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1、三章函数及其图像11课函数及其图像 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望1.常量、变量：常量、变量：在某一过程中，保持一定数值不变的量叫做在某一过程中，保持一定数值不变的量叫做 ；可以取不；可以取不同数值的量叫做同数值的量叫做 2函数：函数：一般地，设在一个变化过程中有两个变量一般地，设在一个变化过程中有两个变量x与与y，如果对于，如果对于x的的每一个值，每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说都有唯一的值与它对应，那么就说x是是 ，y是是x的的 3函
2、数自变量取值范围：函数自变量取值范围：由解析式给出的函数，自变量取值范围应使解析式有意义；对由解析式给出的函数，自变量取值范围应使解析式有意义；对于实际意义的函数，自变量取值范围还应使实际问题有意义于实际意义的函数，自变量取值范围还应使实际问题有意义要点梳理要点梳理常量常量变量变量自变量自变量函数函数4函数的图象和函数表示方法：函数的图象和函数表示方法：(1)函数的图象：一般地，对于一个函数，如果把自变量函数的图象：一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函与函数数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，用光滑曲线连
3、接这些点所组成的图形，就是这个函数出这些点，用光滑曲线连接这些点所组成的图形，就是这个函数的图象的图象 (2)函数的表示法：函数的表示法：；解析法解析法列表法列表法图象法图象法1 1理解并掌握平面中确定点的位置的方法理解并掌握平面中确定点的位置的方法 在平面内，确定一个点的位置，一般需要两个数据利用纵横在平面内，确定一个点的位置，一般需要两个数据利用纵横交错法确定点的位置，要知道横向、纵向的格数；利用交错法确定点的位置，要知道横向、纵向的格数；利用“方位角方位角距离距离”来确定点的位置，需知道该点相对于参考点的方位角和距离来确定点的位置，需知道该点相对于参考点的方位角和距离确定位置的方法，除了
4、上面所述的两种，还有区域法等确定位置的方法，除了上面所述的两种，还有区域法等 用坐标描述点的位置，关键在于建立适当的坐标系，并确定单用坐标描述点的位置，关键在于建立适当的坐标系，并确定单位长度直角坐标系是刻画点的位置的一种工具，它把几何中研究位长度直角坐标系是刻画点的位置的一种工具，它把几何中研究的基本对象的基本对象“点点”与代数中研究的基本对象与代数中研究的基本对象“数数”联系起来，从而联系起来，从而将将“数数”与与“形形”相结合，这样就使得我们可以用代数的方法来研相结合，这样就使得我们可以用代数的方法来研究几何图形究几何图形 难点正本难点正本 疑点清源疑点清源 2了解函数三种表示方法的特点
5、了解函数三种表示方法的特点 解析法是用等式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系解析法是用等式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法，这个等式称为函数的解析式，如的方法，这个等式称为函数的解析式，如s80t，Ar2等解析等解析法简单明了，能使我们从解析式了解整个变化过程中函数与自变法简单明了，能使我们从解析式了解整个变化过程中函数与自变量之间的全部相依关系，适合于作理论分析和计算、推导许多量之间的全部相依关系，适合于作理论分析和计算、推导许多定律、法则都用解析式定律、法则都用解析式(即公式即公式)来表示但在求对应值时，需要逐来表示但在求对应值时，需要逐个计算，有时是很麻烦的，且有不少函数
