对时间的一阶导数和二阶导数求得导数和二阶导数求得单位斜坡响应和单位抛物线响应是单位单位斜坡响应和单位抛物线响应是单位阶跃响应对时间的一重和二重积分阶跃响应对时间的一重和二重积分 只要知道系统对某一种典型信号的响应，只要知道系统对某一种典型信号的响应，对其它典型信号的响应也可推知对其

12、它典型信号的响应也可推知3.2.增加零极点对二阶系统响应的影响增加零极点对二阶系统响应的影响高阶系统传递函数的一般形式零极点的形式 q+2l=m，k+2r=n 高阶系统单位阶跃响应高阶系统单位阶跃响应 假设没有重极点 高阶系统小结高阶系统瞬态响应各分量的衰减快慢由-pi和-z niw ni决定各分量所对应的系数决定于系统的零、极点分布 高阶系统瞬态响应各分量的衰减快慢由-pi和-z niw ni决定对于系数很小(影响很小)的分量、远离虚轴衰减很快的分量常常可以忽略，因而高阶系统的性能就可用低阶系统来近似估计 主导极点定义假如高阶系统中距离虚轴最近的极点，其实数部分为其它极点的110或更小，并且

13、附近又没有零点，则可认为系统的响应主要由该极点(或共轭复数极点)决定，这一分量衰减最慢。这种对系统瞬态响应起主要作用的极点，称为系统的主导极点 主导极点example三阶系统传递函数图(3-19)三阶系统的零极点分布图 若系统的性能指标可用二阶系统的曲线来表示 主导极点当主导极点的实部小于第当主导极点的实部小于第3个根实部的个根实部的1/10时，该三阶系统的响应可以用由主时，该三阶系统的响应可以用由主导极点表示的二阶系统的响应来近似导极点表示的二阶系统的响应来近似 主导极点example(续）将三阶系统看成是由主导极点决定的二阶系统与一个惯性环节（一阶滤波器）串联而成 惯性环节的时间常数较大时

14、，惯性环节的作用较强。二阶系统的输出c1(t)经过惯性环节的滤波后，震荡现象减弱很多 仿真结果当z=0.45时，通过计算机仿真能够得到系统在单位阶跃输入下的响应t t-1/-1/t t超调量超调量s sp%调节时调节时间间ts2.252.250.4440.4440 09.639.631.51.50.660.663.903.909.309.300.90.91.1111.11112.312.38.818.810.40.42.502.5018.618.68.678.670.050.0520.020.020.520.58.378.370 020.520.58.248.24当t=2.25时，实数极点为-

15、1/t=-0.444，而复数极点的实部为-0.45，二者相差不大，系统是过阻尼的，响应没有超调t 调整为0.9，即实数极点为-1.11，则计算得到的超调量为12%，调节时间为8.8秒 注意注意上述的结果仅在闭环传递函数没有零点的情况下才是正确的 有零点情况如果二阶系统包含有零点，且该零点位于主导极点附近，则会对系统的瞬态响应产生影响 标准二阶系统一个零点 系统的阶跃响应中包含系统的阶跃响应中包含有标准二阶系统的阶跃有标准二阶系统的阶跃响应及该响应的导数，响应及该响应的导数，导数项的大小与零点成导数项的大小与零点成反比，也就是零点距离反比，也就是零点距离虚轴越远，附加零点的虚轴越远，附加零点的影

16、响就越小影响就越小 有零点时的仿真结果图(3-21)含有一个零点二阶系统的阶跃响应 a/zwzwn超调量超调量s sp%调节时调节时间间ts峰值时峰值时间间tp5 523.123.18.08.03.03.02 239.739.77.67.62.22.21 189.989.910.110.11.81.80.50.5210.0210.010.310.31.51.5表3.2 二阶系统附加零点对性能指标的影响 例例3.1 假设系统的闭环传递函数为 试分析零点-2.5和极点-6对系统阶跃响应的影响。解1、从闭环传递函数可以看出，系统的传递系数(或静态增益)为1，所以系统对阶跃输入的稳态误差为零 零极点分