6、很难或者无法用解析式个计算，有时是很麻烦的，且有不少函数很难或者无法用解析式表示出来表示出来 列表法指用表格形式来表示一个变量与另一个变量之间函数列表法指用表格形式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法列表法对于表中已有的自变量的每一个值，可以直关系的方法列表法对于表中已有的自变量的每一个值，可以直接找到对应的函数值，它适用于计算函数值很麻烦或很难找到函接找到对应的函数值，它适用于计算函数值很麻烦或很难找到函数关系式的情况缺点是不能把自变量与函数的全部对应值列出数关系式的情况缺点是不能把自变量与函数的全部对应值列出来，而且从表格中也不易看出自变量与函数之间的对应规律来，而且从表格中也不易
7、看出自变量与函数之间的对应规律 图象法是指用图象来表示一个变量与另一个变量之间函数关图象法是指用图象来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法在给定的函数中，把自变量系的方法在给定的函数中，把自变量x的一个值和函数的一个值和函数y的对应的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点的集合，叫做这个函数的图象函数的变化情况和某所有这些点的集合，叫做这个函数的图象函数的变化情况和某些性质在图象上能够很直观地显示出来，以后我们通常借助函数些性质在图象上能够很直观地显示出来，以后我们通常借助函数的图象来探索函数的性
8、质其缺点在于从图象上找自变量与函数的图象来探索函数的性质其缺点在于从图象上找自变量与函数的对应值一般只是近似的，且只反映出变量间关系的一部分而不的对应值一般只是近似的，且只反映出变量间关系的一部分而不是全体是全体 函数的三种表示法各有优缺点，我们常常各取其长，综合运函数的三种表示法各有优缺点，我们常常各取其长，综合运用这三种方法来研究有关函数问题，并且函数三种表示法可以相用这三种方法来研究有关函数问题，并且函数三种表示法可以相互联系与转化互联系与转化1 1(2011(2011武汉武汉)函数函数y 中自变量中自变量x的取值范围是的取值范围是()Ax0 Bx2 Cx2 Dx2 解析：解析：x20，
9、x2.基础自测基础自测C2 2(2011(2011株洲株洲)根据生物学研究结果，青春期男女生身高增长速根据生物学研究结果，青春期男女生身高增长速度呈现如下图规律，由图可以判断，下列说法错误的是度呈现如下图规律，由图可以判断，下列说法错误的是()A男生在男生在13岁时身高增长速度最快岁时身高增长速度最快 B女生在女生在10岁以后身高增长速度放慢岁以后身高增长速度放慢 C11岁时男女生身高增长速度基本相同岁时男女生身高增长速度基本相同 D女生身高增长的速度总比男生慢女生身高增长的速度总比男生慢 解析：女生在解析：女生在7 7岁到岁到1111岁时，岁时，身高增长的速度比男生快，身高增长的速度比男生快
10、，故选故选D.D3 3(2011(2011福州福州)甲、乙两个工程队完成某项工程，首先是甲单独甲、乙两个工程队完成某项工程，首先是甲单独做了做了1010天，然后乙队加入合做，完成剩下的全部工程设工程天，然后乙队加入合做，完成剩下的全部工程设工程总量为单位总量为单位1 1，工程进度满足如图所示的函数关系，那么实际，工程进度满足如图所示的函数关系，那么实际完成这项工程所用的时间比由甲完成这项工程所用的时间比由甲 单独完成这项工程所需时间少单独完成这项工程所需时间少()A1212天天 B1414天天 C1616天天 D1818天天 解析：甲独做的工作效率解析：甲独做的工作效率 10 ；甲、乙合做的工
11、作；甲、乙合做的工作 效率效率 (1410).8.实际完成这项工程所实际完成这项工程所 用时间为用时间为104822(天天)，而甲单独完成所需时间为，而甲单独完成所需时间为40(天天)，402218(天天)D4 4(2011(2011福州福州)下列函数的图象，经过原点的是下列函数的图象，经过原点的是()Ay5x23x Byx21 Cy Dy3x7 解析：当解析：当x0时，时，y502300，图象过原点，图象过原点(0,0)A5 5(2011(2011烟台烟台)在全民健身环城越野赛中，甲、乙两选手的行程在全民健身环城越野赛中，甲、乙两选手的行程y(千米千米)随时间随时间(时时)变化的图象变化的图
12、象(全程全程)如图所示有下列说法：如图所示有下列说法：起跑后起跑后1小时内，甲在乙的前面；小时内，甲在乙的前面；第第1小时两人都跑了小时两人都跑了10千千米；米；甲比乙先到达终点；甲比乙先到达终点；两人都跑了两人都跑了20千米其中正确的千米其中正确的说法有说法有 ()A.1个个 B.2个个 C.3个个 D.4个个 解析：说法解析：说法错误，应该是错误，应该是 乙比甲先到达终点乙比甲先到达终点C题型一确定自变量的取值范围题型一确定自变量的取值范围【例例 1】函数函数y 中，自变量中，自变量x的取值范围是的取值范围是_ _ 解析：解析：中中x作为被开方数，作为被开方数，x0；中中x1作为分母，作为
13、分母，x10，x0且且x1.题型分类题型分类 深度剖析深度剖析x0且且x1 探究提高探究提高 代数式有意义的条件问题：代数式有意义的条件问题：(1)(1)若解析式是整式，则自变量取全体实数；若解析式是整式，则自变量取全体实数；(2)(2)若解析式是分式，则自变量取使分母不为若解析式是分式，则自变量取使分母不为0 0的全体实数；的全体实数；(3)(3)若解析式是偶次根式，则自变量只取使被开方数为非负数的若解析式是偶次根式，则自变量只取使被开方数为非负数的全体实数；全体实数；(4)(4)若解析式含有零指数或负整数指数幂，则自变量应是使底数若解析式含有零指数或负整数指数幂，则自变量应是使底数不等于不
14、等于0 0的全体实数；的全体实数；(5)(5)若解析式是由多个条件限制，必须首先求出式子中各部分自若解析式是由多个条件限制，必须首先求出式子中各部分自变量的取值范围，然后再取其公共部分，此类问题要特别注意，变量的取值范围，然后再取其公共部分，此类问题要特别注意，只能就已知的解析式进行求解，而不能进行化简变形，特别是不只能就已知的解析式进行求解，而不能进行化简变形，特别是不能轻易地乘或除以含自变量的因式能轻易地乘或除以含自变量的因式知能迁移知能迁移1(20111(2011乐山乐山)下列函数中，自变量下列函数中，自变量x的取值范围为的取值范围为x1的是的是 ()A.y B.y1 C.y D.y 解
15、析：由解析：由1x0，得，得x1.D题型二由自变量取值，求函数值题型二由自变量取值，求函数值【例例 2】已知已知y2x4，且，且1x3，求函数值，求函数值y的取值范围的取值范围 解题示范解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！规范步骤，该得的分，一分不丢！解法解法1：1x6，242x464，22分分 即即62x42.y2x4，6y2，即，即2y6.44分分 解法解法2：y2x4，x .1分分 1x3，1 3.22分分 24y6，24y64，6y2，2y6.44分分 探究提高探究提高 结合不等式的性质，由自变量的取值范围，可确定函数的取结合不等式的性质，由自变量的取值范围，可确定函数的取值范围值范
16、围知能迁移知能迁移2(2012上海上海)已知函数已知函数f(x)，那么，那么f(1)_.解析：当解析：当x1时，时，f(1).题型三确定实际背景下的函数关系式题型三确定实际背景下的函数关系式 【例例 3】如图，用一段长为如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的篱笆围成一个一边靠墙(墙的墙的长度不限长度不限)的矩形菜园的矩形菜园ABCD，设，设AB边长为边长为x(m)，则菜园的面积，则菜园的面积y(m2)与与x(m)的函数关系为的函数关系为_ _ (不要求写自变量的取值范围不要求写自变量的取值范围)解析：解析：yABBCx x215x.探究提高探究提高 本题利用了几何中的公式，用自变量表示
17、因变量本题利用了几何中的公式，用自变量表示因变量 x215x知能迁移知能迁移3 3(2012(2012漳州漳州)某零件制造车间有工人某零件制造车间有工人2020名，已知每名工名，已知每名工人每天可制造甲种零件人每天可制造甲种零件6 6个或乙种零件个或乙种零件5 5个，且每制造一个甲种零个，且每制造一个甲种零件可获利件可获利150150元，每制造一个乙种零件可获利元，每制造一个乙种零件可获利260260元在这元在这2020名工名工人中，设该车间每天安排人中，设该车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余工人制造乙名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件种零件 (1)(1)请写出此车间每天所获利润请写