17、布图例例3.1（续）（续）2、应用MATLAB进行计算机仿真，得到单位阶跃响 应曲线 单位阶跃响应曲线 A:原三阶系统，超调量sp%=37%，调节时间ts=1.6秒B:忽略极点的系统超调量sp%=54.5%，调节时间ts=1.5秒D:忽略零极点的系统超调量sp%=9.5%，调节时间ts=1.2秒C:忽略零点的系统超调量sp%=5.5%，调节时间ts=1.4秒不能忽略零极点的影响一个不能忽略的零点对系统的影响是使超调量加大，响应速度加快一个不能忽略的极点对系统的影响是使超调量减小，调节时间增加3.3.反馈控制系统的稳态误差反馈控制系统的稳态误差瞬态响应性能指标 稳态误差 稳态误差是对系统精度的一

18、种衡量系统在不同的输入信号作用下，会有不同的稳态误差。系统静特性不稳定和参数变化等因素也会导致系统产生一定的稳态误差 3.3.1.稳态误差的概念稳态误差的概念 (Steady-State Error)图(3-23)单位反馈系统 图(3-24)非单位反馈系统 误差信号e(t)与输入信号r(t)之间的传递函数 终值定理稳态误差与输入信号和系统的结构、参数有关 (a)阶跃输入 (b)斜坡输入(c)抛物线输入图(3-25)不同典型信号作用下的稳态误差 规定稳态误差要求时，要指明输入信号类型 当输入信号的形式确定后，系统的稳态误差将只取决于系统的结构和参数 3.3.2.稳态误差的计算稳态误差的计算控制系

19、统的开环传递函数 系统有N个积分环节串联。因为系统的类型常按其开环传递函数中串联积分环节的数目分类，所以称此系统为N型系统增加型号数，可使系统精度提高，但对稳定性不利，实际系统中N （一）单位阶跃输入时的稳态误差（一）单位阶跃输入时的稳态误差位置误差系数0型系统，N=0 1型或1型以上的系统，N （二）单位斜坡输入时的稳态误差（二）单位斜坡输入时的稳态误差 稳态误差 速度误差系数 0型系统，N=0 1型系统，N=2型或高于2型系统，N 2（三）单位抛物线信号（三）单位抛物线信号(等加速度信号等加速度信号)输入时的稳态误差输入时的稳态误差加速度误差系数，稳态误差 0型或1型系统，N=0或1 2型

20、系统，N=2 3型或高于3型系统，N 2 稳态误差小结稳态误差小结系系 统统阶阶 跃跃 输输 入入r(t)=1 斜斜 坡坡 输输 入入 r(t)=t 抛物线抛物线输入输入r(t)=t2/2 0 0型型1型型0 02 2型型0 00 0当输入信号是上述典型信号的组合时，为使系统满足稳态响应的要求，N值应按最复杂的输入信号来选定 例例3.2 已知两个系统如图所示，当参考输入r(t)=46t3t2时，试分别求出两个系统的稳态误差。(a)1型系统 (b)2型系统 解：系统a为1型系统，其Ka=0，不能紧跟r(t)的3t2分量，所以 ess=；系统b为2型系统，其Ka=K=10/4，所以当输入为阶跃、斜

21、坡和抛物线信号的组合时，抛物线信号分量要求系统型号最高。系统b的型号为2，能跟随输入信号中的抛物线信号分量，但仍有稳态误差。而系统a，由于型号较低，故不能跟随抛物线信号分量，稳态误差为 3.3.3.主扰动输入引起的稳态误差主扰动输入引起的稳态误差 定义一般情况下，系统除受到输入信号的作用外，还可能承受各种扰动信号的作用，在扰动信号的作用下，系统也将产生稳态误差，称为扰动稳态误差 图(3-27)主扰动的影响 主扰动主扰动输入引起的稳态误差（续）主扰动输入引起的稳态误差（续）R(s)输出与扰动之间的传递函数 扰动为单位阶跃信号n(t)=1(t)3.3.4.关于降低稳态误差问题关于降低稳态误差问题增

22、大系统开环放大系数可以增强系统对参考输入的跟随能力；增大扰动作用点以前的前向通道放大系数可以降低扰动引起的稳态误差增加前向通道中积分环节数，使系统型号提高，可以消除不同输入信号时的稳态误差 保证元件有一定的精度和稳定的性能，尤其是反馈通道元件 采用复合控制来降低系统误差，消除扰动影响 按输入反馈按输入反馈按扰动顺馈的复按扰动顺馈的复合控制系统合控制系统 顺馈控制器的传递函数 按参考输入顺馈的复合控制系统按参考输入顺馈的复合控制系统温度复合控制系统温度复合控制系统3.4.劳斯劳斯-霍尔维茨稳定性判据霍尔维茨稳定性判据 n n劳斯赫尔维茨(RouthHurwitz)判据，代数判据方法 n n根轨迹