18、出此车间每天所获利润y(元元)与与x(人人)之间的函数关系式；之间的函数关系式；(2)(2)若只考虑利润问题，要使每天所获利润不低于若只考虑利润问题，要使每天所获利润不低于2400024000元，你认元，你认 为至多要派多少名工人制造甲种零件才合适？为至多要派多少名工人制造甲种零件才合适？解：解：(1)(1)y y6x1505(20 x)260900 x260001300 x 400 x26000.(2)(2)y24000，400 x2600024000，400 x2000，x5.答：至多要派答：至多要派5名工人制造甲种零件才合适名工人制造甲种零件才合适 题型四观察图象，求解实际问题题型四观察
19、图象，求解实际问题【例例 4】(2012黄石黄石)甲、乙两位同学住在同一小区，在同一中甲、乙两位同学住在同一小区，在同一中学读书，一天恰好在同一时间骑自行车沿同一线路上学，小区学读书，一天恰好在同一时间骑自行车沿同一线路上学，小区离学校有离学校有9 km，甲以匀速行驶，花了，甲以匀速行驶，花了30 min到校，乙的行程信到校，乙的行程信息如图中折线息如图中折线OABC所示，分别用所示，分别用y1、y2表示甲、乙在时表示甲、乙在时间间x(min)时的行程，请回答下列问题时的行程，请回答下列问题 (1)分别用含分别用含x的解析式表示的解析式表示y1、y2 (标明标明x的范围的范围)，并在图中画出函
20、，并在图中画出函 数数y1的图象；的图象；(2)甲、乙两人在途中有几次相遇？甲、乙两人在途中有几次相遇？分别是出发后的多长时间相遇？分别是出发后的多长时间相遇？解：解：(1)设设y1k1x，则有，则有930k，k1 ，y1 x(0 x30)；在在0 x5时，时，y2 x；在在5x13时，时，y22；在在13x27时，时，y2 x .过点过点(0,0)，(30,9)画线段即函数画线段即函数y1的图象的图象(图象略图象略)(2)甲、乙途中有两次相遇，第一次相遇时，甲、乙途中有两次相遇，第一次相遇时，y2，x2，x ，即出发后，即出发后 分钟分钟 第二次相遇第二次相遇 解之得解之得 即出发后即出发后
21、 分钟分钟探究提高探究提高 要学会阅读图象，正确理解图象中点的坐标的实际意要学会阅读图象，正确理解图象中点的坐标的实际意义，由图象分析变量的变化趋势，从而确定实际情况分义，由图象分析变量的变化趋势，从而确定实际情况分析变量之间的关系、加深对图象表示函数的理解，进一步析变量之间的关系、加深对图象表示函数的理解，进一步提高从图象中获取信息的能力，运用数形结合的思想观察提高从图象中获取信息的能力，运用数形结合的思想观察图象求解图象求解知能迁移知能迁移4在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回设汽车从甲地出发乙地，到达乙地卸货
22、后返回设汽车从甲地出发x(h)时，汽车与时，汽车与甲地的距离为甲地的距离为y(km)，y与与x的函数关系如图所示的函数关系如图所示 根据图象信息，解答下列问题：根据图象信息，解答下列问题：(1)这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由；这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由；(2)求返程中求返程中y与与x之间的函数表达式；之间的函数表达式；(3)求这辆汽车从甲地出发求这辆汽车从甲地出发4 h时与甲地的距离时与甲地的距离解：解：(1)120260；120(52.5)1202.548.6048，往、返速度不相同往、返速度不相同 (2)设返程中设返程中y与与x之间的函数关系式为之间的函数关系式为y
23、kxb.得得 y48x240.(2.5x5)(3)当当x4时，时，y48424048.答：这辆汽车从甲地出发答：这辆汽车从甲地出发4 h时与甲地的距离是时与甲地的距离是48 km.7自变量取值范围不可忽视自变量取值范围不可忽视试题矩形的周长是试题矩形的周长是8(8(cm)，设一边长为，设一边长为x(cm)，另一边长为，另一边长为y(cm)(1)(1)求求y关于关于x的函数关系式；的函数关系式；(2)(2)在图中作出函数的图象在图中作出函数的图象学生答案展示解：学生答案展示解：(1)(1)由题意得由题意得2(2(x xy y)8 8，则，则y y4 4x x.(2)(2)图象如下图：图象如下图：