23、法，图解求特征根的方法n n奈魁斯特(Nyquist)判据，基于复变函数理论的方法n n 李雅普诺夫方法，适用于线性系统和非线性系统 常用的稳定性分析方法 3.4.1.稳定性稳定性(Stability)的概念的概念(a)稳定的 (b)不稳定的 定义系统在受到外作用力后，偏离了正常工作点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的 在有界输入的作用下，其输出响应也是有界的。这叫做有界输入有界输出稳定，又简称为BIBO稳定 单输入单输出线性系统 系统稳定 特征方程 设方程有k个实根-pi(i=1，2，k)，r对共轭复数根(-s ijw i)(i=1，2，r)，k+2r=n 讨

24、论n n-p pi i 0 0，-s-s i i 00，则系统稳定的必要条件是上述系统特征方程的所有系数均为正数 证明特征方程有n个根，其中k个实根-p j(j=1，2，k)，r对复根-s ijw i(i=1，2，r)，n=k+2r。则特征方程式可写为 假如所有的根均在左半平面，即-p j 0，-s i0，s i0。所以将各因子项相乘展开后，特征方程的所有系数都是正数(二二)劳斯判据劳斯判据 系统特征方程 劳斯阵列表 第一列系数均为正数，系统稳定，第一列系数有负数，则第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上根的个数 例例3.3 系统特征方程为试用劳斯判据判别系统的稳定性。解2、劳斯阵列表如下

25、s4 1 12 6 1 12 6 s3 6 11 6 11 0 0 s2 61/6 6 61/6 6 s1 455/61 0455/61 0 s0 6 61、系统特征方程所有系数均为正实数，满足系统稳定的必要条件 3、第一列系数均为正实数，故系统稳定 系统特征方程为试用劳斯判据判别系统的稳定性。解1、劳斯阵列表如下 s5 1 2 5 1 2 5 s4 3 1 6 3 1 6 s3 5 9 5 9 (各系数各系数均已乘均已乘3)3)s2 -11 15 (-11 15 (各系数各系数均已乘均已乘5/2)5/2)s1 174 (174 (各系数各系数均已乘均已乘11)11)s0 15 2、第一列有负

26、数，系统不稳定。由于第一列系数的符号改变了两次(511 174)，系统特征方程有两个根的实部为正 例例3.4特殊情况特殊情况(1)劳斯阵列表中某一行的第一个系数为零，其余各系数不为零(或没有其余项)解1、劳斯阵列表 s 3 1 1 s 2 2 2 2 2 s 1 e e s 0 2 2、e 的上下两个系数(2和2)符号相同，则说明有一对虚根存在,系统处于临界状态系统特征方程为试用劳斯判据判别系统的稳定性。例例3.4用一个很小的正数e 来代替零 特殊情况特殊情况(2)劳斯阵列表中某一行(设为第k行)的所有系数均为零，则说明在根平面内存在一些大小相等，并且关于原点对称的根 处理步骤利用第k1行的系

27、数构成辅助多项式，它的次数总是偶数的 求辅助多项式对s的导数，将其系数构成新行，代替第k行 继续计算劳斯阵列表 关于原点对称的根可通过令辅助多项式等于零求得 例例3.6 系统特征方程为试用劳斯判据判别系统的稳定性。解1、劳斯阵列表如下 s 3 1 161 16 s 2 10 160 10 160 辅助多项式辅助多项式1010s 2+160160 s 1 0 0 0 0 求求导数导数 20 20 0 0 构构成成新新行行 2020s+0 0 s 0 160 160 2、第一列各系数均未变号，所以没有特征根位于右半平面 例例3.7系统特征方程为试用劳斯判据判别系统的稳定性。解1、劳斯阵列表如下 s