24、易错警示易错警示剖析此题题意明确，易建立函数关系式，但在求自变量剖析此题题意明确，易建立函数关系式，但在求自变量x的取值的取值范围上易犯错，据实际情况，范围上易犯错，据实际情况，x、y表示矩形的边长，则表示矩形的边长，则即即 故自变量故自变量x的取值范围为：的取值范围为：0 x4，则第，则第(2)问问中，图象不是直线，而是去掉端点中，图象不是直线，而是去掉端点(4,0)，(0,4)的线段的线段正解正解(1)由题意，得由题意，得2(xy)8，则，则y4x，其中，其中0 x4.(2)图象如图所示图象如图所示批阅笔记作实际问题的函数图象时，若不注意自变量的取值范批阅笔记作实际问题的函数图象时，若不注
25、意自变量的取值范围，往往作出错误的图象确定实际问题的函数的自变量取值围，往往作出错误的图象确定实际问题的函数的自变量取值范围，一要考虑使代数式有意义，二要考虑实际问题的背景范围，一要考虑使代数式有意义，二要考虑实际问题的背景.方法与技巧方法与技巧 1.1.自变量自变量x x取值范围常见类型：取值范围常见类型：(1)(1)若解析式是整式，则若解析式是整式，则x可取全体实数；可取全体实数；(2)(2)若解析式是分式，则必须使得分母不为若解析式是分式，则必须使得分母不为0 0；(3)(3)若解析式是二次根式，则必须使得被开方数不小于若解析式是二次根式，则必须使得被开方数不小于0 0；(4)(4)对于
26、实际意义的函数，自变量取值范围还应使实际问题有对于实际意义的函数，自变量取值范围还应使实际问题有意义意义 2.2.理解图象上任意一点的横坐标与纵坐标和解析式中的理解图象上任意一点的横坐标与纵坐标和解析式中的x、y的相互对应关系，重视数形结合的思想方法的相互对应关系，重视数形结合的思想方法思想方法思想方法 感悟提高感悟提高失误与防范失误与防范 1对于实际问题中的函数自变量的取值范围，要注意讨论自对于实际问题中的函数自变量的取值范围，要注意讨论自变量所代表的实际意义以及题目中所给出的有关自变量的限制条变量所代表的实际意义以及题目中所给出的有关自变量的限制条件，特别是注意挖掘隐含条件件，特别是注意挖
27、掘隐含条件 2实际问题中的数量关系是错综复杂的，要注意应用已掌握实际问题中的数量关系是错综复杂的，要注意应用已掌握的基本知识，通过分类、转化等思想方法，探究较复杂问题中变的基本知识，通过分类、转化等思想方法，探究较复杂问题中变量之间的相互关系有一些函数，在自变量的不同取值范围内有量之间的相互关系有一些函数，在自变量的不同取值范围内有不同的对应关系，在写出它的解析式时，需根据自变量的不同取不同的对应关系，在写出它的解析式时，需根据自变量的不同取值，分别列出不同的表达式值，分别列出不同的表达式 3在有实际背景的函数图象中，首先要辨明横轴、纵轴各表在有实际背景的函数图象中，首先要辨明横轴、纵轴各表示
28、什么量，并注意以下的对应关系：示什么量，并注意以下的对应关系：(1)图象在坐标平面内的范围：图象上点的横坐标的范围对应图象在坐标平面内的范围：图象上点的横坐标的范围对应于自变量的取值范围，图象上点的纵坐标的范围对应于函数值的于自变量的取值范围，图象上点的纵坐标的范围对应于函数值的变化范围；函数图象上最低点变化范围；函数图象上最低点(或最高点或最高点)的纵坐标是函数的最小值的纵坐标是函数的最小值(或最大值或最大值)；(2)图象从左向右上升图象从左向右上升(或下降或下降)的部分，相应函数在这一范围的部分，相应函数在这一范围内随着自变量增加而增加内随着自变量增加而增加(或减少或减少)；(3)若同一坐标系中有两个函数图象，它们的公共点表示两个若同一坐标系中有两个函数图象，它们的公共点表示两个函数在该点处有相同的自变量与函数的对应值；一个函数的图象函数在该点处有相同的自变量与函数的对应值；一个函数的图象在另一个函数图象的上方，表示在取相同的自变量时这个函数的在另一个函数图象的上方，表示在取相同的自变量时这个函数的值比另一个函数的值大值比另一个函数的值大完成考点跟踪训练 11