28、 5 1 3 -41 3 -4 s 4 2 6 -82 6 -8 辅助多项式辅助多项式 2 2s 4+6 6s 2-8 8 s 3 0 0 0 0 0 0 求求导数导数 8 8 12 12 0 0 构构成成新新行行 8 8s 3+1212s s 2 3 -8 3 -8 s 1 100/3100/3 s 0 -8-82、第一列变号一次，故有一个根在右半平面,系统不稳定(三三)劳斯判据的应用劳斯判据的应用1：稳定裕量的检验稳定裕量的检验如果所有根均在新虚轴的左边，则说系统具有稳定裕量s 1 例例3.8 检验特征方程式 是否有根在右半平面，并检验有几个根在直线 s=-1的右边。解1、劳斯阵列表 s

29、3 2 132 13 s 2 10 4 10 4 s 1 12.212.2 s 0 4 42、第一列无符号改变，故没有根在s平面右半平面。例例3.8（续）（续）3、令s=z-1，代入特征方程式，得 即 4、新的劳斯阵列表 z 3 2 -1 z 2 4 -1 z 1 -1/2 z 0 -1 5、第一列符号改变一次，故有一个根在直线s=-1的右边，因此稳定裕量不到1 2.分析系统参数对稳定性的影响分析系统参数对稳定性的影响 特征方程 劳斯阵列表：s 3 1 5 s 2 6 K s 1 s 0 K 例例3.9检验特征方程式 按稳定要求确定T的临界值 解1、劳斯阵列表 s 4 1 T 100 100

30、s 3 2 10 2 10 s 2 T-5 1005 100 s 1 s 0 100 2、3.鉴别延滞系统的稳定性鉴别延滞系统的稳定性注意应用劳斯判据来判别延滞系统的稳定性，需要采用近似的方法处理 闭环传递函数 特征方程式用有理函数近似(1)用有限项简单有理函数的乘积近似 取n为有限值 为了保证一定的准确度，n值往往较大，分析起来是相当麻烦的(2)用有理分式近似 泰勒级数 可用一个有理分式p(s)/q(s)来近似e-t s：派德(pade)近似 分子为m次，分母为n次，m和n的选取，应在满足近似准确度要求的前提下，尽可能少增加特征方程式的阶次 表3.5 n=1，m=3 K的临界值为1.133.

31、4.3.赫尔维茨判据赫尔维茨判据 系统特征方程式为 ansnan-1sn-1a1sa0=0 赫尔维茨判据：系统稳定的必要和充分条件是an0的情况下，对角线上所有子行列式i(i=1，2，,n)均大于零。赫尔维茨判据(Hurwitz Criterion)n=1 a10，1=a0 n=2 n=3 n=4 例例3.10设系统特征方程式为 试用赫尔维茨判据判别系统的稳定性 解1、从特征方程式看出所有系数为正数，满足稳定的必要条件 2、赫尔维茨行列式 系统是稳定的 3.5.控制系统灵敏度分析控制系统灵敏度分析 (sensitivity)|G(s)H(s)|1 增加开环传递函数G(s)H(s)的大小会导致G

32、(s)对输出影响减少 G(s)+G(s)C(s)=G(s)R(s)开环情况 闭环情况 G(s)H(s)G(s)H(s)控制系统灵敏度定义控制系统灵敏度定义定义系统传递函数的变化率与被控过程传递函数变化率的比值 GB(s)=C(s)/R(s)开环系统的灵敏度等于1 闭环系统反馈系统关于G(s)的灵敏度 闭环系统对反馈环节H(s)灵敏度 控制系统引入反馈环节后能减少因参数变化而造成的影响，尤其是因被控过程参数变化所造成的影响利用反馈减少灵敏度的简单例子 k=R1/Rf A1时 当运算放大器处于开环状态(即无反馈电阻Rf)时，相对于增益A的开环灵敏度为1 闭环A=104而且k=0.1 闭环时相对于因子k的灵敏度 本章小结：讨论了控制系统分析的基本内容；稳定性、瞬态性能、稳态性能开环系统：设备少、成本低，控制方法简单易行反馈控制：成本大，系统变得复杂、原稳定的开环系统，由于反馈的引入，可能造成不稳定。优点：减少被控过程G(s)中参数变化时系统的灵敏度；有力于控制系统的瞬态响应性能；提高系统对于干扰的抑制力；减少或消除系统的静态误差。